2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)5簡單的冪函數(shù)（一）學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE5簡單的冪函數(shù)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解冪函數(shù)的概念.2.學(xué)會以簡單的冪函數(shù)為例研究函數(shù)性質(zhì)的方法.3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)有關(guān)問題．知識點一冪函數(shù)的概念思考y＝eq\f（1，x），y＝x,y＝x2三個函數(shù)有什么共同特征？梳理如果一個函數(shù)底數(shù)是自變量x,指數(shù)是常量α,即y＝xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù)．知識點二冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)思考如圖在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)（1)y＝x；（2）；（3)y＝x2；(4)y＝x－1；（5)y＝x3的圖像．填寫下表:y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域值域單調(diào)性增在［0，＋∞)上______，在(－∞，0］上______在(0，＋∞）上______，在(－∞，0)上______梳理根據(jù)上表，可以歸納一般冪函數(shù)特征:(1)所有的冪函數(shù)在（0，＋∞)上都有定義，并且圖像都過點________；(2)α〉0時,冪函數(shù)的圖像通過________，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是________函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖像下凸；當(dāng)0〈α〈1時，冪函數(shù)的圖像上凸；(3）________時，冪函數(shù)的圖像在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；(4）冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像關(guān)于直線y＝x對稱；（5)在第一象限,作直線x＝a（a>1）,它同各冪函數(shù)圖像相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從________到________的順序排列．類型一冪函數(shù)的概念例1已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，求m，n的值．反思與感悟只有滿足函數(shù)解析式右邊的系數(shù)為1,底數(shù)為自變量x，指數(shù)為常量這三個條件，才是冪函數(shù)．如:y＝3x2，y＝（2x)3,y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,2）))4都不是冪函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1在函數(shù)y＝eq\f（1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x,y＝1中,冪函數(shù)的個數(shù)為(）A．0B．1C．2D．3類型二冪函數(shù)的圖像及應(yīng)用例2若點(eq\r（2)，2）在冪函數(shù)f(x）的圖像上,點（2，eq\f（1，4）)在冪函數(shù)g（x)的圖像上,問當(dāng)x為何值時，（1）f（x）>g(x）;（2)f(x）＝g（x）；(3)f（x）〈g（x）．反思與感悟冪函數(shù)由于指數(shù)α的不同，它們的定義域也不同，性質(zhì)也不同，冪函數(shù)的圖像主要分0<α<1,α>1和α<0三種情況討論．跟蹤訓(xùn)練2冪函數(shù)y＝xα(α≠0),當(dāng)α取不同的正數(shù)時,在區(qū)間[0，1]上它們的圖像是一簇美麗的曲線（如圖）．設(shè)點A(1，0），B（0，1），連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于()A．1 B．2C．3 D．無法確定類型三冪函數(shù)性質(zhì)eq\x(命題角度1探討冪函數(shù)性質(zhì)）例3探討函數(shù)f（x)＝的單調(diào)性．反思與感悟研究函數(shù)單調(diào)性要先研究函數(shù)定義域．冪函數(shù)的定義域主要受兩個因素影響：偶次根式被開方數(shù)不小于零；分式的分母不為零．跟蹤訓(xùn)練3已知冪函數(shù)f（x）＝（m∈N＋)．試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性．eq\x(命題角度2應(yīng)用冪函數(shù)性質(zhì)）例4（1）比較，的大?。?2)若（a＋1)〈（3－2a)，則a的取值范圍是________．反思與感悟應(yīng)用冪函數(shù)性質(zhì)比大小解不等式，首先是根據(jù)研究目標(biāo)的特征構(gòu)造冪函數(shù)，其次是根據(jù)所構(gòu)造的冪函數(shù)性質(zhì)如定義域、單調(diào)性來解決問題．跟蹤訓(xùn)練4（1)比較，，的大?。?）若冪函數(shù)f（x)＝(m∈N＋)過（2,eq\r(2）），解不等式f(2－a)〉f(a－1）．1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖像過點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）,\f（\r（2),2）)）,則k＋α等于（)A.eq\f（1,2)B．1C。eq\f(3,2)D．22．已知冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點（2，eq\f（\r(2）,2))，則f（4)的值等于（)A．16B。eq\f(1,16）C．2D。