2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.3第2課時圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第2課時圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解圓與圓的位置關(guān)系的種類。2。掌握圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)判定方法與幾何判定方法，能夠利用上述方法判定兩圓的位置關(guān)系.3.體會根據(jù)圓的對稱性靈活處理問題的方法和它的優(yōu)越性．知識點(diǎn)兩圓位置關(guān)系的判定思考圓與圓的位置關(guān)系有幾種？如何判斷圓與圓的位置關(guān)系？梳理兩圓位置關(guān)系的判定已知兩圓C1：（x－x1)2＋(y－y1）2＝req\o\al(2，1），C2：(x－x2)2＋（y－y2)2＝req\o\al（2，2），則圓心距d＝|C1C2|＝________________________________.兩圓C1,C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示兩圓相離____個d〉r1＋r2兩圓內(nèi)含d<｜r1－r2|兩圓相交____個｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2兩圓內(nèi)切____個d＝｜r1－r2｜兩圓外切d＝r1＋r2特別提醒：（1)僅從圓與圓的交點(diǎn)個數(shù)判定是不科學(xué)的,如有1個交點(diǎn),就不能判定是內(nèi)切不是外切，應(yīng)再結(jié)合圖像判定．（2)判定圓與圓位置的方法有幾何法和代數(shù)法，代數(shù)法要注意相切時的判定．（3）一般情況下，我們盡量選擇利用幾何法進(jìn)行判斷，以減少運(yùn)算量，提高解題的速度．類型一兩圓的位置關(guān)系eq\x（命題角度1兩圓位置關(guān)系的判斷）例1已知圓M:x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r（2），則圓M與圓N：（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置關(guān)系是（)A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離反思與感悟判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟（1）將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程（若圓方程已是標(biāo)準(zhǔn)形式,此步驟不需要）．（2)分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長r1,r2.（3）求兩圓的圓心距d。(4）比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關(guān)系．（5)根據(jù)大小關(guān)系確定位置關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1已知圓C1:x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個圓的公切線的條數(shù)為（）A．1或3B．4C．0D．2eq\x（命題角度2已知兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)）例2當(dāng)a為何值時,兩圓C1:x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2:x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：(1)外切；（2）相交;（3）相離．反思與感悟(1）判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟①將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式,寫出圓心和半徑．②計算兩圓圓心的距離d。③通過d,r1＋r2，｜r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．（2)應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍是非常簡單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2若圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：（x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為（)A．±3 B．±5C．3或5 D．±3或±5類型二兩圓的公共弦問題例3已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0。(1)判斷兩圓的位置關(guān)系;(2)求公共弦所在的直線方程；（3）求公共弦的長度．反思與感悟（1）當(dāng)兩圓相交時,公共弦所在的直線方程的求法若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在的直線方程為(D1－D2)x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.(2)公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長．②幾何法:求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解．跟蹤訓(xùn)練3(1）兩圓相交于兩點(diǎn)A(1,3）和B（m，－1)，兩圓圓心都在直線x－y＋c＝0上,則m＋c的值為____________．(2)求圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線被圓C3：(x－1)2＋（y－1)2＝eq\f(25,4）截得的弦長．類型三圓系方程及應(yīng)用例4求圓心在直線x－y－4＝0上,且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)的圓的方程．反思與感悟當(dāng)經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)時，圓的方程可設(shè)為（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0，然后用待定系數(shù)法求出λ即可．跟蹤訓(xùn)練4求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3）y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．1．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離2．圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋（y－3)2＝1的內(nèi)公切線有且僅有(）A．1條 B．2條C．3條 D．4條3．