模型思想郝莉娜

模型思想八里莊小學(xué)郝莉娜模型思想的概念

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物地特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型。

目錄模型思想的歷史演進(jìn)及其發(fā)展1小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的思考

2內(nèi)容概述模型的發(fā)展歷程及其概念數(shù)學(xué)模型的發(fā)展歷程及其概念新課標(biāo)中的“模型思想”模型思想的歷史演進(jìn)及其發(fā)展模型的發(fā)展歷程把模型運(yùn)用于科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的思想和實(shí)踐，可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代。在古代，人們?cè)诎l(fā)明創(chuàng)造之前，一般總要提出設(shè)想，然后常常利用縮小的(或放大的)及簡(jiǎn)化的實(shí)物(用竹片，木材等材料制成)試試看，如果可行，再實(shí)際制造，使設(shè)想變成現(xiàn)實(shí)。有時(shí)，也利用與實(shí)物大體相似的模型進(jìn)行研究。近些年來(lái)，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域中，定量的系統(tǒng)分析、系統(tǒng)綜合已受到人們?cè)絹?lái)越多的重視。模型是開(kāi)展這些工作的有效工具，模型化則是開(kāi)展這些工作的前提和基礎(chǔ)。模型的發(fā)展歷程古埃及建造的金字諾，歷時(shí)五千年之久，現(xiàn)在依然屹立在尼羅河畔。這樣巨大的建筑，在施工前沒(méi)有周密計(jì)算、設(shè)計(jì)、模型試驗(yàn)，是絕不會(huì)成功的。約一千八百年前，張衡（89—139)造渾天儀時(shí)，曾用足篾（竹皮）做模型，叫作“小渾”，用以代替青銅渾儀研究天象。約一千年前，喻皓在主持建造一座十三層大型寶塔之前，先請(qǐng)畫家郭宗恕試造模型，叫作“小樣”，研究模型后，發(fā)現(xiàn)以“末底一級(jí)折而計(jì)之，至上層余一尺五寸，收殺不得”。喻皓“數(shù)夕不寐，以尺較之，果如其言”。于是依照修改的模型施工，收到了良好結(jié)果。模型的概念模型，英文叫做model，是規(guī)范，原型的意思。清段玉裁注《說(shuō)文》時(shí)說(shuō)過(guò)“以木曰模，以金曰熔，以土曰型，以竹曰范，皆法也”。我們這里指對(duì)某種事物原型的一種抽象和模仿。原型是人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中所關(guān)心和研究的實(shí)際對(duì)象，或者是人們所從事和研究的實(shí)際對(duì)象。這些實(shí)際對(duì)象在科技領(lǐng)域通常用系統(tǒng)、過(guò)程等詞匯。例如機(jī)械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)以及鋼鐵冶煉過(guò)程、導(dǎo)彈飛行過(guò)程、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程、污染擴(kuò)散過(guò)程、計(jì)劃決策過(guò)程等。所以，一切研究對(duì)象、現(xiàn)實(shí)對(duì)象、實(shí)際問(wèn)題等都是原型。模型的概念一切客觀存在的事物及其運(yùn)動(dòng)形態(tài)統(tǒng)稱為實(shí)體。模型是對(duì)實(shí)體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或者抽象，而且往往是對(duì)實(shí)體中那些所要研究的特定的特征定量的抽象，可以說(shuō)，模型是把對(duì)象實(shí)體通過(guò)適當(dāng)?shù)倪^(guò)濾，用適當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡(jiǎn)潔的模仿品，通過(guò)這個(gè)模仿品，人們可以了解到所研究實(shí)體的本質(zhì)，而且在形式上便于人們對(duì)實(shí)體進(jìn)行分析和處理。也就是說(shuō)，模型是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而將原型的某一部分信息加以簡(jiǎn)略和提煉而構(gòu)建出來(lái)的這個(gè)原型的某個(gè)代替物。數(shù)學(xué)模型的發(fā)展歷程數(shù)學(xué)模型起源于社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看，那些最初的數(shù)學(xué)問(wèn)題皆起源于經(jīng)驗(yàn)，如巴比倫人在天文觀察、土地丈量和貿(mào)易中形成的位置觀念和六十進(jìn)位數(shù)系，我國(guó)的《九章算術(shù)》等?！毒耪滤阈g(shù)》中收集了方田、粟米、衰（cuī）分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股共九章計(jì)246個(gè)問(wèn)題，幾乎包括了當(dāng)時(shí)社會(huì)生活的各個(gè)方面?！毒耪滤阈g(shù)》的理論包括“題”“答”“術(shù)”三部分，其中“術(shù)”是解決實(shí)際問(wèn)題的方法，即數(shù)學(xué)建模。從中可以看出古人從實(shí)際生活中分析數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)。