桿件結(jié)構(gòu)有限單元法

2.1結(jié)構(gòu)離散2.2單元的剛度矩陣2.3坐標(biāo)變換2.4結(jié)構(gòu)剛度方程2.5支座約束處理2.6剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算例1.桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例例2.剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例第2章桿件結(jié)構(gòu)分析的有限單元法2.1結(jié)構(gòu)離散離散化要點(diǎn)：桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長(zhǎng)截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置為一個(gè)單元。變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，仍按等截面桿單元計(jì)算，截面剛度取自各段中點(diǎn)處截面。對(duì)曲桿結(jié)構(gòu)，可細(xì)分，用兩點(diǎn)之間的直線代替曲線。在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其變換為等效結(jié)點(diǎn)載荷。建立單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系。桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖

2.1結(jié)構(gòu)離散

2.1結(jié)構(gòu)離散符號(hào)規(guī)定：線位移及相應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時(shí)為正?；疚粗浚烘湕U單元，平面每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移，空間每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)線位移梁?jiǎn)卧?，平面每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)線位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角位移，空間每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)線位移和三個(gè)轉(zhuǎn)角位移節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移要一一對(duì)應(yīng)平面剛架的梁?jiǎn)卧猠：平面桁架的鏈桿單元e：2.1結(jié)構(gòu)離散6單元?jiǎng)偠确匠谭从硢卧墓?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系;單元?jiǎng)偠染仃嚳筛鶕?jù)剛度系數(shù)的物理意義，由力和變形之間的關(guān)系確定。單元?jiǎng)偠染仃囈部梢杂晌灰坪瘮?shù)和虛功原理或最小勢(shì)能原理計(jì)算。（具有一般性）2.2單元?jiǎng)偠染仃嚪祷?單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ㄒ唬?/p>

對(duì)于一般平面剛架梁?jiǎn)卧?，單元?jiǎng)偠确匠蹋簡(jiǎn)卧膭偠确匠蹋好枋鰡卧慕Y(jié)點(diǎn)位移δ(e)與結(jié)點(diǎn)力

F(e)之間的關(guān)系.結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)力對(duì)于兩結(jié)點(diǎn)平面梁?jiǎn)卧簡(jiǎn)卧膭偠染仃嘖(e)為6*6的方陣對(duì)于平面桁架的鏈桿單元，K(e)為4*4的方陣。8平面剛架兩結(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧膭偠确匠谈鶕?jù)單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義,由梁?jiǎn)卧芰妥冃渭暗冉孛嬷睏U的剛度方程可以給出。 注意：所有力與位移的正負(fù)號(hào)均決定于坐標(biāo)系方向。平面剛架兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧篎(e)K(e)第i列元素的物理意義:

代表ui=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的六個(gè)桿端力大小。第krs元素的物理意義:

代表us=1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)引起的第r個(gè)桿端力Fr大小。δ(e)ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

ui=1平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噕i=1單獨(dú)作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

uj=1平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

vj=1平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下返回ui=1

vi=1

θi=1

uj=1

vj=1

θj=1

平面梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃噯为?dú)作用下15平面一般梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠确匠虨?桿端力

向量F

(e)單元桿端位移

向量δ(e)單元?jiǎng)偠染仃?/p>

K(e)16梁?jiǎn)卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚍?單元?jiǎng)偠染仃嚦Ｓ米訅K形式表示:其中每個(gè)都是3×3的方陣，子塊

Kij(e)

表示桿端j作用一單位位移時(shí),桿i端引起的桿端力。返回17平面桁架鏈桿單元

平面桁架單元只有軸向變形,桿端力只有軸力；

矩陣表示：返回1）單元位移函數(shù)選用準(zhǔn)則單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)，它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。位移函數(shù)中包含單元的剛體位移和常應(yīng)變狀態(tài)。單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

根據(jù)結(jié)構(gòu)分析類(lèi)型選取單元類(lèi)型和位移場(chǎng)，根據(jù)單元類(lèi)型采用對(duì)應(yīng)的單元位移模式，位移函數(shù)能反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律，保證計(jì)算精度及解的收斂性。選用的單元位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足下列要求:

形函數(shù)在其對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的值為1，在其他節(jié)點(diǎn)的值為0。2）軸向拉壓桿（鏈桿）單元的位移的函數(shù)由單元結(jié)點(diǎn)位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項(xiàng)：軸向位移形函數(shù)：軸向位移形函數(shù)：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

