第五章 圖像幾何變換

第五章圖像幾何變換圖像位置變換圖像形狀變換圖像繪制--photoshop圖像繪制—畫圖圖像幾何變換是指用數(shù)學(xué)建模的方法來描述圖像的位置、大小、形狀等變化的方法。1圖像位置變換圖像位置變換是指圖像的大小和形狀不發(fā)生變化，只是將圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移。圖像位置變換：平移，鏡像、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切1.1圖像的平移圖像平移變換公式：下移1行，右移2列注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫布”一定是擴(kuò)大了。否則就會(huì)丟失信息。圖像平移1.2圖像的鏡像鏡像分為水平鏡像和垂直鏡像平移：水平鏡像：123123123-3-2-1發(fā)生問題：矩陣下標(biāo)不能為負(fù)圖像鏡像圖像鏡像1.3圖像旋轉(zhuǎn)圖像旋轉(zhuǎn)計(jì)算公式如下：這個(gè)計(jì)算公式計(jì)算出的值為小數(shù)，而坐標(biāo)值為正整數(shù)。這個(gè)計(jì)算公式計(jì)算的結(jié)果值所在范圍與原來的值所在的范圍不同。因此需要前期處理：擴(kuò)大畫布，取整處理，平移處理

圖像旋轉(zhuǎn)圖像旋轉(zhuǎn)的前期處理圖像旋轉(zhuǎn)之前，為避免信息丟失，畫布擴(kuò)大很最重要，根據(jù)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的不同，坐標(biāo)平移與畫布設(shè)置示意如下：圖像的旋轉(zhuǎn)例題結(jié)論：按照?qǐng)D像旋轉(zhuǎn)計(jì)算公式獲得的結(jié)果與想象中的差異很大。圖像旋轉(zhuǎn)計(jì)算示例圖像旋轉(zhuǎn)處理的隱含問題圖像旋轉(zhuǎn)之后，出現(xiàn)了兩個(gè)問題：1、像素排列不是完全按照原有的相鄰關(guān)系。這是因?yàn)橄噜徬袼刂g只能有8個(gè)方向，如下圖所示。2、會(huì)出現(xiàn)許多的空洞點(diǎn)。圖像旋轉(zhuǎn)的后處理圖像旋轉(zhuǎn)出現(xiàn)的兩個(gè)問題的本質(zhì)都是因?yàn)橄袼刂档奶畛涫遣贿B續(xù)的?？梢圆捎貌逯堤畛涞姆椒▉斫鉀Q。圖像旋轉(zhuǎn)的后處理最簡(jiǎn)單的方法是行插值（列插值）方法均值插值法：將空穴像素周圍的均值作為填充值填在該空穴中2圖像形狀變換圖像形狀變換是指圖像的形狀發(fā)生了變化，包括：平面上變換，即放大、縮小等。投影變換，三維物體投影到平面時(shí)所產(chǎn)生的形狀變化。2.1圖像縮小分為按比例縮小和不按比例縮小兩種。圖像縮小后，承載的信息量小了，畫布可相應(yīng)縮小。圖像按比例縮小圖像不按比例縮小圖像縮小實(shí)現(xiàn)方法圖像縮小實(shí)際上是對(duì)原有的多個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行挑選或處理，獲得期望縮小尺寸的數(shù)據(jù)，且盡量保持原有特征不丟失。最簡(jiǎn)單的方法就是等間隔地選取數(shù)據(jù)。圖像縮小的實(shí)現(xiàn)方法設(shè)原圖像大小為M*N,縮小為k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步驟如下：1）設(shè)舊圖像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.新圖像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(c1*x,c2*y)c1=1/k1c2=1/k2圖像縮小例題K1=3/5,k2=3/412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353679101112131516171825272829303133343536i=[1,6],j=[1,6].x=[1,4],y=[1,5].x=[i2,i3,i5,i6],y=[j1,j3,j4,j5,j6].123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536注意：不按比例縮小會(huì)導(dǎo)致幾何畸變。圖像放大需要對(duì)多出的空位填入適當(dāng)?shù)闹担切畔⒌墓烙?jì)。

2.2圖像放大2.2圖像放大的原理最簡(jiǎn)單的思想是，如果需要將原圖像放大k倍，則將原圖像中的每個(gè)像素值，填在新圖像中對(duì)應(yīng)的k*k大小的子塊中。放大5倍顯然，當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，可以采用這種簡(jiǎn)單的方法。圖像的成倍放大效果2.2圖像放大的方法設(shè)原圖像大小為M*N,放大為k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步驟如下：1）設(shè)舊圖像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新圖像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(c1*x,c2*y)c1=1/k1c2=1/k2圖像不按比例放大圖像放大的問題如果放大倍數(shù)太大，按照前面的方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。圖像的成倍放大效果2.3圖像錯(cuò)切圖像的錯(cuò)切變換實(shí)際上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。圖像錯(cuò)切錯(cuò)切的計(jì)算公式如下：X方向錯(cuò)切：Y方向錯(cuò)切：圖像錯(cuò)切例題