歐拉和哥尼斯堡七橋問(wèn)題18世紀(jì)，東普魯士哥尼堡有條普雷格爾河，河中有七座橋，連著兩岸（A，B）和兩個(gè)小島（C，D），每天傍晚位于島C的哥尼斯堡大學(xué)的學(xué)生們總在七座橋附近散步欣賞美麗風(fēng)光。漸漸大家熱衷于一個(gè)問(wèn)題，即一個(gè)散步者，如何才能不重復(fù)地一次走遍七座橋并返回出發(fā)點(diǎn)？歐拉和哥尼斯堡七橋問(wèn)題歐拉首先想到的是用窮舉法，就是把所有的走法都一一列出來(lái)，然后再一個(gè)一個(gè)的驗(yàn)證是否可行。但是他馬上發(fā)現(xiàn)這樣做太麻煩了，因?yàn)閷?duì)七座橋的不同走法就有7！=5040種，逐一檢驗(yàn)太耗時(shí)費(fèi)力了，況且這樣的方法沒(méi)有通用性。如果橋的位置或橋的數(shù)量發(fā)生變化，豈不又得重新檢驗(yàn)？看來(lái)此法不可行。歐拉和哥尼斯堡七橋問(wèn)題歐拉把這個(gè)問(wèn)題作了數(shù)學(xué)化處理。他把兩岸和兩島都抽象成點(diǎn)，把橋化為邊，兩點(diǎn)之間有邊相連，并且僅當(dāng)這兩點(diǎn)所代表地區(qū)有橋相連接，于是這個(gè)問(wèn)題的解就成了能否筆不離開(kāi)紙、不重復(fù)地將上圖一筆畫成的問(wèn)題。1936年歐拉向彼得堡科學(xué)院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文，用他找到的一筆畫的數(shù)學(xué)模型的否定方式解決了這個(gè)問(wèn)題。歐拉和哥尼斯堡七橋問(wèn)題如果一個(gè)圖形能一筆畫成，那么除去起點(diǎn)和終點(diǎn)外，其他的點(diǎn)都是經(jīng)過(guò)點(diǎn)。而經(jīng)過(guò)點(diǎn)是有進(jìn)有出的點(diǎn)，即有一條線進(jìn)這個(gè)點(diǎn)，就一定有一條線出這個(gè)點(diǎn)。不可能有進(jìn)無(wú)出，如果有進(jìn)無(wú)出，它就是終點(diǎn)；也不可能有出無(wú)進(jìn)，如果有出無(wú)進(jìn)它就是起點(diǎn)。因此，在經(jīng)過(guò)點(diǎn)進(jìn)出的線總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)。我們稱在一個(gè)點(diǎn)進(jìn)出線的總數(shù)是偶數(shù)的點(diǎn)為偶點(diǎn)；總數(shù)為奇數(shù)的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)，那么它也屬于有進(jìn)有出的點(diǎn)，它也是偶點(diǎn)這樣圖上的點(diǎn)全是偶點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)，那么它們必定是奇點(diǎn)。因此，能夠一筆畫的圖形最多只有兩個(gè)奇點(diǎn)。七橋問(wèn)題中的四個(gè)點(diǎn)全是奇點(diǎn)，當(dāng)然不能一筆畫，即不可能一次無(wú)重復(fù)地走完七座橋。一般地說(shuō)，如果圖中的點(diǎn)全是偶點(diǎn)，那么可以任意選擇一個(gè)點(diǎn)作為起點(diǎn)，當(dāng)然終點(diǎn)與起點(diǎn)重合，能一筆畫成；如果圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，那么可以任意選一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)，可以一筆畫成。歐拉的這個(gè)研究成果，開(kāi)創(chuàng)了圖論和拓?fù)鋵W(xué)這兩門新的學(xué)科。數(shù)學(xué)模型的概念歐拉為解決七座橋問(wèn)題建立了“一筆畫的判別模型”——數(shù)學(xué)模型。所謂“數(shù)學(xué)模型”，就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法，對(duì)各種實(shí)際對(duì)象作出抽象和模擬而成一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)必須借助于數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述一種純關(guān)系的結(jié)構(gòu)。所謂純關(guān)系結(jié)構(gòu)，是指已經(jīng)揚(yáng)棄了一切與關(guān)系無(wú)本質(zhì)聯(lián)系的屬性后的系統(tǒng)而言，所以在數(shù)學(xué)模型的形成過(guò)程中，已經(jīng)用了抽象分析法。也可以說(shuō)，抽象分析法是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的基本手段。數(shù)學(xué)模型的概念對(duì)“數(shù)學(xué)模型”通常有廣義和狹義兩種理解。從廣義上講，數(shù)學(xué)中的各種基本概念，如實(shí)數(shù)、向量、集合、群、環(huán)、域、范疇、線性空間、拓?fù)淇臻g等等都可以叫做數(shù)學(xué)模型，因?yàn)樗麄兌际且愿髯韵鄳?yīng)的現(xiàn)實(shí)模型（實(shí)體）作為背景而加以抽象出來(lái)的最基本的數(shù)學(xué)概念。這些可稱為原始的數(shù)學(xué)模型。例1歐氏幾何是關(guān)于直覺(jué)空間形體（剛體運(yùn)動(dòng)下圖形結(jié)構(gòu)不變的形體）關(guān)系分析的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的概念例2自然數(shù)1，2，3，…，n,…是用以描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。