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A,B兩點(diǎn)，則AB的垂直平分線的方程是(）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知以C(4,－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓C的方程是________________________________________________________________________．5．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2eq\r（3)，則a＝________.1．判斷兩圓的位置關(guān)系的方法（1）由兩圓的方程組成的方程組有幾個實(shí)數(shù)解確定,這種方法計算量比較大,一般不用．(2)依據(jù)圓心距與兩圓半徑的和或兩圓半徑的差的絕對值的大小關(guān)系．2．當(dāng)兩圓相交時,把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程．3．求弦長時，常利用圓心到弦所在的直線的距離求弦心距，再結(jié)合勾股定理求弦長．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)思考圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．可根據(jù)兩圓連心線的長與兩圓半徑的和差關(guān)系判定．梳理eq\r（x1－x22＋y1－y22）021題型探究例1B[由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0,）)得兩交點(diǎn)分別為(0,0），（－a，a）．∵圓M截直線所得線段的長度為2eq\r(2），∴eq\r（a2＋－a2)＝2eq\r（2），又a＞0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋（y－2)2＝4，圓心為M(0,2）,半徑為r1＝2.又圓N：（x－1）2＋（y－1）2＝1,圓心為N(1,1)，半徑為r2＝1，∴｜MN｜＝eq\r（0－12＋2－12）＝eq\r（2）?！遰1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜｜MN|＜3，∴兩圓相交．］跟蹤訓(xùn)練1D例2解將兩圓方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，則C1：（x－a)2＋（y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1,a），r2＝2。設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋（－2－a)2＝2a2＋6a＋5。（1)當(dāng)d＝5,即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2。（2)當(dāng)1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25時，兩圓相交,此時－5＜a＜－2或－1＜a＜2.（3）當(dāng)d＞5，即2a2＋6a＋5＞25時，兩圓相離，此時a＞2或a＜－5.跟蹤訓(xùn)練2D例3解（1)將兩圓方程配方化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則C1:（x－1)2＋(y＋5）2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圓C1的圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑為r1＝5eq\r（2），圓C2的圓心坐標(biāo)為（－1,－1)，半徑為r2＝eq\r(10）.又∵｜C1C2|＝2eq\r（5），r1＋r2＝5eq\r（2)＋eq\r（10)，|r1－r2｜＝｜5eq\r(2）－eq\r(10)｜,∴|r1－r2|〈|C1C2|〈r1＋r2，∴兩圓相交．(2)將兩圓方程相減,得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.（3)由(2）知圓C1的圓心（1，－5）到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f（|1－2×－5＋4｜，\r（1＋－22））＝3eq\r(5),∴公共弦長為l＝2eq\r(r\o\al(2，1)－d2)＝2eq\r（50－45)＝2eq\r(5)。方法二設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－4，，y＝0））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，，y＝2，）)∴|AB｜＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5)。即公共弦長為2eq\r(5）.跟蹤訓(xùn)練3（1)3(2)解由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0。又圓C3的圓心坐標(biāo)為（1，1)，其到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－1｜，\r(12＋12）)＝eq\f（\r（2)，2)，由條件知，r2－d2＝eq\f(25，4）－eq\f（1,2）＝eq\f（23，4）,所以弦長為2×eq\f(\r（23),2）＝eq\r（23).例4解方法一設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6）＝0(λ≠－1)，即x2＋y2－eq\f(4,1＋λ）x－eq\f(4λ,1＋λ)y－6＝0，所以圓心坐標(biāo)為(eq\f(2，1＋λ)，eq\f(2λ，1＋λ）)．又圓心在直線x－y－4＝0上，所以eq\f（2，1＋λ)－eq\f(2λ,1＋λ）－4＝0，即λ＝－eq\f（1，3)。所以所求圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－6＝0，,x2＋y2－4y－6＝0，）)得兩圓公共弦所在直線的方程為y＝x.由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x，，x2＋y2－4y－6＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x1＝－1，,y1＝－1，）)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＝3，，y2＝3。）)所以兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－1，－1），B（3,3），線段AB的垂直平分線所在的直線方程為y－1＝－（x－1)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,，y＝－1，)）即所求圓的圓心為(3,－1)，半徑為eq\r（3－32＋[3－－1］2)＝4.所以所求圓的方程為（x－3)2＋（y＋1)2＝16。跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)所求圓的方程為（x－a)2＋（y－b）2＝r2（r〉0），由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r（a－12＋b2)＝r＋1。①又所求圓過點(diǎn)M的切線為x＋eq\r(3)y＝0,故eq\f（b＋\r（3），a－3）＝eq\