第九章 系統(tǒng)辨識與Kalman濾波

系統(tǒng)模型的表現(xiàn)形式直接模型：過程的特性以非解析的形式直接存儲在頭腦中，靠人的直覺控制過程的進(jìn)行；物理模型：根據(jù)相似原理把時間過程加以縮小的復(fù)制品，或是實際過程的一種物理模擬；圖表模型：以圖形或表格形式表現(xiàn)過程的特性數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式來反映實際過程的行為特性，常用的有代數(shù)方程，微分方程，差分方程和狀態(tài)方程等。1系統(tǒng)模型的建立機(jī)理建模。根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，分析系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，根據(jù)相應(yīng)的定律，定理或原理，如化學(xué)動力學(xué)原理，牛頓定理，能量平衡方程等原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。有時也稱白箱建模。系統(tǒng)辨識。根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)來建模，是對實際系統(tǒng)的一個近似。有時也稱黑箱建模。機(jī)理模型與辨識建模結(jié)合的辦法。適用于系統(tǒng)的運(yùn)動機(jī)理不是完全未知的情況，利用一直的運(yùn)動機(jī)理和經(jīng)驗來確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。也稱為灰色建模。2辨識的定義辨識就是在輸入和輸出的基礎(chǔ)上由規(guī)定的一類系統(tǒng)模型中確定一個系統(tǒng)模型，使之與被測系統(tǒng)等價。辨識的三大要素：系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，模型類和等價原則。辨識的任務(wù)：模型結(jié)構(gòu)的確定和參數(shù)估計。

3系統(tǒng)辨識的基本原理4辨識的內(nèi)容和步驟設(shè)法取得系統(tǒng)輸入輸出的觀測數(shù)據(jù)設(shè)計準(zhǔn)則——給出估量試驗優(yōu)劣的準(zhǔn)則。持續(xù)激勵輸入信號的設(shè)計——采用零均值的白噪聲采樣間隔的設(shè)計——適當(dāng)選取采樣間隔和輸入信號的時序脈沖寬度其中為主要時間常數(shù)。選取的模型集——一般選取線性模型驗證評價標(biāo)準(zhǔn)（利用先驗知識驗證，利用數(shù)據(jù)驗證）5辨識問題的表達(dá)形式其中和是模型的輸入量和輸出量，它們在離散點(diǎn)上必須是可觀測的，是模型噪聲，是未知模型參數(shù)；問題：如何根據(jù)來獲得的知識？考慮線性離散模型的辨識問題6記則線性離散模型的輸出可表示成進(jìn)而通過一定的辨識算法，得到的大小。7線性系統(tǒng)參數(shù)估計的最小二乘法早在1795年，高斯就提出最小二乘法(LSM)，并用于行星和彗星運(yùn)動軌道的計算中?；驹恚焊鶕?jù)觀測數(shù)據(jù)推斷未知參數(shù)時，未知參數(shù)的最合適數(shù)值應(yīng)該使實際觀測值和計算值之間誤差的平方和最小。優(yōu)點(diǎn)：算法簡單；并不需要觀測數(shù)據(jù)提供概率方面的信息，而其估計結(jié)果卻有相當(dāng)好的統(tǒng)計特性。8基本最小二乘考慮SISO線性定常隨機(jī)數(shù)學(xué)模型已取得與的測量序列對于該系統(tǒng)，辨識包括兩個問題：(1)首先需要確定系統(tǒng)階，這是結(jié)構(gòu)辨識問題。(2)在確定后，求參數(shù)，這是參數(shù)估計問題。9假設(shè)已知，先討論參數(shù)估計問題。改寫系統(tǒng)為利用測得的數(shù)據(jù)，建立個觀測方程10記則記11則可以給出觀測方程組的矩陣形式情況1：如果，此時相當(dāng)于從個方程中求取個參數(shù)，如果令，則。而實際上，因此將進(jìn)入從而使其偏離真實值。情況2：如果，觀測值方程個數(shù)大于參數(shù)個數(shù)，這是一個超定方程問題。12最小二乘估計準(zhǔn)則和正則方程最小二乘估計準(zhǔn)則：找到一個線性離散模型，在此模型中估計參數(shù)使模型擬合殘差的平方和最小。模型擬合殘差為目標(biāo)函數(shù)為可以把目標(biāo)函數(shù)寫成另外一種形式13由求極值的原理可知，最小二乘估計滿足而為正定陣從而得到這個正則方程從中得到最小二乘估計為14線性穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型的參數(shù)估計討論穩(wěn)態(tài)多輸入單輸出(MISO)系統(tǒng)進(jìn)行次觀測后，得到輸入輸出數(shù)據(jù)求解。令15線性穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型的參數(shù)估計則有從而有16非線性穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)系統(tǒng)的參數(shù)估計只要能使輸出與被辨識參數(shù)關(guān)系描述為線性方程，非線性參數(shù)估計也可以用LS方法。例可以令，即可得從而使用LS方法進(jìn)行參數(shù)估計。17自回歸(AR)模型的參數(shù)估計考慮AR模型顯然，可以寫成對于次觀測可建立方程18其中19最小二乘算法的統(tǒng)計學(xué)特性無偏性一致性有效性20最小二乘的缺點(diǎn)