例3每一個(gè)代數(shù)方程式或數(shù)學(xué)公式也都是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。例如，ax2+bx+c=0就是一類具體應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。總之，按廣義的解釋，凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程式（代數(shù)方程、函數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程……）以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等都可稱之為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型的概念但按狹義的解釋，只有反映特定問(wèn)題或特定的具體事物的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，也就是只有像七座橋問(wèn)題中抽象得到的一筆畫問(wèn)題才能叫“數(shù)學(xué)模型”。例如，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型一詞通常都做狹義的解釋，而構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的目的就是為了解決具體實(shí)際問(wèn)題。將所考察的實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造出相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究和解答，使原來(lái)的實(shí)際問(wèn)題得以解決的方法叫做“數(shù)學(xué)模型方法”。新課標(biāo)中的“模型思想”修訂后的《標(biāo)準(zhǔn)》將數(shù)學(xué)基本思想作為“四基”之一提出，必然引出這樣的問(wèn)題：數(shù)學(xué)基本思想主要指哪些思想呢？現(xiàn)在模型思想作為10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”指稱的概念，這實(shí)際上已經(jīng)明示它是數(shù)學(xué)基本思想之一。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列0,1,2…；用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算四類十一種；分?jǐn)?shù)三種運(yùn)算定律各種運(yùn)算定律和性質(zhì)方程簡(jiǎn)單的四類六種；稍復(fù)雜方程數(shù)量關(guān)系s＝vt等；正反比例；表格、圖像幾何與圖形字母表示公式周長(zhǎng)、面積、體積、容積空間形式用圖表示空間形式和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖、表用統(tǒng)計(jì)圖、表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小模型思想的具體運(yùn)用內(nèi)容概述磨模魔小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的思考（一）“磨”。

所謂“磨”，即“琢磨”。也就是教師首先要反復(fù)琢磨每一具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“?！?？需要幫助學(xué)生建立怎樣的“?！保咳绾蝸?lái)建“?！?？在多大的程度上來(lái)建“模”？所建的“?！焙徒５倪^(guò)程對(duì)于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響？……在基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這些問(wèn)題都是一些本原性的問(wèn)題。一個(gè)老師如果從來(lái)不曾在這些方面作過(guò)思考的話，可以肯定，他的數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識(shí)概念、命題、問(wèn)題和方法等很難見(jiàn)到“數(shù)學(xué)模型”的影子，他的學(xué)生也可能從未感受過(guò)“數(shù)學(xué)模型”的力量。舉例：雞兔同籠眾所周知，“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程，然而，在小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程。可是，“雞兔同籠”卻被廣泛地運(yùn)用到小學(xué)教材中：北師大版五年級(jí)上冊(cè)“嘗試與猜測(cè)”中用它來(lái)讓學(xué)生學(xué)會(huì)表格列舉；蘇教版六年級(jí)上冊(cè)將之作為一道練習(xí)題來(lái)鞏固“假設(shè)和替換”的策略；人教版則是濃墨重彩，在六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問(wèn)題的出處、多種解法及實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過(guò)于簡(jiǎn)單和淺薄。