梁?jiǎn)卧獡隙群瘮?shù)：3）梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰坪瘮?shù)梁?jiǎn)卧矫鎻澢ㄋ膫€(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量：由單元結(jié)點(diǎn)位移，代入位移函數(shù)中確定待定系數(shù)項(xiàng)：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

稱(chēng)為形函數(shù)矩陣。

梁?jiǎn)卧獡隙群瘮?shù)：梁?jiǎn)卧灰颇Ｊ剑?）梁?jiǎn)卧矫鎻澢奈灰坪瘮?shù)單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

4）平面剛架梁?jiǎn)卧膽?yīng)力應(yīng)變

平面剛架梁?jiǎn)卧獌?nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成。則[B]—平面剛架梁?jiǎn)卧膽?yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。軸向應(yīng)變：彎曲應(yīng)變：平面剛架梁?jiǎn)卧獞?yīng)變：

單元?jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

5）平面剛架梁?jiǎn)卧膭偠染仃?/p>

梁?jiǎn)卧膇，j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為

單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為：

由虛功原理有

由于結(jié)點(diǎn)虛位移的任意性，可得到單元的剛度方程：?jiǎn)卧膭偠染仃嚕簡(jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕ǚ椒ǘ?/p>

橫截面積

：橫截面對(duì)主慣性軸z的慣性矩：

通過(guò)積分同樣可以得到平面剛架梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚕?/p>

平面剛架梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?5在整體分析時(shí)，要在結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下進(jìn)行桿端力（結(jié)點(diǎn)力）的疊加;通過(guò)坐標(biāo)變換使所有單元的桿端力和桿端位移都變換到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)下。在進(jìn)行單元分析時(shí)，使用的是單元坐標(biāo)系，各單元桿端力和桿端位移的排列順序和符號(hào)要參照單元坐標(biāo)系。力和位移均為矢量，方向不同不能代數(shù)相加。2.3桿件單元的坐標(biāo)變換返回設(shè)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的夾角為α，以整體到單元坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)向與x到y(tǒng)軸的轉(zhuǎn)向一致為正。26桿端力變換：桿端位移變換：平面鏈桿單元:平面桿件單元的坐標(biāo)變換為正交矩陣:返回單元坐標(biāo)變換矩陣：平面梁?jiǎn)卧?整體坐標(biāo)描述的單元?jiǎng)偠染仃嚕?/p>

2.4結(jié)構(gòu)剛度方程主要內(nèi)容：231返回結(jié)構(gòu)的剛度方程結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配結(jié)構(gòu)的荷載向量結(jié)點(diǎn)位移向量Δ：所有結(jié)點(diǎn)的位移按順序排成一列；剛架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有3個(gè)位移，桁架每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有2個(gè)位移。結(jié)點(diǎn)力向量P:作用在結(jié)點(diǎn)上的力按結(jié)點(diǎn)位移的順序排成一列;單元內(nèi)部的荷載等效到節(jié)點(diǎn)上。返回結(jié)構(gòu)剛度方程：反映結(jié)點(diǎn)力向量P與結(jié)點(diǎn)位移向量Δ之間的關(guān)系，即：KΔ=PK為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，且為對(duì)稱(chēng)方陣。由個(gè)單元?jiǎng)偠染仃囇b配疊加而成。結(jié)點(diǎn)力向量P與結(jié)點(diǎn)位移Δ一一對(duì)應(yīng)，也按結(jié)點(diǎn)位移的順序排列；以上所有的量都要用整體坐標(biāo)表示。結(jié)構(gòu)的剛度方程29具體做法：把整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)結(jié)點(diǎn)編碼把各子塊送到總剛度矩陣K對(duì)應(yīng)的位置中去。裝配過(guò)程：“子塊搬家，對(duì)號(hào)入座”。

整體坐標(biāo)下單元?jiǎng)偠染仃嚕喝绻鹖,j對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)編號(hào)為g,h，則單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯訅K在總剛中的位置分別為：結(jié)構(gòu)剛度矩陣的裝配123ghn123ghn總剛度矩陣的集成子塊列子塊行每個(gè)單元的剛度矩陣都經(jīng)過(guò)如上擴(kuò)展和對(duì)號(hào)入座后，總剛度矩陣的各個(gè)子塊經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的疊加即可得到最終的總剛度矩陣。“子塊搬家，對(duì)號(hào)入座”如：圖示平面剛架的總剛度矩陣的集成各單元結(jié)點(diǎn)編碼如圖。用矩陣記為：如果求出各單元整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?23456123456根據(jù)結(jié)點(diǎn)編號(hào)把各單元的子塊搬入總剛K中的對(duì)應(yīng)位置。同一位置各子塊的對(duì)應(yīng)元素相加；空位補(bǔ)0。如果修改各單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)。則用矩陣：123456123456對(duì)角線下方劃紅色的元素需要存儲(chǔ)。單元的子塊搬入總剛度矩陣中的位置，完全取決于結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)編碼。對(duì)同一結(jié)構(gòu)，如果改變了結(jié)點(diǎn)的編碼，則總剛度矩陣完全不同。33總剛度矩陣的特點(diǎn)總剛度矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣；處于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)位置的兩個(gè)元素是相等的，即kij=kji

