第二章薛定諤方程

第二章薛定諤方程（4學時）

(Schr?dingerEquation)§2.1薛定諤得出的波動方程§2.2無限深方勢阱中的粒子§2.3勢壘穿透§2.4諧振子

一、波函數(shù)§2.1薛定諤得出的波動方程(WaveequationofSchr?dinger)

由于波函數(shù)ψ

的概率解釋，ψ可以相差一個任意常數(shù)因子A，即ψ和Aψ代表相同的狀態(tài)。這一點與經(jīng)典力學有本質(zhì)區(qū)別。

微觀粒子具有波粒二象性,它的狀態(tài)用波函數(shù)

描述。波和粒子性的關(guān)系為：波的強度正比于粒子到達的概率,t

時刻在空間(x,y,z)點附近的體積元dV

內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率正比于|ψ(x,y,z,t)|2dV，其中

ψ(x,y,z,t)為波函數(shù)，|ψ(x,y,z,t)|2為概率密度。所以已知

是未歸一化的波函數(shù)，則令ψ=Aφ，它們描述同一個狀態(tài)，有

由于波函數(shù)的概率解釋,粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1，所以ψ

應該滿足波函數(shù)的歸一化條件：波函數(shù)的物理意義：ψ2dV－在t

時刻粒子出現(xiàn)在(x,y,z)點附近dV

體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率。－在t

時刻粒子出現(xiàn)在V

體積內(nèi)的概率。ψ2－在t

時刻粒子出現(xiàn)在(x,y,z)點處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率密度。二、波函數(shù)的標準條件：

由于微觀粒子在空間出現(xiàn)的概率必須單值、連續(xù)、有限的，所以要求波函數(shù)ψ單值、連續(xù)、有限的,這稱為波函數(shù)的標準條件。不滿足這些條件的函數(shù)沒有物理意義，不代表物理實在。在空間很小的區(qū)域，,內(nèi)，波函數(shù)可視為不變，粒子在dV=dxdydz內(nèi)出現(xiàn)的概率,正比于和dV。設歸一化因子為A，則歸一化的波函數(shù)為計算積分得：則歸一化的波函數(shù)為:例：將波函數(shù)歸一化。

在經(jīng)典力學中，物體的運動滿足牛頓定律，它給出了物體運動狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律。三、薛定諤方程（非相對論）：在量子力學中，微觀粒子的運動規(guī)律用薛定諤方程描述。所謂微觀粒子的運動規(guī)律,也就是波函數(shù)ψ隨時間和空間的變化規(guī)律。ψ滿足的方程，薛定諤方程是量子力學的基本方程，在量子力學中的地位就相當于經(jīng)典力學中牛頓方程的地位。問題的提出：德拜:問他的學生薛定諤能不能講一講DeBroglie的

那篇學位論文呢？一月以后：薛定諤向大家介紹了德布羅意的論文。德拜提醒薛定諤:“對于波，應該有一個波動方程”瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學物理討論會（1926）德拜薛定諤

。

薛定諤（1926）提出了非相對論性的薛定諤方程：狄拉克（1928）提出了相對論性的狄拉克方程，它們是量子力學的基本方程，二人分享了1933年諾貝爾物理學獎。1.一維自由粒子的薛定諤方程設粒子沿x方向運動,波函數(shù)為對x求二階偏導對t求一階偏導（1）（2）由(2)式可得代入(1)式可得薛定諤方程由2.勢場中一維粒子的一般薛定諤方程勢場中粒子能量（3）由(2)式可得（4）由(1)式可得（5）將(4),(5)代入(3)可得勢場中一維粒子一般薛定諤方程物理啟示:定義能量算符,動量算符和坐標算符（1）（2）對一維情況有：這個方程稱為含時薛定諤方程，式中波函數(shù)是時空點的函數(shù)Ψ=Ψ(x,t)，U(x,t)是粒子在場中的勢能函數(shù)。3.勢場中三維粒子的薛定諤方程將勢場中一維粒子的一般薛定諤方程推廣到三維情況引入拉普拉斯算符上式寫成引入哈密頓算符可得一般形式的薛定諤方程4.定態(tài)薛定諤方程將上式代入一般薛定諤方程并除以上式得令：得：由于指數(shù)只能是無量綱的數(shù)，所以E必定具有能量的量綱，即以能量的單位J為單位。條件：勢能函數(shù)U=U(x,y,z)不隨時間變化,則波函數(shù)可以分離變量,即表示成令：得：即定態(tài)薛定諤方程：解出定態(tài)波函數(shù)

后可得總波函數(shù)為：

概率密度與時間無關(guān)質(zhì)量為m（不考慮相對論效應）的粒子在勢能為U的勢場中運動時，有一組與粒子穩(wěn)定態(tài)相對應，這波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程每一個解，即一組的每一個,表示粒子的一個定態(tài)。這個解對應的常數(shù)E就是這個定態(tài)具有的能量，稱為本征值，相應的函數(shù)叫本征波函數(shù)。利用薛定諤方程，再加上波函數(shù)標準條件，可以“自然地”得到微觀粒子的重要特征—量子化結(jié)果,而不須象普朗克假設那樣強制假定量子化。薛定諤方程的結(jié)果，已被無數(shù)實驗所證實。定態(tài)薛定諤方程的意義：討論其中的系數(shù)為復數(shù)，它們模平方是在對應態(tài)粒子出現(xiàn)的概率。即它們滿足：5、狀態(tài)疊加原理：如果等（或簡寫為）都是體系的可能狀態(tài)或稱基矢，那么，它們的線性疊加態(tài)也是這個體系的一個可能狀態(tài)。6、力學量算符

