2017-2018版高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.1拋物線及其標準方程學案1-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE22學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2。1拋物線及其標準方程學習目標1。掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念。2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程。3。明確拋物線標準方程中p的幾何意義，能解決簡單的求拋物線標準方程問題．知識點一拋物線的定義思考1如圖，在黑板上畫一條直線EF，然后取一個三角板，將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點，將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上,在拉鏈D處放置一支粉筆，上下拖動三角板,粉筆會畫出一條曲線．這是一條什么曲線，由畫圖過程你能給出此曲線的定義嗎？思考2拋物線的定義中，l能經(jīng)過點F嗎？為什么？梳理(1)定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不過F)的距離________的點的集合叫作拋物線．(2）焦點：________.（3)準線：________。知識點二拋物線的標準方程思考1拋物線方程中p有何意義？拋物線的開口方向由什么決定?思考2拋物線標準方程的特點？思考3已知拋物線的標準方程，怎樣確定拋物線的焦點位置和開口方向?梳理拋物線的標準方程有四種類型圖形標準方程y2＝2px（p>0）y2＝－2px（p〉0）x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p〉0）焦點坐標eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(p，2），0))eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（p,2)，0）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（p,2））)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，－\f（p,2）))準線方程x＝－eq\f（p,2）x＝eq\f（p,2)y＝－eq\f（p,2）y＝eq\f（p，2)類型一拋物線定義的解讀例1方程eq\r（x＋32＋y－12）＝eq\f(|x－y＋3|，\r（2））表示的曲線是(）A．圓 B．橢圓C．線段 D．拋物線反思與感悟根據(jù)式子的幾何意義，利用拋物線的定義，可確定點的軌跡，注意定義中“點F不在直線l上”這個條件．跟蹤訓練1若動圓與圓(x－2)2＋y2＝1相外切，又與直線x＋1＝0相切,則動圓圓心的軌跡是________．類型二拋物線的標準方程及求解命題角度1拋物線的焦點坐標或準線方程的求解例2已知拋物線的方程如下，求其焦點坐標和準線方程．（1）y2＝－6x；（2)3x2＋5y＝0;（3)y＝4x2；（4）y＝ax2(a≠0)．引申探究1．將例2(4)的方程改為y2＝ax（a≠0)結果如何？2．將例2(4）的方程改為x2＝ay(a≠0)，結果如何？反思與感悟如果已知拋物線的標準方程,求它的焦點坐標、準線方程時，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向．一次項的變量若為x（或y)，則x軸(或y軸)是拋物線的對稱軸，一次項系數(shù)的符號決定開口方向．跟蹤訓練2已知拋物線y2＝2px（p〉0)的準線與曲線x2＋y2－6x－7＝0相切，則p為（）A．2 B．1C。eq\f（1，2） D。eq\f（1,4）命題角度2求拋物線的標準方程例3求滿足下列條件的拋物線的標準方程．（1)過點(－3，2）；(2）焦點在直線x－2y－4＝0上；（3)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線相交于點A，｜AF｜＝5.反思與感悟拋物線標準方程的求法(1）定義法：建立適當?shù)淖鴺讼担脪佄锞€的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡,根據(jù)定義求出p,最后寫出標準方程．（2)待定系數(shù)法:由于標準方程有四種形式，因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上,進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．跟蹤訓練3根據(jù)下列條件，求拋物線的標準方程．(1）焦點為（－2,0）；（2）焦點到準線的距離是4；（3）過點(1,2）．類型三拋物線在實際生活中的應用例4河上有一拋物線形拱橋,當水面距拱橋頂5m時,水面寬為8m，一小船寬4m、高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？反思與感悟涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担脪佄锞€的標準方程進行求解．跟蹤訓練4某拋物線形拱橋跨度是20米，拱橋高度是4米，在建橋時，每4米需用一根支柱支撐，求其中最長支柱的長．1．拋物線y2＋x＝0的開口（)A．向上 B．向下C．向左 D．向右2．拋物線y2＝8x的焦點坐標和準線方程分別為（)A．(1，0)，x＝－1 B．（2，0），x＝－2C．（3，0），x＝－3 D．(4，0）,x＝－43．已知拋物線的焦點到準線的距離為3，則拋物線方程可以為（）A．y2＝x B．y2＝2xC．x2＝－3y D．x2＝－6y4．拋物線x2＝8y上的點M到x軸的距離為6，則點M與拋物線的焦點間的距離為________．5．分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程：(1)準線方程為y＝－3；（2）拋物線與橢圓eq\f(x2,4＋m）＋eq\f（y2，3＋m）＝1的一個焦點相同．1．焦點在x軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為y2＝mx(m≠0），此時焦點坐標為F(eq\f（m,4)，0），準線方程為x＝－eq\f（m，4)；焦點在y軸上的拋物線，其標準方程可以統(tǒng)設為x2＝my(m≠0),此時焦點為F(0,eq\f（m，4）)，準線方程為y＝－eq\f(m,4）。2．設M是拋物線上一點,焦點為F，則線段MF叫作拋物線的焦半徑．若M（x0，y0）在拋物線y2＝2px(p〉0)上，則根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離可以相互轉化，所以焦半徑|MF|＝x0＋eq\f(p，2).

