第5章 圖像變換

Dr.高剛毅（信息學(xué)院）ggy0222@9號(hào)樓402DigitalImageProcessing（DIP）數(shù)字圖像處理2/5/20231回顧：第四章數(shù)字圖像處理中的基本運(yùn)算圖像的三種基本運(yùn)算？代數(shù)運(yùn)算有哪些應(yīng)用？幾何運(yùn)算有哪些應(yīng)用？為什么要引入齊次坐標(biāo)？常用的灰度內(nèi)插法？2/5/20232第五章：圖像變換數(shù)字圖像的變換域處理方法的基本思路是什么？傅立葉變換有哪些特性？DCT變換的主要優(yōu)點(diǎn)是什么？什么是小波？小波具有哪些特點(diǎn)？為什么說小波變換時(shí)“數(shù)學(xué)顯微鏡”？我們將學(xué)到什么？2/5/20233圖像變換的作用圖像變換的理論基礎(chǔ)傅立葉變換傅立葉變換的性質(zhì)二維傅立葉變換離散余弦變換沃爾什變換小波變換本章內(nèi)容2/5/20234一.圖像變換的作用圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學(xué)變換圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號(hào)。但是，往往許多問題在頻域中討論時(shí)，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性2/5/20235常用的變換傅立葉變換FourierTransform離散余弦變換DiscreteCosineTransform沃爾什－哈達(dá)瑪變換Walsh-HadamardTransform小波變換WaveletTransform2/5/20236二、圖像變換的理論基礎(chǔ)數(shù)字圖像處理方法分兩大類：空域法：在空間域直接對圖像進(jìn)行處理頻域法：變換到頻域?qū)D像進(jìn)行分析和處理數(shù)字圖像處理是一門應(yīng)用性非常強(qiáng)的學(xué)科，它既有非常廣泛的技術(shù)基礎(chǔ)，也具有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。在圖像增強(qiáng)、恢復(fù)、編碼、分析等方面都有頻域法的應(yīng)用。2/5/20237頻域法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)線性系統(tǒng)卷積2/5/20238線性系統(tǒng)的應(yīng)用它是一門成熟的理論學(xué)科，通常用于描述電路、光學(xué)、機(jī)械、液壓系統(tǒng)。它為信號(hào)處理、圖像處理、自動(dòng)化、采樣、濾波以及空間分辯率的研究提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。工程技術(shù)應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型一般可以簡化為線性系統(tǒng)。2/5/20239什么是系統(tǒng)？系統(tǒng)的定義：接受一個(gè)輸入，產(chǎn)生相應(yīng)輸出的任何實(shí)體。系統(tǒng)的輸入是一個(gè)或兩個(gè)變量的函數(shù)，輸出是相同變量的另一個(gè)函數(shù)。系統(tǒng)x(t)輸入y(t)輸出2/5/202310當(dāng)且僅當(dāng)（可加性和齊次性）：

x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)

從而有：a*x1(t)a*y1(t)什么是線性系統(tǒng)？線性系統(tǒng)的定義：對于某特定系統(tǒng)，有：

x1(t)y1(t) x2(t)y2(t)2/5/202311線性移不變系統(tǒng)線性系統(tǒng)移不變性的定義：對于某線性系統(tǒng)，有：

x(t)y(t)當(dāng)輸入信號(hào)沿時(shí)間軸平移T，有：

x(t-T)y(t-T)則稱該線性系統(tǒng)具有移不變性2/5/202312卷積卷積的定義離散一維卷積二維卷積的定義離散二維卷積相關(guān)的定義2/5/202313卷積的定義卷積積分是求線性連續(xù)移不變系統(tǒng)輸出響應(yīng)的主要方法，離散序列的卷積求離散線性移不變系統(tǒng)。對于一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入f(t)和輸出h(t)

h(t)

=

g(t

-)f()d

記為：h=g*f

-

g(t)稱為沖激響應(yīng)函數(shù)2/5/202314卷積離散一維卷積（求和代替積分）

h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)

j二維卷積的定義

h(x,y)=f*g=

f(u,v)g(x–u,y–v)dudv

-2/5/202315卷積離散二維卷積h(x,y)=f*g=f(m,n)g(x–m,y–n)

mn2/5/202316三.傅立葉變換傅立葉變換的作用（1）可以得出信號(hào)在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度。（2）可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算。（3）傅里葉變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個(gè)不同的角度來看待圖像的問題，有時(shí)在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。2/5/202317若f(x)為一維連續(xù)實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：傅里葉變換傅立葉變換的定義2/5/202318傅里葉變換函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。傅里葉變換是一個(gè)線性積分變換，一般情況下，實(shí)函數(shù)經(jīng)過變換后，是一個(gè)復(fù)函數(shù)。2/5/202319傅里葉變換的條件傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；(3)絕對可積。實(shí)際應(yīng)用中，常用的圖像信號(hào)和函數(shù)都存在傅里葉變換。2/5/202320F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。