?？倓偠染仃囀且粋€(gè)稀疏的矩陣；大片的區(qū)域都是零元素，它的非零元素只分布在主對(duì)角線兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi)。

最大半帶寬d=（c+1)*m;其中：c——各單元兩端結(jié)點(diǎn)編號(hào)差的最大值；

m——每個(gè)結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)；不相關(guān)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的剛度子塊均為0?？倓偠染仃囀且粋€(gè)奇異矩陣；當(dāng)沒(méi)有引進(jìn)支座約束條件的情況下，總剛度矩陣不存在逆矩陣。返回判斷圖示結(jié)構(gòu)總剛矩陣的最大半帶寬。d=(3+1)*3=1234d=(6+1)*3=21總剛矩陣中元素的排列與結(jié)點(diǎn)的順序直接相關(guān)。d=(7+1)*2=16返回最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差3最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差6最大相關(guān)結(jié)點(diǎn)差735結(jié)構(gòu)荷載向量不考慮約束反力，只由外荷載引起的結(jié)點(diǎn)力排成的向量則稱(chēng)為荷載向量。如圖1，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量:結(jié)構(gòu)的荷載向量:荷載向量P的構(gòu)成：直接結(jié)點(diǎn)荷載Pd等效結(jié)點(diǎn)荷載PE：?jiǎn)卧獌?nèi)的非結(jié)點(diǎn)荷載（如分布荷載，溫荷載，慣性力等）等效移置到結(jié)點(diǎn)上得到的。

1234等效移置的方法:首先求出基本結(jié)構(gòu)在非結(jié)點(diǎn)荷載作用下引起的固端力。最后將各固端力反向作用到結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)上去，即為該結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載。1234等效結(jié)點(diǎn)荷載向量:荷載向量:2312荷載等效圖基本結(jié)構(gòu):兩端固定梁返回例4：計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的荷載向量。

返回荷載等效圖

荷載等效圖

382.5支座約束處理在形成結(jié)構(gòu)剛度方程時(shí)沒(méi)有考慮支座等約束條件;總剛度矩陣是一個(gè)奇異矩陣；剛度方程P=K沒(méi)有唯一解，方程中包含任意大小的剛體位移。必須引進(jìn)約束條件，消除剛體位移，才能得到唯一解。支座條件引進(jìn)的目的就是使：約束結(jié)點(diǎn)，位移已知0,約束反力未知。

自由結(jié)點(diǎn)，荷載已知,位移是未知量。結(jié)構(gòu)剛度方程：K11(1)K12(1)0000K21(1)K22(1)+K22(2)0K24(4)0000K33(3)K34(2)0000K43(2)K44(2)+K44(3)+K44(4)0K46(4)0K52(4)00K55(5)K56(5)000K64(4)K65(5)K66(4)+K66(5)123456789101112131415161718P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18對(duì)總剛度方程P=KΔ初等變換--行列交換K11(1)00K12(1)000K33(3)00K34(2)000K55(5)K52(4)0K56(5)K21(1)00K22(1)+K22(2)K24(4)00K43(2)00K44(2)+K44(3)+K44(4)K46(4)00K65(5)0K64(4)K66(4)+K66(5)123789131415456101112161718P1P2P3P7P8P9P13P14P15P4P5P6P10P11P12P16P17P18Px

未知支座反力P1已知節(jié)點(diǎn)