那么，對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得關(guān)注的：一是內(nèi)容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征（告知兩個(gè)未知量的和以及兩個(gè)未知量之間一定的量值關(guān)系，求未知量）；二是方法層面的，即“假設(shè)法”的一般解題思路（畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設(shè)”）；三是思想層面的，即從一個(gè)具體的“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，在經(jīng)歷了對(duì)其解答的過(guò)程之后，能將解決它的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用（學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，最終的目標(biāo)并不僅僅是會(huì)解答一道“雞兔同籠”，更有其他）。有了這樣的理解，在教學(xué)中，我們就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注教材中所編排內(nèi)容的同時(shí)，注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運(yùn)用，用系統(tǒng)的眼光來(lái)看待它的教學(xué)價(jià)值。這些，恰恰是學(xué)生到了中學(xué)后真正建立二元一次整數(shù)方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。舉例：確定位置“確定位置”的數(shù)學(xué)模型是立體坐標(biāo)系。學(xué)生在一年級(jí)接觸到的一列隊(duì)伍中“老爺爺排在第3個(gè)”，其實(shí)就是一維空間上的確定位置；在二年級(jí)接觸到的“小明坐在第3排第4個(gè)”，其實(shí)就是二維空間上的確定位置；五年級(jí)學(xué)習(xí)的“數(shù)對(duì)”則是初步抽象的二維坐標(biāo)模型。如果在教學(xué)中能將這一層意義滲透進(jìn)去，一定能為學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)立體坐標(biāo)系提供很好的支持。眼界決定境界。一個(gè)老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識(shí)，往往會(huì)決定著他的教學(xué)深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)。（二）“?！?。所謂“?！?，即“建模”。也就是在教學(xué)中要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用。對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“建?！钡倪^(guò)程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。以下是兩位老師利用同一素材教學(xué)“減法”的片段：【教學(xué)片段1】

出示情境圖。師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩幅圖，說(shuō)一說(shuō)從圖上你看到了什么？生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，剩下3個(gè)。師：你真棒!誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)。生：原來(lái)有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)小朋友，還剩下3個(gè)小朋友。師：很好！你知道怎樣列式嗎？生：5-2=3。教師聽(tīng)了滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭，板書5-2=3。接著教學(xué)減號(hào)及其讀法?！窘虒W(xué)片段2】出示情境圖。（同上）師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)第一幅圖，你看到了什么？生：從圖中我看到了有5個(gè)小朋友在澆花。師：第二幅圖呢？生：第二幅圖中有2個(gè)小朋友去提水了，剩下3個(gè)小朋友。師：你能把兩幅圖的意思連起來(lái)說(shuō)嗎？生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩下3個(gè)。師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，也說(shuō)得很好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩幾個(gè)？生（齊）：3個(gè)。師：對(duì)，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過(guò)程擺一擺呢？（教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片，并請(qǐng)一生將圓片擺在情境圖的下面。）師：（結(jié)合情境圖和圓片說(shuō)明）5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩3個(gè)；從5個(gè)圓片中拿走2個(gè)，還剩3個(gè)，都可以用同一個(gè)算式（學(xué)生齊接話：5-2=3）來(lái)表示。（在圓片下板書：5-2=3）生齊讀：5減2等于3。師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)這里的5表示什么？2、3又表示什么呢？……師：同學(xué)們說(shuō)得真好！在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，5-2=3還可以表示什么呢？請(qǐng)同桌互相說(shuō)一說(shuō)。