直線與圓錐曲線四

直線與圓錐曲線之——直線的設(shè)法我們?cè)谇懊嫣幚碇本€與圓錐曲線時(shí)，涉及到了直線方程的幾種設(shè)法形式。對(duì)于有些題目，直線方程的設(shè)法確實(shí)會(huì)影響到我們的做題。今天我們通過一道題目，感受一下。已知橢圓x2y21(ab0)的離心率為3，且過點(diǎn)B(0，1).a2b22（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）已知點(diǎn)P(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與圓x2y2b2相切，并與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，求弦AB長(zhǎng)度的最大值時(shí)，m的值。b1a2c3，解得解析：（Ⅰ）由題意知eb1，a2c3a22c2b橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2 y21.4（Ⅱ）方法一 我們先用同學(xué)們喜歡用的設(shè)法。當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，m1，弦長(zhǎng)AB3當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為yk(xm)因?yàn)橹本€AB與圓x2y2b2相切，km1所以1k2整理得k2m21k2因?yàn)橹本€AB與橢圓交于 A,B兩點(diǎn)2x 2所以 y 1y k(x m)整理得(421)282(4224)0kxkmxkm64k4m24(4k21)(4k2m24)48k20所以AB1k264k4m24(4k21)(4k2m24)4k2143k4k243k4k24k21(4k21)2下面我們要求解k4k2(4k2什么時(shí)候取最大值。1)2首先，我們可以用導(dǎo)數(shù)法[k4k22]'(4k32k)(4k21)216k3(1k2)(4k21)(4k21)(4k21)4-2k2(2k21)0(4k21)4解得k21，代入得，m3，此時(shí)ABmax22其次，我們可以用法令k2t，Tk42k22t2t2(4k1)(4t1）整理得T1)t2TtT0(16(81)T1)2TT1)T10(84(1612解得T1，代入可得ABmax212解得k21，代入得，m32下面我們看方法二直線方程的另一種設(shè)法由題意知，直線AB的斜率不為0，故設(shè)直線方程為xtym因?yàn)橹本€AB與圓x2y2b2相切，m1所以1t2整理得m21t2因?yàn)橹本€AB與橢圓交于A,B兩點(diǎn)x2y21所以4tymx整理得(t24)y22(m24)0tmy64k4m2 4(4k2 1)(4k2m2 4) 48k2 0所以AB1t24k2m24(m24)(t24)t2443(1t2)(t2m4)t24將代入得AB43m432，當(dāng)m3時(shí)，等號(hào)成立。m233mm這種直線的設(shè)法是不是要簡(jiǎn)單很多？說明：方法一中的直線設(shè)法，要考慮直線的斜率是否存在，方法二中直線的設(shè)法要考慮直線的斜率是否為0.而且，當(dāng)已知直線經(jīng)過x軸上一點(diǎn)時(shí)，我們通常采用第二種設(shè)法。如果能夠感受到直線設(shè)法給解