荷載Δ1支座已知0位移Δx求解的未知量Kx1KxxK11K1x把初等變換后的總剛度方程KΔ=

P可寫(xiě)成將方程式展開(kāi)得:已知節(jié)點(diǎn)力（節(jié)點(diǎn)荷載）未知節(jié)點(diǎn)力（支座反力）

未知節(jié)點(diǎn)位移求解的未知量已知節(jié)點(diǎn)位移（支座0位移)求解未知節(jié)點(diǎn)位移Δx計(jì)算未知約束反力Px對(duì)于剛性支座：支座反力對(duì)位移的計(jì)算沒(méi)有影響，但位移決定支座反力。有限元法是面向計(jì)算機(jī)的方法，邊界處理不要改變剛度方程的階數(shù)，消除剛體位移且不影響自由結(jié)點(diǎn)的位移。常用的處理方法有：1.主元素置1法：要修正剛度矩陣和荷載向量；作法：0位移對(duì)應(yīng)的剛度矩陣主元素置為1，相應(yīng)的副元素置0；荷載對(duì)應(yīng)項(xiàng)置為0。2.主元素乘大數(shù)法：僅修正剛度矩陣；作法：僅把0位移對(duì)應(yīng)的剛度矩陣主元素乘以一大數(shù)（如1030）。返回支座約束條件的引進(jìn)主元素置1法若第i個(gè)自由度（位移）為0，應(yīng)保證剛度方程解得Δi=0。

將總剛度矩陣K中第i行的主元素（第i行的主對(duì)角線元素）改為1，即令K（i，i）=1。將第i行、i列的所有副元素都改為零。即令K（i，j）=0，K（j，i）=0(i≠j)。將荷載向量中的第i元素置為零，即令Pi=0。

經(jīng)過(guò)這三步改動(dòng)后，便可實(shí)現(xiàn)Δi=0。

第3步第2步第1步第i行方程支座約束條件的引進(jìn)123456789101112131415161718主元素置1法引進(jìn)支座條件：

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18000P4P5P6000P10P11P12000P16P17P18根據(jù)0位移修改剛度矩陣；根據(jù)0位移修改荷載向量。(1)(2)(3)(4)(5)123456789101112131415161710P11P12P13P14P15P16P17P18如改變單元結(jié)點(diǎn)的編號(hào)；如圖引入邊界條件后的總剛方程為：主元素置1法引進(jìn)支座條件：

返回形成了荷載向量P，集成了總剛度矩陣K并且引進(jìn)支座條件后，便可由剛度方程K△=

P求解結(jié)點(diǎn)位移△。這就轉(zhuǎn)化為求解大型線性代數(shù)方程組問(wèn)題。線性代數(shù)方程式組的解法：直接法和迭代法。直接解法：如高斯消去法，及其派生的LU、LDLT三角分解法。迭代法：塞德?tīng)柕ā?.6剛度方程求解及內(nèi)力計(jì)算一、剛度方程求解返回47首先從整體的結(jié)點(diǎn)位移向量△中取出該單元的結(jié)點(diǎn)位移。設(shè)單元e左右兩端的結(jié)點(diǎn)編號(hào)分別為m和n，則該單元的整體坐標(biāo)表示的結(jié)點(diǎn)位移向量為：然后將進(jìn)行坐標(biāo)變換，換成用單元坐標(biāo)表示。最后代入單元?jiǎng)偠确匠?便可求各單元的桿端力如果單元上還作用非結(jié)點(diǎn)荷載，則需要疊加由非結(jié)點(diǎn)荷載引起的固端內(nèi)力，得到真正的桿端力：二、單元桿端內(nèi)力計(jì)算返回例1.用有限單元法計(jì)算圖示桁架內(nèi)力。EA=常量。

1.結(jié)構(gòu)離散如圖所示2.單元坐標(biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃嚱Y(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：1（0,1），2（1.732,1），3（0,0）；單元結(jié)點(diǎn)：1（1,2）,2（3,2）3.整體坐標(biāo)描述的各單元?jiǎng)偠染仃嘺=00a=300返回4.按結(jié)點(diǎn)編碼

裝配整體剛度矩陣單剛坐標(biāo)變換：1231

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300123212325.結(jié)構(gòu)荷載向量6.根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：5.結(jié)構(gòu)荷載向量6.根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：主元素置1法5.結(jié)構(gòu)荷載向量6.根據(jù)邊界位移條件修正結(jié)構(gòu)的剛度方程：主元素乘大數(shù)法7.求解結(jié)構(gòu)的剛度方程組得位移：8.各單元的桿端位移向量：整體坐標(biāo)下：轉(zhuǎn)換到單元坐標(biāo)下：9.單元坐標(biāo)下各單元的桿端力向量：?jiǎn)卧獌?nèi)力：返回55例2.應(yīng)用有限元法計(jì)算各桿端