生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。生2：樹(shù)上有5只小鳥(niǎo)，飛走2只，還剩3只?！鲜鰞啥谓虒W(xué)，所體現(xiàn)出來(lái)的教學(xué)著力點(diǎn)是不一樣的。第一個(gè)片段，屬于“就事論事”式的簡(jiǎn)單教學(xué)，教師對(duì)教學(xué)的定位完全停留在知識(shí)傳授的層面上，“5-2=3”僅是一道題的解答算式而已。第二個(gè)片段，除了教學(xué)充分展開(kāi)外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。且這種訓(xùn)練并不是簡(jiǎn)單、生硬地進(jìn)行，而是和低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)相貼切——由具體、形象的實(shí)例開(kāi)始，借助于操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過(guò)思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。舉例：小數(shù)的認(rèn)識(shí)在小學(xué)階段，學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)主要是將它和分?jǐn)?shù)之間進(jìn)行意義上的關(guān)聯(lián)，即：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……。按照螺旋上升的教材編排原則，上述內(nèi)容大多分解在三、四年級(jí)分兩次學(xué)完，三年級(jí)先認(rèn)識(shí)一位小數(shù)。如何在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)一位小數(shù)時(shí)就體現(xiàn)出“建?！钡乃枷肽?，我們進(jìn)行了如下教學(xué)：課始，教師出示到超市購(gòu)買的一些物品和相應(yīng)的價(jià)錢：水彩筆12元、美工刀3元5角、鉛筆0.4元。當(dāng)“0.4元”出現(xiàn)后，教師提問(wèn)：師：知道“0.4元”到底是多少錢嗎？生：0.4元就是4角錢。（板書4角=0.4元）師：4角錢有沒(méi)有1元多？生：沒(méi)有。師：看來(lái)，和1元相比，0.4元只能算是一個(gè)“零頭”了。如果我們用這樣的一個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)表示1元，你能把它分一分、涂一涂，將0.4元表示出來(lái)嗎？（學(xué)生拿出練習(xí)紙畫畫涂涂，把自己的想法表示出來(lái)。交流時(shí)，尋找共性特點(diǎn)：平均分成10份，涂出其中的4份）師：為什么這樣就將“0.4元”表示出來(lái)了呢？生：因?yàn)?元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。師：看著大家畫出的圖示，讓我想起以前咱們學(xué)什么時(shí)，也是這樣子平均分一分、涂一涂？生：分?jǐn)?shù)！師：那0.4元如果用分?jǐn)?shù)表示，如何表示呢？生：十分之四元。師：數(shù)學(xué)真是有趣，原來(lái)0.4元也就是我們熟悉的十分之四元。師：老師購(gòu)買了一塊橡皮，它的價(jià)錢是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少錢？生：0.8元就是8角師：又是一個(gè)不足1元的零頭，如果我們還是用這樣的一個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)表示1元，那0.8元又該怎么表示呢？學(xué)生模仿者剛才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”。接著，老師給學(xué)生提供一個(gè)空白的平均分成10份的長(zhǎng)方形，任意涂出其中一部分，表示出一個(gè)小數(shù)和相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。幾個(gè)學(xué)生自由展示后，組織梳理，從0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……師：接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看看筆記本的價(jià)格，我給你一個(gè)圖示，你知道它的價(jià)錢了嗎？生：筆記本的價(jià)格是1.2師：剛才的小數(shù)都是“零點(diǎn)幾”，現(xiàn)在怎么變成“一點(diǎn)幾”了？生：現(xiàn)在有兩個(gè)長(zhǎng)方形了，第一個(gè)涂滿了顏色，表示整1元。第二個(gè)平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角錢，0.2元，合起來(lái)就是1.2元了。師：我買的鋼筆的價(jià)錢是8.6元，如果讓你畫一幅圖來(lái)表示它的價(jià)錢，你準(zhǔn)備怎樣畫呢？生：我準(zhǔn)備先畫9個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形，然后把前面8個(gè)涂滿顏色，第9個(gè)長(zhǎng)方形平均分成10份，涂出其中的6份?！鲜鼋虒W(xué)過(guò)程抓住了知識(shí)間的聯(lián)系（小數(shù)和十進(jìn)分?jǐn)?shù)的關(guān)系）而展開(kāi)，但又不是停留在教師直接的講解和“告訴”，而是讓學(xué)生充分展開(kāi)探索過(guò)程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”（長(zhǎng)方形等分、涂色）。