2/5/202321稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。

2/5/202322根據(jù)傅立葉變換的定義可得：例1高斯函數(shù)的傅立葉變換高斯函數(shù)的定義為：2/5/202323令x+ju=t，上式可以化為：結(jié)論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù)

為傅立葉變換函數(shù)對。2/5/202324例2.矩形函數(shù)矩形函數(shù)形式如下:2/5/2023252/5/202326根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下：2/5/202327可得矩形函數(shù)f(x)的傅立葉頻譜為：幾何圖形如圖所示：2/5/202328離散傅立葉變換為什么需要離散傅立葉變換？在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換，還需要解決兩個(gè)問題：一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號(hào)，而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號(hào)（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念，而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。2/5/202329離散傅立葉正變換:離散傅立葉逆變換:離散傅立葉變換2/5/202330傅里葉變換效果圖2/5/2023312/5/202332邊、噪音、變化陡峭部分變化平緩部分uv傅立葉變換的規(guī)律2/5/202333傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。2/5/202334線性系統(tǒng)與傅立葉變換2/5/202335傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用在小波變換沒有提出時(shí)，用來進(jìn)行壓縮編碼。變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。考慮到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。2/5/202336四.傅立葉變換的性質(zhì)周期與共軛對稱性加法定理位移定理可分離性卷積定理能量保持定理2/5/202337周期與共軛對稱性周期性的描述：離散傅立葉變換DFT和它的逆變換是以N為周期的對于一維傅立葉變換有：

F(u)=F(u+N)對于二維傅立葉變換有：

F(u,v)=F(u+M,v+N)2/5/202338周期與共軛對稱性共軛對稱性的描述：傅立葉變換結(jié)果是以原點(diǎn)為中心的共軛對稱函數(shù)對于一維傅立葉變換有：

F(u)=F*(-u)對于二維傅立葉變換有：

F(u,v)=F*(-u,-v)2/5/202339加法定理2/5/202340加法定理應(yīng)用2/5/202341位移定理2/5/202342(a)(b)(d)(c)圖離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉(zhuǎn)45°后的圖像；（d）圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜

旋轉(zhuǎn)不變性如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)θ角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖所示。2/5/202343卷積定理2/5/202344能量保持定理2/5/2023451.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:二維傅立葉逆變換:五.二維傅立葉變換2/5/202346根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個(gè)具有M×N個(gè)樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：

(1)二維離散傅立葉正變換2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義2/5/202347(2)二維離散傅立葉逆變換 若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：2/5/202348

Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系：

2/5/202349式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實(shí)序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：

F(u，v)可以表示為如下形式：2/5/202350(1)．線性特性(1)比例性質(zhì)=3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202351(3)平移性質(zhì)

二維傅立葉變換的移位特性表明，當(dāng)用乘以f(x，y)，然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時(shí)，可以使空間頻率域u-v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。

3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202352離散傅立葉變換的顯示2/5/202353離散傅立葉變換的顯示——對稱平移后2/5/202354(4)可分離性

3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202355二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個(gè)二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進(jìn)行一維傅立葉變換

在此基礎(chǔ)上對x進(jìn)行一維傅立葉變換2/5/202356變量分離步驟如圖所示:

2/5/202357若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng)

逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換

2/5/202358(5)周期性

如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202359(6)共軛對稱性3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202360(7)旋轉(zhuǎn)不變性圖像f(x，y)可以表示為f(r，θ)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標(biāo)可以表示為F(ρ，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉(zhuǎn)特性：

3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202361(a)原始圖像

(b)DFT變換

(c)原始圖像旋轉(zhuǎn)45o(d)旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果

2/5/202362(8)微分性質(zhì)3.二維離散傅立葉變換的性質(zhì)2/5/202363(9)平均值性質(zhì)平均值定義如下平均值性質(zhì)如下：

即：結(jié)論：二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1/MN。

2/5/202364二維傅立葉變換(幅值及相位)意義2/5/202365圖像的說明左邊一列:

上方為原始圖像,下方為本圖的相關(guān)說明說明;中間一列:

上圖幅值譜,下圖為根據(jù)幅值譜的傅立葉逆變換(忽略相位信息,設(shè)相位為0);右邊一列:

上圖相位譜,下圖為根據(jù)相位譜的傅立葉逆變換(忽略幅值信息,設(shè)幅值為某一常數(shù));2/5/2023662/5/2023672/5/202368DFT的缺點(diǎn)一幅M×N的二維數(shù)字圖像，DFT計(jì)算量為M2N2。512×512像素圖像為例，DFT運(yùn)算次數(shù)高達(dá)700億次，其運(yùn)算量非常巨大的。應(yīng)用很困難。2/5/202369FFT的產(chǎn)生1965年，Cooley和Tukey發(fā)表論文“機(jī)器計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的一種算法”，首次提出快速傅里葉變換算法。FFT算法是對DFT算法的一種改進(jìn)，通過分析DFT的規(guī)律，消除了許多重復(fù)計(jì)算，因此，大大減少了運(yùn)算量，節(jié)省了運(yùn)算時(shí)間。512×512像素FFT計(jì)算量為(M×N/2)log2(M×N)=70萬可以認(rèn)為FFT算法的產(chǎn)生是數(shù)字圖像處理領(lǐng)域的一次革命。2/5/202370基本思想：FFT算法基于一個(gè)叫做遞推加倍的方法。通過推導(dǎo)將DFT轉(zhuǎn)換成兩個(gè)遞推公式。利用變換矩陣元素的周期性與對稱性，避免重復(fù)的相乘運(yùn)算，減少計(jì)算量。

