機械工程控制基礎~06控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

此課件除了PPT內(nèi)容，課件下方附帶的備注里講解內(nèi)容更細致：備注里有很多案例可以幫助理解；備注里有很多重點、難點內(nèi)容的詳細講解；備注里有很多易錯、易誤導內(nèi)容的講解。機械工程控制基礎河北工程大學機械與裝備工程學院周雁冰第六章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及其條件6.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)6.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備一、穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性定義：系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當干擾撤除后，系統(tǒng)自動回到平衡位置的能力。系統(tǒng)穩(wěn)定性說明：若系統(tǒng)在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時間響應隨著時間的推移，逐漸衰減并趨向于0（即回到平衡位置），則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，由它所引起的系統(tǒng)的時間響應隨著時間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來越遠），則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及其條件二、關于穩(wěn)定性的相關提法1、李亞普諾夫穩(wěn)定性若o為系統(tǒng)的平衡工作點，擾動使系統(tǒng)偏離此工作點的起始偏差（即初態(tài)）不超過域η，由擾動引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應）及其終態(tài)不超過預先給定的整數(shù)ε，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。李亞普諾夫穩(wěn)定

漸近穩(wěn)定

不穩(wěn)定2、漸近穩(wěn)定性要求由初始狀態(tài)引起的響應最終趨于平衡狀態(tài)（衰減為0）。漸近穩(wěn)定性滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，而輸出響應比李氏穩(wěn)定性嚴格（漸進穩(wěn)定要求系統(tǒng)輸出最終趨于平衡狀態(tài)，而李亞普諾夫穩(wěn)定性僅要求系統(tǒng)輸出進入的范圍即可），因此漸進穩(wěn)定性的要求更高。3、大范圍穩(wěn)定性與大范圍漸近穩(wěn)定性若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為“大范圍穩(wěn)定”的；若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為“大范圍漸近穩(wěn)定。大范圍穩(wěn)定

大范圍漸近穩(wěn)定在工程中，通常不采用李亞普諾夫穩(wěn)定性的概念，而是采用條件更為苛刻的漸近穩(wěn)定的概念。對定線性定常系統(tǒng)，其穩(wěn)定性是漸近的，而且是大范圍漸近穩(wěn)定的，這給穩(wěn)定性討論帶來了極大的方便。起點終點（或收斂域）李雅普諾夫穩(wěn)定性有限起始域有限平衡域漸進穩(wěn)定性有限起始域有限平衡域中的平衡點大范圍穩(wěn)定性任意有限平衡域大范圍漸進穩(wěn)定性任意有限平衡域中的平衡點對于線性定常系統(tǒng)：三、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件式中，z1，z2，…，zm為零點；s1，s2，…，sn為極點；M(s)為傳遞函數(shù)的分子；D(s)為傳遞函數(shù)的分母，

D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，方程的根si表示系統(tǒng)的特征根。1、若系統(tǒng)所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有負實部（位于[s]平面的左半平面）響應收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定Why?

對于單位脈沖輸入，假設特征方程根互異（無重極根、無共軛根），無干擾時其輸出拉氏變換和響應為：4、若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原點），其余極點位于[s]平面的左半平面響應收斂于常值，系統(tǒng)穩(wěn)定。響應等幅振動，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，工程上認為不穩(wěn)定。3、若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虛軸上），其余極點位于[s]平面的左半平面響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、若有至少一個sk具有正實部（位于[s]平面的右半平面）線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程式的所有根均為負實根或其實部為負的復根，即特征方程的根均在復平面（[s]平面）的左半平面。由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，因此也可以說，線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)閉環(huán)傳函的極點均在復平面（[s]平面）的左半平面。結(jié)論：線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根，這是系統(tǒng)的固有特性即結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無關。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程有重極根、有共軛根時，不影響以上分析結(jié)果，詳細分析過程參考書上。線性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：如何判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定？求出特征根（閉環(huán)極點）再判斷？實驗？①高階難求；②不必要。如果不穩(wěn)定，可能導致嚴重后果。思路：①特征方程→根的分布（避免求解）；②開環(huán)傳遞函數(shù)→閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（開環(huán)極點易知，閉環(huán)極點難求）。穩(wěn)定判據(jù)特征方程為：一、Routh穩(wěn)定判據(jù)1、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設系統(tǒng)的特征方程為：兩邊同除an6.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)依據(jù)上式，s的同次冪前系數(shù)應對等，則有下式：按習慣，一般取最高階次項的系數(shù)為正（即an>0），要使系統(tǒng)穩(wěn)定，那么系統(tǒng)全部特征根均具有負實部，就必須滿足以下條件（即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件）：特征方程的各項系數(shù)都大于0（即ai>0）。2、