可以看到，錯(cuò)切之后原圖像的像素排列方向發(fā)生改變。與前面旋轉(zhuǎn)不同的是，x方向與y方向獨(dú)立變化。2圖像幾何校正

遙感圖像幾何失真與處理圖像在獲取過程中，圖像產(chǎn)生幾何失真。圖像幾何失真主要表現(xiàn)為位移、旋轉(zhuǎn)、縮放、仿射、彎曲和更高階的歪曲。當(dāng)對(duì)圖像作定量分析時(shí)，要對(duì)失真的圖像先進(jìn)行精確的幾何校正。幾何校正：消除幾何失真的過程稱為幾何校正下圖是一種畸變情形。怎么校正呢？？？必須尋求建立畸變圖像與正常圖像的幾何畸變關(guān)系。幾何校正兩幅圖像幾何畸變的關(guān)系能用解析式來描述。分兩種情況：

1、h1(x,y)，h2(x,y)已知

2、h1(x,y)，h2(x,y)未知設(shè)f(x,y)是無失真的原始圖像，g(x’,y’)是f(x,y)畸變的結(jié)果在建立幾何畸變關(guān)系的前提下，還要通過畸變圖像獲得校正后的圖像的像素灰度值幾何校正：圖像幾何校正的方法與步驟圖像幾何校正的基本方法步驟先建立幾何校正的數(shù)學(xué)模型其次利用已知條件確定模型參數(shù)最后根據(jù)模型對(duì)圖像進(jìn)行幾何校正。確定各像素的灰度值（灰度內(nèi)插）一、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)已知校正又有兩種方法：直接法幾何校正：間接法幾何校正：設(shè)f(x,y)是無失真的原始圖像，g(x’,y’)是f(x,y)畸變的結(jié)果，這一失真過程已知且可以用函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)定義一、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)已知根據(jù)函數(shù)關(guān)系，求h1(.),h2(.)的反變換h’1(.),h‘2

(.):是指對(duì)畸變圖像進(jìn)行幾何坐標(biāo)運(yùn)算，得出其在校正后的圖像中的坐標(biāo)值。直接法幾何校正一、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)已知從畸變圖像出發(fā)，根據(jù)上述關(guān)系依次計(jì)算每個(gè)像素的校正坐標(biāo)，把像素灰度值賦予對(duì)應(yīng)像素，這樣生成一幅校正圖像。存在問題：經(jīng)直接法校正的圖像像素分布是不規(guī)則的，會(huì)出現(xiàn)像素?cái)D壓、疏密不均等現(xiàn)象，不能滿足要求。最后還需對(duì)不規(guī)則圖像通過灰度內(nèi)插生成規(guī)則的柵格圖像。一、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)已知設(shè)恢復(fù)的圖像像素在基準(zhǔn)坐標(biāo)系統(tǒng)為等距網(wǎng)格的交叉點(diǎn)，從網(wǎng)格交叉點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）出發(fā)，根據(jù):間接法幾何校正間接法幾何校正由（x,y）通過函數(shù)關(guān)系推算出各格網(wǎng)點(diǎn)在已知畸變圖像上的坐標(biāo)(x‘,y’)。(α,β)=[h1(x,y),h2(x,y)]。由于(α,β)通常不一定是整數(shù)，所以α,β不會(huì)與g(x’,y’)中的任何點(diǎn)重合，找出g(x’,y’)中與（α,β）最靠近的點(diǎn)(x1’,y1’)，并且令f(x,y)=g(x1’,y1’)，即把g(x1’,y1’)的灰度賦予f(x,y)。逐點(diǎn)做下去，直到整個(gè)圖像，幾何畸變得到校正。在未知情況下,通常h1(x,y)和h2(x,y)可用多項(xiàng)式來近似:二、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知二、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知實(shí)際工作中常以一幅圖像為基準(zhǔn)，去校正另一幅幾何失真圖像?；鶞?zhǔn)圖像f(x,y)是利用沒畸變或畸變較小的攝像系統(tǒng)獲得的，有較大幾何畸變的圖像g(x′,y′)。在函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知的情況下，通常用基準(zhǔn)圖像和幾何畸變圖像上多對(duì)同名像素的坐標(biāo)來確定函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)當(dāng)n=1時(shí)，畸變關(guān)系為線性變換，上述式子中包含a00、a10、a01