答案精析問題導學知識點一思考1平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（定點不在定直線上)距離相等的點的軌跡叫作拋物線，定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線．思考2不能，若l經(jīng)過點F，滿足條件的點的軌跡不是拋物線，而是過點F且垂直于l的一條直線．梳理(1）相等（2)點F（3）直線l知識點二思考1p是拋物線的焦點到準線的距離，拋物線的方程中一次項決定開口方向．思考2(1)原點在拋物線上；（2)對稱軸為坐標軸；（3）p為大于0的常數(shù)，其幾何意義表示焦點到準線的距離；(4）準線與對稱軸垂直，垂足與焦點關于原點對稱；(5）焦點、準線到原點的距離都等于eq\f(p,2)。思考3一次項變量為x(或y)，則焦點在x軸（或y軸)上;若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；系數(shù)為負,則焦點在負半軸上．焦點確定，開口方向也隨之確定．題型探究例1D［eq\r（x＋32＋y－12)＝eq\f(｜x－y＋3|,\r（2）），它表示點M（x，y）與點F（－3,1）的距離等于點M到直線x－y＋3＝0的距離，且點F(－3，1）不在直線上．根據(jù)拋物線的定義，知此方程表示的曲線是拋物線．]跟蹤訓練1拋物線解析由題意，動圓圓心到定圓圓心的距離比它到直線x＋1＝0的距離大1，故動圓圓心的軌跡是以(2，0)為焦點，x＝－2為準線的拋物線，其方程為y2＝8x。例2解（1）由方程y2＝－6x，知拋物線開口向左，2p＝6,p＝3，eq\f（p,2）＝eq\f(3,2），所以焦點坐標為(－eq\f(3,2)，0），準線方程為x＝eq\f（3,2）.(2）將3x2＋5y＝0化為x2＝－eq\f（5,3）y，知拋物線開口向下,2p＝eq\f（5,3），p＝eq\f（5,6），eq\f(p，2）＝eq\f（5，12)，所以焦點坐標為(0，－eq\f(5,12)），準線方程為y＝eq\f(5，12）.(3)將y＝4x2化為x2＝eq\f（1,4）y，知拋物線開口向上，2p＝eq\f(1，4),p＝eq\f(1，8），eq\f(p，2）＝eq\f（1,16），所以焦點坐標為(0，eq\f(1,16））,準線方程為y＝－eq\f（1，16）。（4)拋物線方程y＝ax2可化為x2＝eq\f(1，a)y，當a>0時，2p＝eq\f(1,a），p＝eq\f（1,2a)，故焦點坐標是（0,eq\f(1，4a))，準線方程是y＝－eq\f(1，4a).當a〈0時，2p＝－eq\f(1，a)，p＝－eq\f(1，2a)，故焦點坐標是(0，eq\f(1，4a)），準線方程是y＝－eq\f（1,4a).綜上，拋物線y＝ax2的焦點坐標（0,eq\f(1，4a)），準線方程為y＝－eq\f（1,4a).引申探究1．焦點是(eq\f(a,4),0)，準線方程是x＝－eq\f（a,4)。2．焦點是（0，eq\f(a,4))，準線方程是y＝－eq\f(a,4).跟蹤訓練2A[注意到拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，曲線x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3)2＋y2＝16，它表示圓心為(3,0)，半徑為4的圓．由題意得eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（p,2）＋3)）＝4.