勞斯判據(jù)下系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對系統(tǒng)的特征方程：其各階系數(shù)排成Routh表如下：必須為正Routh判據(jù)：Routh表中第一列各元符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根的個數(shù)。因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：Routh表中第一列各元的符號均為正。例：系統(tǒng)特征方程試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。首列元素改變符號兩次。解：由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)有兩個具有正實部的特征根。3、低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

二階系統(tǒng)勞斯表為：s2

a2

a0s1

a1 0s0

a0a0>0，a1>0，a2>0二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：

三階系統(tǒng)勞斯表為：s3

a3

a1s2

a2

a0s1 0s0

a0三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：a3>0,a2>0,a1>0,a0>0,a1a2-

a0a3>0例：閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時K和T的取值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：這是三階系統(tǒng)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：4、系統(tǒng)穩(wěn)定的特殊情況如果Routh表中任意一行的第一個元素為0，而其它各素元不全為0，則在計算下一行的元素時，將趨向于無窮大。于是Routh表計算無法繼續(xù)，為克服這一困難，用一個很小的正數(shù)ε代替第一列的0（攝動法），然后計算Routh表的其余各元素。情況一：例：系統(tǒng)特征方程：試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。解：列Routh表如下：改變符號兩次，由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如果Routh表中任意一行的所有元素都為0，Routh表的計算無法繼續(xù)。此時，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個輔助多項式，并用輔助多項式的導數(shù)的系數(shù)組成Routh表的下一行。這樣，Routh表就可以繼續(xù)計算下去。

出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個符號相反的實根（響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對共軛的純虛根（響應維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根（復根）的組合。情況二：例：系統(tǒng)特征方程：試用Routh判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：列Routh表如下：Routh表中出現(xiàn)0元素行，構(gòu)造輔助多項式如下：取F(s)對s的導數(shù)得新方程：用上式中的系數(shù)8和96代替0元素行，繼續(xù)進行運算。改變符號一次，由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。本例中輔助多項式為：解此輔助多項式可得：這兩對復根是原特征方程的根的一部分。應用Routh判據(jù)可檢驗穩(wěn)定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性方法如下：5、勞斯判據(jù)下系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的檢驗首先，將s平面的虛軸向左移動某個數(shù)值（減某數(shù)），即令s＝z-σ（σ為正實數(shù)），代入系統(tǒng)傳遞函數(shù)的原特征方程，則得到關于z的新方程；

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，且具有良好的動態(tài)特性，在控制工程中還要涉及相對穩(wěn)定性的問題，用它來說明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度高低。在時域分析中，以實部最大的特征根與虛軸的距離σ

來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量。0例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖所示，已知T1=0.1，T2=0.25，求:解：1）求系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的取值范圍1）系統(tǒng)穩(wěn)定時K值的取值范圍；2）若要求系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點）均位于s=-1線的左側(cè)，K值的取值范圍。然后，利用Routh表和Routh判據(jù)對新的特征方程（z為自變量）進行穩(wěn)定性判別。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說明原系統(tǒng)特征方程的根均在新的虛軸之左邊，σ越大，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性越好，則系統(tǒng)具有σ的穩(wěn)定裕量。列Routh表如下：解得系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍為：由Routh表和Routh判據(jù)得：2）令s＝z－1，代入特征方程得：因為：將T1和T2代入得：列Routh表如下：解得：由Routh表和Routh判據(jù)得：與1)的結(jié)果比較可知，K的取值范圍變小了。即：提出原因：1、代數(shù)判別方法根難以求取、不能清晰反應各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；2、在系統(tǒng)系統(tǒng)時或在實際系統(tǒng)測試中，通常容易給出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，這就希望謀求一個能用開環(huán)傳遞函數(shù)來判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法。判斷方法：將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0與開環(huán)頻率特性GK(jω)聯(lián)系起來，通過GK(jω)的Nyquist圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二、