這種形象的“直觀模型”既搭起了小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的橋梁，也具有強(qiáng)大的“擴(kuò)展”功能，對(duì)后面學(xué)習(xí)兩位小數(shù)、三位小數(shù)（同樣的長(zhǎng)方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小數(shù)的意義”具有統(tǒng)攝作用。從上述兩例可以看出，運(yùn)用建模思想來(lái)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號(hào)化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體，通過(guò)這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)支持。當(dāng)然，對(duì)學(xué)生“模型”意識(shí)的培養(yǎng)和“建?！狈椒ǖ闹笇?dǎo)，要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級(jí)而有層次不同的要求，低年級(jí)要恰到好處地結(jié)合日常實(shí)例和常規(guī)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“模型”及“模型意識(shí)”的滲透、點(diǎn)化，高年級(jí)則可以更明確地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力。(三)“魔”。所謂“魔”，即“著魔”，也就是學(xué)生對(duì)“模型”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用有著深切的體驗(yàn)和感悟，并對(duì)之產(chǎn)生好奇，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主動(dòng)地構(gòu)想模型、建立模型、運(yùn)用模型。兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，應(yīng)該是讓學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué)、愛(ài)數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)懷有敬畏之心和熱愛(ài)之情。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只停留在知識(shí)和方法層面，而是要深入到數(shù)學(xué)的“腹地”，用數(shù)學(xué)自身的魅力來(lái)吸引學(xué)生。正如日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏所說(shuō)：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。要讓學(xué)生能充分感受到數(shù)學(xué)模型和建模教學(xué)所產(chǎn)生的“魔力”，實(shí)際教學(xué)中，一方面要結(jié)合日常教學(xué)給學(xué)生以充分的體驗(yàn)和感受。比如，在二年級(jí)教學(xué)“確定位置”時(shí)，設(shè)定觀察的規(guī)則（觀察順序）非常重要——“從左向右數(shù)是第幾排”、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”……如果我們結(jié)合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線→”（坐標(biāo)系中的“橫軸”原型）和“縱向帶箭頭的直線↑”（坐標(biāo)系中的“縱軸”原型），既將觀察順序形象表達(dá)，又蘊(yùn)含了二維坐標(biāo)（第一象限）的基本原理。如果學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)中也能模仿著使用，那感受會(huì)更加深刻。而在六年級(jí)學(xué)習(xí)“確定位置”（用方向、角度、距離來(lái)確定平面圖中任意一個(gè)位置）時(shí)，如果讓學(xué)生試著總是以觀測(cè)點(diǎn)為中心先畫出一個(gè)“十字”坐標(biāo)圖然后再確定位置，那學(xué)生的觀察不僅變得有序，而且準(zhǔn)確性很高。在此基礎(chǔ)上，老師再對(duì)學(xué)生進(jìn)行“建?！?、“用模”的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行適當(dāng)評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，教學(xué)的境界就會(huì)大大提升。另一方面，也可以在中高年級(jí)進(jìn)行一些專題性的訓(xùn)練。我們?cè)浴半u兔同籠”為例進(jìn)行過(guò)這方面的嘗試。在學(xué)生初步能用不同的假設(shè)思路解答雞兔同籠的題目后，老師提問(wèn)：“生活中你見(jiàn)過(guò)有人把雞和兔放在一個(gè)籠子里養(yǎng)殖的嗎？就是放在一起養(yǎng)殖，也沒(méi)誰(shuí)去做數(shù)頭數(shù)腳這種無(wú)聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費(fèi)苦心地研究來(lái)研究去的，一千多年過(guò)去了，雞兔同籠這道數(shù)學(xué)題還作為寶物似的流傳到今？”（屏幕顯示：“雞兔同籠”有什么獨(dú)特的魅力？）在學(xué)生對(duì)所提問(wèn)題一時(shí)困惑皺眉時(shí)，老師提議帶著