又p>0,因此有eq\f(p，2)＋3＝4，解得p＝2，故選A.]例3解(1）當拋物線的焦點在x軸上且過點(－3,2)時，可設拋物線方程為y2＝－2px（p〉0)，把（－3,2）代入得22＝－2p×（－3)，∴p＝eq\f(2，3），∴所求拋物線方程為y2＝－eq\f（4,3）x.當拋物線的焦點在y軸上且過點(－3,2）時，可設拋物線方程為x2＝2py（p>0),把(－3，2)代入得（－3)2＝2p×2，∴p＝eq\f(9,4)，∴所求拋物線方程為x2＝eq\f(9,2）y。綜上，所求拋物線方程為y2＝－eq\f（4，3）x或x2＝eq\f(9,2)y。（2)直線x－2y－4＝0與x軸的交點為(4，0)，與y軸的交點為（0，－2),故拋物線的焦點為（4，0）或（0，－2），當拋物線的焦點為（4，0）時,設拋物線方程為y2＝2px（p>0)，∵eq\f(p，2)＝4，∴p＝8，∴拋物線方程為y2＝16x.當拋物線的焦點為（0，－2）時，設拋物線方程為x2＝－2py（p〉0)，∵－eq\f（p，2)＝－2，∴p＝4，∴拋物線方程為x2＝－8y.綜上，所求拋物線方程為y2＝16x或x2＝－8y。（3)設所求焦點F在x軸上的拋物線的標準方程為y2＝2px（p≠0），A(m,－3)．則由拋物線的定義得|AF｜＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(m＋\f(p,2)))＝5,∵點A在拋物線上，∴（－3)2＝2pm,從而可得p＝±1或p＝±9.∴所求拋物線的標準方程為y2＝±2x或y2＝±18x.跟蹤訓練3解（1)焦點在x軸的負半軸上，eq\f（p，2)＝2，即p＝4.所以拋物線的方程是y2＝－8x.（2）p＝4,拋物線的方程有四種形式:y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y,x2＝－8y.(3)方法一點（1，2)在第一象限，要分兩種情形討論：當拋物線的焦點在x軸上時,設拋物線的方程為y2＝2px（p〉0），則22＝2p·1，解得p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x；當拋物線的焦點在y軸上時，設拋物線的方程為x2＝2py(p〉0)，則12＝2p·2，解得p＝eq\f（1，4)，∴拋物線方程為x2＝eq\f（1,2)y.方法二設所求拋物線的標準方程為y2＝mx或x2＝ny，將點（1,2）代入，得m＝4，n＝eq\f(1，2），故所求的方程為y2＝4x或x2＝eq\f(1，2）y。例4解如圖,以拱橋的拱頂為原點，以過拱頂且平行于水面的直線為x軸,建立平面直角坐標系．設拋物線方程為x2＝－2py（p〉0）．由題意可知，點B(4,－5)在拋物線上，故p＝eq\f（8，5)，得x2＝－eq\f（16,5）y。當船面兩側和拋物線接觸時，船不能通航，設此時船面寬為AA′，則A(2，yA），由22＝－eq\f（16,5）yA，得yA＝－eq\f(5，4）.又知船面露出水面上的部分高為0。75m,所以h＝|yA|＋0.75＝2（m)．所以水面上漲到與拋物線形拱橋拱頂相距2m時，小船開始不能通航．跟蹤訓練4解如圖，建立平面直角坐標系,設拋物線方程為x2＝－2py(p〉0）．依題意知，點P（10,－4)在拋物線上，所以100＝－2p×(－4），2p＝25.即拋物線方程為x2＝－25y.因為每4米需用一根支柱支撐，所以支柱橫坐標分別為－6，－2,2，6。由圖知,AB是最長的支柱之一．設點B的坐標為(2，yB),代入x2＝－25y，得yB＝－eq