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎是復變函數(shù)中的幅角原理。提出過程：該穩(wěn)定性判據(jù)由H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到廣泛應用。Nyquist判據(jù)不需要求取閉系統(tǒng)的特征根，而是應用開環(huán)頻率特性Gk(j)，即G(j)H(j)曲線，進而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特別是當系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)無法用分析法求得時，可以通過實驗來獲得這些環(huán)節(jié)的頻率特性曲線或系統(tǒng)的Gk(j)。1、輔助函數(shù)F(s)與開、閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點的關系Xi(s)G(s)H(s)Xo(s)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

可求得：推導過程：亦可求得：做輔助函數(shù)：式中MGH(s)、NGH(s)為s的多項式，s的階次分別為m、n，且nm。零點極點零點極點零點極點相同相同故有：定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)特征方程的全部根具有負實部，即在[s]右半平面內(nèi)沒有極點，也就是說，F(xiàn)(s)在[s]平面的右半平面沒有零點。根據(jù)閉環(huán)極點（特征根）在[s]左半平面、右半平面的分布系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定目標：根據(jù)輔助函數(shù)F的零點在[s]左半平面、右半平面的分布目標轉(zhuǎn)化為：判斷判斷

觀察F(s)與開環(huán)傳遞函數(shù)Gk，注意到它們之間之間只差常量1。所以，的幾何意義為：[F]平面上的坐標原點就是[GH]平面上的 點。**平面就是**坐標系，[s]平面是一種復數(shù)域，是自變量s的坐標系，[F]平面就是依據(jù)F(s)的值域構(gòu)成的平面，也是一種復平面。[s]平面通過計算F(s)可以映射到[F]平面。[s]平面、[F]平面、[GH]平面的關系[F]0ReIm(1,j0)F(s)[GH]0ReIm(1,j0)G(s)H(s)[s]0ReImF(s)虛軸平移映射在此坐標系中畫系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。在此坐標系中判斷系統(tǒng)特征根的分布情況。2、幅角原理（Cauchy定理）當一動點在[s]平面上沿一封閉曲線Ls按順時針轉(zhuǎn)一周，只要曲線Ls不經(jīng)過F(s)的極點和零點，則在[F(s)]平面上的像將繞原點按順時針轉(zhuǎn)N周。N=Z-P，其中Z和P分別為包含在封閉曲線Ls內(nèi)的F(s)的零點（閉環(huán)極點）和極點（開環(huán)極點）的個數(shù)。這種映射關系稱為映射定理，又稱Cauchy幅角定理。Ls映射LFLF在[F]平面內(nèi)包圍原點順時針轉(zhuǎn)Z圈，同時包圍原點逆時針轉(zhuǎn)P圈，即總共順時針轉(zhuǎn)N圈。Ls在[s]平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)一周，包圍了F(s)的Z個零點、P極點。

為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗F(s)有無零點位于[s]平面的右半平面，可選擇一條包圍整個[s]右半平面的封閉曲線Ls。3、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

Ls由兩部分組成：1、L1為ω→-∞到+∞的整個虛軸；2、L2為半徑R趨于無窮大的半圓弧。因此，Ls封閉地包圍了整個[s]平面的右半平面。

[s]平面上這一特定封閉曲線Ls的映射即為的Nyquist曲線。當ω→-∞到+∞時，Ls軌跡的方向為順時針方向。（標準的奈氏圖要求ω=0→+∞，此處應該再做關于虛軸對稱的奈氏圖讓其ω=-∞→0，在奈奎斯特判據(jù)中，經(jīng)常用到ω→-∞到+∞及對應的奈氏圖。

）N=Z-P

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程式的根都具有負實部，即Z=0，也就是N=-P。（N：系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特曲線順時針方向包圍(1，j0)點的圈數(shù)；