量子力學中，粒子出現(xiàn)具有概率性，因而帶來量子力學的概率性或不確定性，與經(jīng)典力學不同，量子力學的力學量是算符，而不是常規(guī)量。1)力學量算符的本征方程、本征值和本征態(tài)：如能量算符記為哈密頓算符對每個算符都有對應的本征方程:稱為能量算符的本征方程它表示當作用在波函數(shù)上以后，得到一個新的波函數(shù)，它與只差一個常數(shù)因子.類似地，若，則是的本征態(tài)，處在態(tài)的粒子有確定的動量，是對應的本征值。2)、力學量算符的平均值：當粒子處在某力學量的非本征態(tài)時，則實驗測量該力學量時，其值是不確定的，如粒子處在的非本征態(tài)，則測量粒子的能量得不到一個確定的值。

能量本征方程表示的物理意義是，當粒子處在態(tài)時，則實驗測量該粒子有確定的能量。我們稱為能量算符的本征態(tài)，為的對應態(tài)的本征值。設力學量算符平均值:對一般的力學量F，有

其中是的本征態(tài)。將矢量按基矢展開.我們測量概率正是疊加態(tài)中本征態(tài)出現(xiàn)的概率.因此，平均值

這一表示說明，當粒子處在態(tài)，粒子是以不同的概率時而處在，時而處在,···各個本征態(tài)，而態(tài)正是以不同的概率出現(xiàn)各個本征態(tài)的疊加態(tài)。具有正交歸一性1n=m,0n=m3)、力學量算符的厄米性：實驗中測得的力學量應為實數(shù)，即本征值應為實數(shù)，因而平均值也是實數(shù).這就要求力學量算符必須是厄米的。實際上，由分別以和乘以以上兩式，再積分則有:一般定義是厄米的，是滿足

4)、力學量算符的對易關(guān)系：如果,算符、，滿足條件或記為

其中是任意波函數(shù)則、稱為對易算符。此條件下，當粒子處在的本征態(tài)，則也是的本征態(tài).物理上解釋為，當粒子處在、共同的本征態(tài)中，、兩力學量可以同時確定，實驗能同時測量出確定的，的值

g、f

。反之，若例如：因此x和px不可能同時測定。則和不可對易，此時、無共同本征態(tài)和不可能同時測定，不確定原理關(guān)系式正是描述這一物理現(xiàn)象的。于是有解：本征方程Px是動量本征值。所以例1.求動量的x分量的本征函數(shù)C為積分常數(shù)。若粒子位置不受限制，則Px可以取任何實數(shù)值,是連續(xù)變化的。顯然解：對于一維自由粒子本征方程為相應的能量例2：求一維自由粒子的能量本征態(tài)?？梢匀〔粸樨摰囊磺袑崝?shù)值。其解為例3：以二能級原子模型為例，說明量子力學中原子定態(tài)和迭加態(tài)概念。如果原子處在疊加態(tài),在疊加態(tài)中，各個本征態(tài)以一定的概率出現(xiàn),也叫非本征態(tài)，處于該態(tài)粒子的能量沒有確定的實驗測量值與它對應，需求能量算符的平均值。解：設二能級原子有兩個本征態(tài)和分別具有能量本征值。在矢量空間中，任一矢量可以用一組分量來表示，例如電場還可寫成矩陣形式根據(jù)的正交歸一，二能級原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)也可表示為態(tài)矢量和它表示原子以概率處在基態(tài)同時以概率處在激發(fā)態(tài)基態(tài)和激發(fā)態(tài)構(gòu)成二能級原子狀態(tài)的一組矢量空間的基矢，也叫能量本征態(tài)。二能級原子的任一其他的態(tài)可以按這基矢展開。一般來說，二能級原子，任一狀態(tài)為一、無限深一維方勢阱這種勢能分布即為無限深方勢阱。粒子處于束縛態(tài)：在阱內(nèi)勢能為零，粒子不受力的作用；在邊界處，勢能突然增加到無限大，粒子受到無限大的斥力。粒子被限制在0<x<a的范圍內(nèi)，不可能到此范圍外。0ax粒子在力場中的勢能函數(shù)為：§2.2無限深方勢阱中的粒子(Particleininfinitesquare-wellotential)

二、求解定態(tài)薛定諤方程由于勢函數(shù)不隨時間變化，所以屬定態(tài)解。(0<x<a)上式變?yōu)椋毫睿捍朔匠掏ń鉃?其中A、B、k均為常數(shù)，A、B由邊界條件確定。邊界條件要求：阱內(nèi)：U=0，方程為