LS算法是對整批數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一種算法，當(dāng)新數(shù)據(jù)源源而來時，將出現(xiàn)以下問題：數(shù)據(jù)增加，要求計算機(jī)的存儲空間增加；每增加一組數(shù)據(jù)，及作一次求逆，導(dǎo)致計算機(jī)量增加；能否給處一種新的算法，使得不保留全部數(shù)據(jù)；避免矩陣求逆21遞推最小二乘的推導(dǎo)最小二乘估計LSE為當(dāng)?shù)玫揭唤M新觀測數(shù)據(jù)后構(gòu)成一新的觀測方程從而得到新的估計式能否通過計算出？22令令則23從而得到將以上式子進(jìn)行整理24遞推最小二乘算法對于初值的選取，一般是任意選取一，而令，為的單位矩陣。25遞推最小二乘的改進(jìn)算法目標(biāo)函數(shù)中，對等加權(quán)將產(chǎn)生以下問題：①數(shù)據(jù)飽和，②不能跟蹤參數(shù)變化為了避免該問題的出現(xiàn)，可以適當(dāng)降低舊數(shù)據(jù)的影響，有兩種解決辦法①漸消記憶（指數(shù)窗），②限定記憶（矩形窗）26漸消記憶的遞推算法修改目變函數(shù)，對殘差平方加指數(shù)權(quán)，從而可以得到遞推算法為一般取值27限定記憶的遞推算法每次估計只有

個觀測方程（組數(shù)據(jù)），每得到一個新方程，即去掉一個老方程，就像用個矩形窗框住。28廣義最小二乘考慮如下離散系統(tǒng)其中引入白噪聲濾波器令其中為白噪聲序列。29從而即其中稱為廣義的方程殘差。最小化下面的準(zhǔn)則函數(shù)可得參數(shù)的估計值，30其他最小二乘改進(jìn)算法輔助變量法增廣最小二乘法多步最小二乘法31輔助變量法考慮系統(tǒng)傳統(tǒng)方法是根據(jù)得到因此，如果與相關(guān)，則構(gòu)造與和同維的與不相關(guān)的矩陣得到32增廣最小二乘法其中令33則有由于是未知的，所以用

來代替。從而得到該算法在自校正控制領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，在大多數(shù)情況下效果滿意。34多步最小二乘法將系統(tǒng)參數(shù)，噪聲辨識分成三步來辨識，而每一次均是無偏的最小二乘估計，故最后得到是無偏估計。定義35辨識和

根據(jù)辨識和

根據(jù)辨識36線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計實際系統(tǒng)均存在隨機(jī)干擾，控制與辨識都需要從輸出觀測中估計狀態(tài)。狀態(tài)估計就是用輸出量測序列對狀態(tài)序列作出方差最小估計。具體說，即量測向量已知，求使得估計誤差的協(xié)方差矩陣最小。37當(dāng)時，為的平滑或內(nèi)插；當(dāng)時，為的濾波；當(dāng)時，為的預(yù)報或外推；38隨機(jī)線性離散系統(tǒng)考慮如下的隨機(jī)線性離散系統(tǒng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖為39基礎(chǔ)定義其中為非隨機(jī)的控制輸入序列，為隨機(jī)擾動輸入序列，為量測噪聲序列，為量測輸出。已知的統(tǒng)計特性為已知分別為非負(fù)定陣和正定矩陣。40Kalman濾波器考慮如下的隨機(jī)線性離散系統(tǒng)為初值為41擴(kuò)展Kalman濾波