Z：系統(tǒng)閉環(huán)極點在[s]平面右側(cè)的個數(shù)；P：系統(tǒng)開環(huán)極點在[s]平面右側(cè)的個數(shù)。）因此，當由變到+時，系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針方向包圍(1，j0)點的圈數(shù)N等于開環(huán)極點在復平面右側(cè)的個數(shù)P，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。零點極點零點Z極點P零點極點相同相同根據(jù)閉環(huán)極點（特征根）在[s]平面的分布。系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定目標為：根據(jù)輔助函數(shù)F的零點在[s]平面的分布。目標轉(zhuǎn)化為：根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk在[F]平面的奈奎斯特曲線包圍原點的圈數(shù)N，以及開環(huán)極點數(shù)P。系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定目標再轉(zhuǎn)為：根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk在[GH]平面的奈奎斯特曲線包圍(-1,0j)點的圈數(shù)N，以及開環(huán)極點數(shù)P。目標確定為：判斷判斷判斷判斷引入輔助函數(shù)F(s)幅角原理[F]到[GH]平移虛軸例：以下兩個開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Z=0,穩(wěn)定Z=2,不穩(wěn)定

對開環(huán)穩(wěn)定（閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，即開環(huán)極點都具有負實部）的系統(tǒng)，即有P=0，此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)點。例：開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，確定P；作G(j)H(j)的Nyquist圖，確定N；運用判據(jù)N=Z-P，確定Z。Nyquist判據(jù)的判別步驟：已知所有T都大于0，P=1，判斷開、閉環(huán)穩(wěn)定性？在應用幅角原理時，要求曲線Ls不能通過F(s)函數(shù)的任何零、極點，所以當函數(shù)F(s)有若干極點（即開環(huán)極點）位于[s]平面的原點處時，應增加以原點為圓心、以無窮小為半徑的圓弧按逆時針方向繞過原點?？梢哉J為Ls曲線仍然包圍了整個[s]平面的右半平面。（此時Ls包含三部分：由負到正整個虛軸（除原點）、順時針大半圓、逆時針小半圓）4、開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist軌跡及穩(wěn)定判據(jù)軌跡特點：當系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時，那么開環(huán)傳遞函數(shù)有位于[s]平面坐標原點處的極點。積分環(huán)節(jié)：輸出量正比于輸入量對時間的積分。設開環(huán)傳遞函數(shù)：式中，v為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，當s沿無窮小半圓弧逆時針方向移動時，如果映射到[GH]平面上的Nyquist軌跡為：當s沿小半圓從ω＝0－變化到ω＝0＋時，θ

角從－π/2變化到π/2，這時[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿無窮大半徑按順時針方向從vπ/2轉(zhuǎn)到-vπ/2。在[GH]平面怎么補全Nyquist軌跡？根據(jù)ω從0+到+∞的曲線補足ω從－∞到0-的曲線；根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的型次，從ω=0-到0+順時針補足曲線。N=2N=-1Ι型系統(tǒng)Ι型系統(tǒng)例：某系統(tǒng)前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)分別為解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

其幅相頻率特性曲線如圖所示，開環(huán)傳遞函數(shù)中無右平面極點，即P=0，由圖可見，系統(tǒng)開環(huán)Nyquist不包圍(1,j0)點，即N=0，故N=P，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[GH]0ReIm1=0-=+=0+例：某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)

試用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開環(huán)Nyquist軌跡如圖所示。圖中虛線是按=2畫的總相角增補圓弧，開環(huán)幅相頻率特性曲線順時針包圍(1，j0)點兩圈，所以N=2。另外，開環(huán)右極點數(shù)P=0，即NP，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。[GH]0ReIm=+=0+=0-=-關于Nyquist判據(jù)的幾點說明：Nyquist判據(jù)是根據(jù)GK在[GH]平面的形態(tài)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；Nyquist判據(jù)證明復雜，但應用簡單；開環(huán)、閉環(huán)是否穩(wěn)定主要看GK（對應P）、GB（對應Z）的極點有無正實部；頻率由-∞到+∞的開環(huán)Nyquist軌跡是對稱的。（奈奎斯特圖僅是正頻率對應的軌跡。）例：若由上式易得：P=0。若K不變，亦可增加導前環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T4、T5使相位絕對值減小，曲線①變成曲線②。由于曲線②不包圍(－1，j0)點，故系統(tǒng)穩(wěn)定。若G(j)H(j)如圖曲線①所示，包圍（-1，j0）點1圈，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。減小K值，使G(j)H(j)減小，曲線①有可能因模減小變成曲線③，相位不變，而不包圍(-1，j0）點，因而系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。例：當導前環(huán)節(jié)作用小，即當T4小時，開環(huán)Nyquist軌跡為曲線①，它包圍點(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當導前環(huán)節(jié)作用大，即當T4大時，開環(huán)Nyquist軌跡為曲線②，它不包圍點(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由上式易得：P=0。例：導前環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的作用若T1、T2均為正，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：1、T2大，表示導前環(huán)節(jié)作用大，可使系統(tǒng)穩(wěn)定；2、開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多，開環(huán)Nyquist軌跡越容易包圍點（-1，j0）。1、根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的極點，確定P；2、根據(jù)G(j)H(j)的Nyquist圖，確定N；3、運用判據(jù)N=Z-P，確定Z。二、利用Nyquist判據(jù)判別：一、系統(tǒng)開環(huán)Nyquist圖繪制：1、由Gk(s)寫出U(ω)、V(ω)，，并估算象限，再寫出A(ω)、φ(ω)；2、算出起終點的A、φ，再令U=0、V=0算出曲線與坐標軸的交點的A、φ；3、由U、V的表達式估算曲線在哪些象限，畫出曲線。根據(jù)Gk(s)式子利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的判別步驟：三、