N-1 F(u)=1/N∑f(x)exp(-j2ux/N)

x=0 F(u)=1/2(Feven(u)+Fodd(u)W2Mu) F(u+M)=1/2(Feven(u)-Fodd(u)W2Mu)FFT算法思想2/5/202371FFT算法思想歸納快速傅立葉變換的思想：1）通過計(jì)算兩個(gè)單點(diǎn)的DFT，來計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)的DFT，2）通過計(jì)算兩個(gè)雙點(diǎn)的DFT，來計(jì)算四個(gè)點(diǎn)的DFT，…，以此類推3）對于任何N=2m的DFT的計(jì)算，通過計(jì)算兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT，來計(jì)算N個(gè)點(diǎn)的DFT2/5/202372高通濾波FFT變換的應(yīng)用2/5/202373低通濾波FFT變換的應(yīng)用2/5/202374壓縮率為：1.7：1壓縮率為：2.24：1壓縮率為：3.3：1低通壓縮效果2/5/202375壓縮率為：8.1：1壓縮率為：10.77：1壓縮率為：16.1：1低通壓縮效果2/5/202376六.離散余弦變換1.問題的提出：傅立葉變換的一個(gè)最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換2/5/202377DCT1974年，Ahmed和Rao首先提出。DCT變換得到了廣泛應(yīng)用，被認(rèn)為是一種準(zhǔn)最佳變換。在近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標(biāo)準(zhǔn)建議中，都將DCT作為其中的一個(gè)基本處理模塊。DCT為實(shí)數(shù)變換，變換矩陣確定（與變換對象無關(guān)），具有多種快速算法，二維DCT還是一種可分離的變換等。2/5/202378二維DCT正變換：二維DCT逆變換：其中：2/5/202379DCT的應(yīng)用它常被認(rèn)為是對語音和圖像信號(hào)進(jìn)行變換的最佳方法。為了工程上實(shí)現(xiàn)的需要，國內(nèi)外許多學(xué)者花費(fèi)了很大精力去尋找或改進(jìn)離散余弦變換的快速算法。由于近年來數(shù)字信號(hào)處理芯片（DSP）的發(fā)展，加上專用集成電路設(shè)計(jì)上的優(yōu)勢，這就牢固地確立DCT在目前圖像編碼中的重要地位，成為H.261、JPEG、MPEG等國際上公用的編碼標(biāo)準(zhǔn)的重要環(huán)節(jié)。在視頻壓縮中，最常用的變換方法是DCT。2/5/202380DCT與快速DCT效果2/5/202381離散沃爾什正變換DFT和DCT變換都是由正弦或余弦三角函數(shù)為基本的正交函數(shù)基，DFT是復(fù)數(shù)運(yùn)算，DCT雖然避免復(fù)數(shù)運(yùn)算，但要進(jìn)行三角函數(shù)運(yùn)算，運(yùn)算復(fù)雜程度也較高。沃爾什函數(shù)基是二值正交基，與數(shù)字邏輯的兩個(gè)狀態(tài)相對應(yīng)，更加適合于計(jì)算機(jī)技術(shù)、數(shù)字信號(hào)處理等應(yīng)用領(lǐng)域。2/5/202382七.哈達(dá)瑪正變換哈達(dá)瑪變換是一種特殊排序的沃爾什變換。也有叫做沃爾什-哈達(dá)瑪變換。優(yōu)點(diǎn)：變換核矩陣具有簡單的遞推關(guān)系，基高階矩陣可以通過低階矩陣求出。哈達(dá)瑪變換矩陣也是一個(gè)僅包括+1和-1兩個(gè)矩陣元素的方陣，任意兩行或兩列相乘后的各數(shù)之和必定為0，與沃爾什變換矩陣僅是行的次序不同。2/5/2023831.一維哈達(dá)瑪正變換

設(shè)f(x)表示N點(diǎn)的一維離散序列，則一維哈達(dá)瑪變換如下：u=0,1,2,3,…,N-1七.哈達(dá)瑪正變換2/5/202384其中，g(x，u)是一維哈達(dá)瑪變換的核，定義如下：式中，

u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈達(dá)瑪變換的階數(shù)，bi(z)是z的二進(jìn)制數(shù)的第i位數(shù)值，取值為0或1。