阱外：物理上，勢能為無窮就是粒子不能到達，因此有:有界條件單值條件連續(xù)條件所以有：（若B=0，則勢阱內(nèi)無粒子）由歸一化有：歸一化條件則：n

叫量子數(shù)由此得：總波函數(shù)：由和解得：定態(tài)本征解：（當0

xa）定態(tài)能量本征值：討論（1）能量是量子化的:在勢阱中，粒子的勢能為零，總能量就是動能。在經(jīng)典力學中，粒子的動能可連續(xù)取值；而量子力學的結(jié)果是，能量是量子化的。且由薛定諤方程自然而然地得到，不需人為假定。（2）零點能:最低的能級是n=1能級對經(jīng)典物理來說這是不可理解的，而按量子理論是可以理解的。若E=0，則但勢阱中，所以E不能為零。根據(jù)不確定關(guān)系，（4）根據(jù)波函數(shù)的物理意義，為粒子在各處出現(xiàn)的概率密度。由圖，在勢阱內(nèi)概率密度隨x改變，且與n有關(guān)。但是按經(jīng)典理論,粒子在各點出現(xiàn)的概率應該是相同的。0an=1n=2n=3E1E2E3x當時，量子化-->連續(xù)(5)每一個能量本征態(tài)對應于德布羅意波的一個特定波長的駐波，可見a越大越小，當a大到宏觀尺度時，，能量可看作連續(xù)變化，這和經(jīng)典理論相對應。（3）相鄰兩個能級之差(6)把坐標原點移至勢阱中點，則把上面結(jié)果中的x改為x-a/2，就得到新坐標系下的波函數(shù)（可能有正負號的差別，但作為波函數(shù)是等價的）：

n=1,3,5,…時的波函數(shù)是偶函數(shù),這些狀態(tài)叫做偶宇稱態(tài)，n=2,4,6,…時的波函數(shù)是奇函數(shù)，這些態(tài)叫做奇宇稱態(tài)。EOaxE1n=14E1n=29E1n=3Enψn|ψn|2EOa/2x-a/2無限深方勢阱內(nèi)粒子的能級、波函數(shù)和概率密度E1n=14E1n=29E1n=3例：一粒子在一維無限深方勢阱中運動而處于基態(tài)。從阱寬的一端到離此端點1/4阱寬的距離內(nèi)它出現(xiàn)的概率多大？解：基態(tài)波函數(shù)為:

n=1,粒子從阱寬的一端到離此端點1/4阱寬的距離內(nèi)它出現(xiàn)的概率為半無限深方勢阱的勢能函數(shù)為定態(tài)薛定諤方程,必需滿足標準化條件下，求解薛定諤方程,“自然地”得到如下圖所示量子化的能級、波函數(shù)和概率密度。§2.3勢壘穿透(Barrierpenetration)EOa/2xU0U-a/2量子力學：EE1E3E2-a/2a/2xU0Enψn|ψn|20能量小于U0的粒子，只能在阱內(nèi)運動,不可進入其能量小于勢能的

的區(qū)域，否則動能將為負值。薛定諤方程給出的解,在其勢能U0大于總能量E的區(qū)域內(nèi)雖然逐漸衰減，但仍有一定的值。討論：與經(jīng)典理論不同，微觀粒子能進入勢能遠大于總能量的區(qū)域，這可用測不準關(guān)系加以說明,在該區(qū)域內(nèi)，其動能的不確定度大于觀察不到的負動能值。指數(shù)降低經(jīng)典理論：解薛定諤方程，可得如圖所示的波函數(shù)。可見,能量低于勢壘高度的粒子不僅有可能進入勢壘內(nèi)部，而還有一定的概率穿過勢壘，這種現(xiàn)象稱為隧道效應。

Eψ(x)UOaxU0

對有限厚度的勢壘，粒子的勢能函數(shù)為a

越小,U0

越小,穿透率越高。二、隧道效應隧道電流I與樣品和針尖間距離S的關(guān)系利用掃描隧道顯微鏡看到的硅表面（77重構(gòu)圖象）隧道效應已經(jīng)被實驗完全證實。粒子從放射性核中放出就是隧道效應的例子，黑洞的量子蒸發(fā)、熱核反應也是隧道效應的結(jié)果。隧道效應的重要應用是掃描隧道顯微鏡。1994年中國科學家“寫”出的原子字。原子操縱移動48個Fe原子組成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。一、勢函數(shù)M：振子質(zhì)量，：固有頻率，x：位移二、定態(tài)薛定諤方程

有定態(tài)薛定諤方程§2.4諧振子(Harmonicoscillator)哈密頓量這是一個變系數(shù)常微分方程，求解復雜。為使波函數(shù)滿足單值、有界、連續(xù)的條件，諧振子的能量必須是量子化的。求得能級公式為（其中n

為量子數(shù)）結(jié)論Oxn=0n=3n=2n=1|ψ0|2|ψ3|2|ψ2|2|ψ1|21.普朗克假設的諧振子能量量子化是解薛定諤方程的自然結(jié)果。2.能級是等間隔的，基態(tài)能量