Bode穩(wěn)定判據(jù)對應關系1、乃奎斯特圖和伯德圖之間的對應關系開環(huán)頻率特性G(jω)的奈奎斯特軌跡與單位圓相交的一點頻率為ωc（稱為：幅值穿越頻率、剪切頻率、幅值交界頻率），即是對數(shù)幅頻特性曲線與0dB線交點的頻率；開環(huán)頻率特性G(jω)的奈奎斯特軌跡與實軸相交的一點頻率為ωg（稱為：相位穿越頻率、相位交界頻率），即是對數(shù)相頻特性曲線與-180°線交點的頻率。當幅值A(ω)≥1時(在單位圓上或外)就相當于當幅值A(ω)<1時(在單位圓內(nèi))就相當于Nyquist圖上的單位圓對應于Bode圖上的0dB線；Nyquist圖上的負實軸對應于Bode圖上的-180o線。2、穿越原理穿越：開環(huán)Nyquist軌跡在點(-1,j0）以左穿過負實軸。正/負穿越：沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過點(-1,j0）以左的負實軸為正穿越；反之，沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自下而上（相位減?。┐┻^點(-1,j0）以左的負實軸為負穿越。[GH]0ReIm(1,j0)

=0cabd單位圓+

=+20lg|GH|

0cabdGH

180

+

在L(ω)>0的范圍內(nèi)，沿頻率ω增加的方向，若對數(shù)相頻特性圖中曲線自下而上（相位增加）穿越-180°線稱為正穿越；相反，若曲線自上而下（相位減?。┐┰?180°線稱為負穿越。半次正/負穿越：若沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自(1,j0)點以左的負實軸上，出現(xiàn)向下的行進，稱為半次正穿越；反之，沿頻率ω增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自(1,j0)點以左的負實軸上，出現(xiàn)向上的行進，為半次負穿越。對應于Bode圖，若對數(shù)相頻特性曲線自180°線出發(fā)向上，為半次正穿越；反之，對數(shù)相頻特性曲線自180°線出發(fā)向下，為半次負穿越。=+[GH]0ReIm(1,j0)

cAB20lg|GH|

0cABGH

180

++

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：在開環(huán)Bode圖上，當ω由0變到+∞過程中，在對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對-180

°線的正穿越與負穿越次數(shù)之差等于P/2或(P+1)/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。3、Bode判據(jù)20lg|GH|

0cabdGH

180

+

0.5-0=P/2，所以閉環(huán)穩(wěn)定0-0.5≠P/2，所以閉環(huán)不穩(wěn)定例1：2-1=P/2，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=2P=2P=0----+++不穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定+例2：在開環(huán)Bode圖上，當ω由0變到+∞過程中，在對數(shù)幅頻特性曲線為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對-180

°線的正穿越與負穿越次數(shù)之差等于P/2或(P+1)/2時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。4、Bode判據(jù)的優(yōu)點：1）利用Bode圖上的漸近線，可以粗略地快速判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）在Bode圖中，可以分別作出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線、對數(shù)相頻特性曲線，以便明確哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定性的主要因素，從而對其中參數(shù)進行合理選擇或校正；3）在調(diào)整開環(huán)增益K時，只需將Bode圖中的對數(shù)幅頻特性上下平移即可，因此很容易看出為保證穩(wěn)定性所需的增益值。6.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備