eq\f(1,2)3．設(shè)α∈{－1,1，eq\f（1,2）,3｝,則使函數(shù)y＝xα的定義域為R的所有α的值為()A．1,3B．－1,1C．－1，3D．－1，1，34．下列是的圖像的是(）5．以下結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)α＝0時，函數(shù)y＝xα的圖像是一條直線B．冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0，0），（1,1）兩點C．若冪函數(shù)y＝xα的圖像關(guān)于原點對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D．冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限，但可能在第二象限1．冪函數(shù)y＝xα（α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù),這是判斷一個函數(shù)是不是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)．2．冪函數(shù)y＝xα的圖像與性質(zhì)由于α的值不同而比較復(fù)雜，一般從兩個方面考查：（1）α〉0時,圖像過（0，0），（1,1)在第一象限的圖像上升；α<0時，圖像不過原點，在第一象限的圖像下降,反之也成立．（2）曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α〈1時，曲線上凸;α<0時,曲線下凸．3．在具體應(yīng)用時，不一定是y＝xα，α＝－1，eq\f(1，2），1，2,3這五個已研究熟的冪函數(shù)，這時可根據(jù)需要構(gòu)造冪函數(shù),并針對性地研究某一方面的性質(zhì)．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考底數(shù)為x，指數(shù)為常數(shù)．知識點二思考RRR[0,＋∞）{x｜x≠0｝R［0,＋∞)R[0，＋∞)｛y｜y≠0｝增加減少增增減少減少梳理(1)(1,1)（2）原點增(3）α<0（5)小大題型探究例1解由題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1,,2n－3＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3或1，，n＝\f(3,2），))所以m＝－3或1，n＝eq\f（3,2）。跟蹤訓(xùn)練1B［因為y＝eq\f(1,x2)＝x－2，所以是冪函數(shù)；y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù);y＝x2＋x是兩項和的形式,不是冪函數(shù)；y＝1＝x0(x≠0),可以看出，常函數(shù)y＝1的圖像比冪函數(shù)y＝x0的圖像多了一個點(0,1）,所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù)．]例2解設(shè)f(x）＝xα，因為點(eq\r（2），2）在冪函數(shù)f(x）的圖像上,所以將點（eq\r(2)，2）代入f(x）＝xα中，得2＝(eq\r（2)）α，解得α＝2,則f（x）＝x2。同理可求得g(x)＝x－2。在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)f（x)＝x2和g(x)＝x－2的圖像(如圖所示），觀察圖像可得：(1）當(dāng)x>1或x〈－1時，f（x)>g（x）；（2)當(dāng)x＝1或x＝－1時，f(x)＝g（x）;(3)當(dāng)－1〈x<1且x≠0時，f(x）<g(x）．跟蹤訓(xùn)練2A[由條件知，M（eq\f（1,3），eq\f(2，3))、N(eq\f（2,3)，eq\f（1,3)），∴eq\f(1，3）＝（eq\f（2，3））α，eq\f（2，3)＝(eq\f(1,3)）β，∴（eq\f(1，3））αβ＝[（eq\f（1,3））β］α＝(eq\f（2,3）)α＝eq\f(1,3），∴αβ＝1。故選A。］例3解f（x)＝的定義域為（0，＋∞)．任取x1,x2∈（0，＋∞),且x1<x2，則f(x2)－f（x1)＝－＝eq\f(1，\r（x2))－eq\f(1，\r(x1))＝eq\f（\r（x1）－\r（x2），\r(x1x2））＝eq\f(x1－x2，\r(x1x2）·\r（x1)＋\r(x2)）.因為x2>x1>0，所以x1－x2〈0，且eq\r（x1x2）·(eq\r（x1）＋eq\r（x2)）>0，于是f（x2)－f（x1）〈0，即f（x2）<f(x1），所以f(x)＝在區(qū)間（0，＋∞）內(nèi)是減函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3解∵m∈N＋,∴m2＋m＝m×（m＋1)為偶數(shù)．令m2＋m＝2k，k∈N＋,則f(x)＝eq\r(2k,x)，∴f(x）的定義域為［0，＋∞），在［0，＋∞）上為增函數(shù)．例4(1）解∵在[0，＋∞)上是增函數(shù)，27>25，∴即（2)（eq\f(2,3）,eq\f(3，2））解析由(1)知f（x)＝x在區(qū)間（0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)．所以(a＋1)<（3－2a)等價于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋1>0，，3－2a〉0，,a＋1〉3－2a,）)解得eq\f(2,3）<a<eq\f(3，2）.所以a的取值范圍是(eq\f（2，3)，eq\f(3,2）)．．跟蹤訓(xùn)練4解∵在R上為增函數(shù)，且eq\f（1,2)<9〈16,∴即(2）∵eq\r(2）＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去），∴f(x）＝，由(1)知f（x）在定義域［0,＋∞）上為增函數(shù)，∴f(2－a)>f(a－1）等價于2－a>a－1≥0，解得1≤a〈eq\f(3,2)。當(dāng)堂訓(xùn)練1．C[由冪函數(shù)的定義知k＝1.又feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)