、b00、b10、b016個(gè)未知數(shù)，至少需要3個(gè)已知點(diǎn)來建立方程式，解求未知數(shù)。二、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知當(dāng)n=2時(shí)，畸變關(guān)系式為包含12個(gè)未知數(shù)，至少需要6個(gè)已知點(diǎn)來建立關(guān)系式，解求未知數(shù)。二、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知使用二次項(xiàng)式校正要更精確一些二、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知的幾何校正線性畸變的幾何校正方法：在規(guī)則格網(wǎng)中有3個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)(r1,s1)、(r2,s2)、(r3,s3)，選取其在畸變圖像上的同名像素的3個(gè)坐標(biāo)(u1,v1)、(u2,v2)、(u3,v3)。由線性映射關(guān)系可得求解方程組可得系數(shù)a、b、c、d、e、f，確定函數(shù)h1(x,y),h2(x,y)關(guān)系，利用間接法可校正幾何失真的圖像二、函數(shù)h1(x,y)和h2(x,y)未知的幾何校正二次型畸變的幾何校正方法：據(jù)可知，二次型畸變包含12個(gè)未知數(shù)，因此至少需要6對(duì)同名像素坐標(biāo)已知。當(dāng)多于6對(duì)同名像素坐標(biāo)已知時(shí)，根據(jù)最小二乘法求解系數(shù)aij,bij。這樣也可以確定函數(shù)關(guān)系h1(x,y),h2(x,y)。然后，可用已知h1(x,y),h2(x,y)的間接法校正幾何失真的圖像示例2像素灰度內(nèi)插方法對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行幾何校正處理后，需要近一步對(duì)不規(guī)則的圖像進(jìn)行后續(xù)灰度插值處理。常用的像素灰度內(nèi)插法有最近鄰元法、雙線性內(nèi)插法和三次內(nèi)插法三種。最近鄰元法(零階插值)最近鄰元法(零階插值)在待求點(diǎn)的四鄰像素中，將距離這點(diǎn)最近的相鄰像素灰度賦給該待求點(diǎn)。x’=h1(x,y)y’=h2(x,y)(x’,y’)一般不處于畸變像素的中心位置，采用四鄰像素與之最近的點(diǎn)像素灰度作為(x,y)點(diǎn)灰度。該方法最簡(jiǎn)單，效果尚佳，但校正后的圖像有明顯鋸齒狀，即存在灰度不連續(xù)性。雙線性內(nèi)插法（一階插值）一階插值（雙線性插值法）比零階插值的最近鄰插值法具有更令人滿意的效果雙線性內(nèi)插法是利用待求點(diǎn)四個(gè)鄰像素的灰度在兩個(gè)方向上作線性內(nèi)插。由于通過4點(diǎn)確定一個(gè)平面是一個(gè)過約束問題，所以在一個(gè)矩形柵格上進(jìn)行的一階插值就需要用到雙線性方程來定義的一個(gè)雙曲拋物面與4個(gè)已知點(diǎn)擬合：從a到d的4個(gè)系數(shù)可由已知的4個(gè)頂點(diǎn)的f(x,y)的值來確定。雙線性內(nèi)插法（一階插值）下面推導(dǎo)待求像素灰度值的計(jì)算式。如圖，對(duì)頂端上兩個(gè)頂點(diǎn)線性插值，對(duì)于(i,j+v)有f(i,j+v)=[f(i,j+1)-f(i,j)]v+f(i,j)對(duì)底端方向上兩個(gè)頂點(diǎn)線性插值，對(duì)于(i+1,j+v)有f(i+1,j+v)=[f(i+1,j+1)-f(i+1，j)]v+f(i+1，j)

最后作垂直方向插值，對(duì)于(i+u,j+v)有f(i+u,j+v)=[f(i+1,j+v)-f(i,j+v)]u+f(i,j+v)所以，有f(i+u,j+v)=該方法要比最近鄰元法復(fù)雜，計(jì)算量大。但沒有灰度不連續(xù)性的缺點(diǎn)，結(jié)果令人滿意。它具有低通濾波性質(zhì)，使高頻分量受損，圖像輪廓有一定模糊。三次內(nèi)插法該方法利用三次多項(xiàng)式S(x)來逼近理論上的最佳插值函數(shù)sin(x)/x。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：(i-1,j-1)(i-1,j+2)(i+2,j-1)(i+2,