當開環(huán)穩(wěn)定，即P=0時，開環(huán)Nyquist軌跡在單位圓上的交點離(1，j0)點越遠，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度越高；相反，開環(huán)Nyquist軌跡越靠近(1，j0)點，其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度越低。這一相對關系稱為系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

它通過G(j)H(j)與點(1，j0)的靠近程度來定量描述系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，即穩(wěn)定性儲備，表示為幅值儲備Kg和相位儲備。也就是，若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)Nyquist軌跡與單位圓相交時，其交點c處的相角尚未減小到180，離系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定還有相角的儲備；而開環(huán)Nyquist軌跡在g處，其幅值為1/Kg，尚未達到1。

在[GH]平面中，Nyquist軌跡與單位圓的交點c和原點的連線，與負實軸的相位差值，稱為相位裕度（又稱相角裕度），記為：，相角(c)為負值。一、相位裕度，

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，當=c時，Nyquist軌跡從負實軸下方進入單位圓，其相位(c)大于180°，為正值，這時稱為正的相位裕度。

對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，當=c時，Nyquist軌跡在負實軸上方進入單位圓，其相位(c)小于180°，為負值，這時稱為負相位裕度。

相應地，在Bode圖中，相位儲備表示為，當=c時，相頻特性∠GH距180°線的相位差值。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，

在Bode圖180°線以上，這時稱系統(tǒng)具有正相位裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，

在Bode圖180°線之下，稱為負相位裕度。

正的相位裕度表示系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且有相當?shù)姆€(wěn)定性儲備，它可以在c的頻率下，允許相位再增加絕對值為的相角才達到g=c的臨界穩(wěn)定條件。因此，相位裕度

又稱相位儲備。二、幅值裕度Kg

開環(huán)Nyquist軌跡與負實軸線交點

(相位穿越頻率)g

處幅值|G(j)H(j)|的倒數(shù)稱為系統(tǒng)的幅值裕度，即幅值裕度也可以用分貝數(shù)來表示：

對于穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)在0分貝線以下，Kg(dB)>0，（或Kg>1），此時稱為正的幅值裕度；對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)在0分貝線以上，Kg(dB)<0，（或Kg<1），此時稱為負的幅值裕度。

幅值裕度的含義是，如果系統(tǒng)開環(huán)增益增大到原來的Kg倍（即新的Kg=1），則系統(tǒng)就將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此，幅值裕度是系統(tǒng)在幅值上的幅值穩(wěn)定性儲備的裕量，又稱幅值儲備。

對于最小相位系統(tǒng)，當相位裕度大于零且幅值裕度Kg大于1(Kg的分貝值大于0)時，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。和Kg越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度越好；當<0、Kg<1(Kg分貝值為負)時，則表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。正幅值裕度，正相角裕度=+[GH]ReImc單位圓g(c)1/Kgcg=+[GH]ReIm單位圓(c)1/Kg90

270

20lg|GH|

0GH

180

cgKg(dB)>0Kg(dB)<090

270

20lg|GH|

0GH

180

cg正幅值裕度，正相角裕度負幅值裕度，負相角裕度負幅值裕度，負相角裕度例：設系統(tǒng)的GK(s)為：解：做出系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖：=+[GH]0ReImc單位圓g1/Kg90

270

20lg|GH|

0GH

180

cgKg(dB)20dB/dec60dB/decK=10K=1c'試分析阻尼比和增益K與該閉環(huán)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的關系。結(jié)果分析：1、阻尼比與相對穩(wěn)定性關系：假定增益K=1，較小，取<0.3。系統(tǒng)的G(j)H(j)將具有如圖所示的形狀。由于在很小時，振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性峰值很高，盡管其相位儲備

較大，但幅值儲備Kg(dB)卻很小。也就是說，G(j)H(j)的剪切頻率c處大，但在頻率g附近，Nyqiust軌跡十分靠近[GH]平面上的點(1，j0)，可見Kg過小。如果僅以來評定該系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，將得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度高的結(jié)論，此結(jié)論不合實際情況。如果阻尼比極小，0，由于諧振峰值很高，系統(tǒng)幾乎沒有幅值儲備，甚至不穩(wěn)定。2、分析增益與相對穩(wěn)定性關系：假定=0.2，比較圖