第三章貝葉斯估計理論 LMMSE

貝葉斯估計理論——LMMSE和小結羅義軍QQ:896442923貝葉斯估計理論——內(nèi)容安排主要內(nèi)容引言線性貝葉斯估計量（LMMSE）估計量總結一般貝葉斯估計量選擇估計量使得平均代價（貝葉斯風險）最小對給定代價函數(shù)，可得最優(yōu)估計量的形式三種代價函數(shù)圖11.2不同代價函數(shù)的估計量最小均方誤差（MMSE）估計最大后驗概率（MAP）估計條件中位數(shù)估計LMMSE的引入MMSE含有多重積分，MAP含有多維最大值求解問題。聯(lián)合高斯假設條件下容易得到，一般情況下難以求得不能做出高斯假定時，選擇保留MMSE準則限定估計量線性LMMSE估計類似于BLUE估計量的顯式可由前兩階矩來確定卡爾曼濾波器是維納濾波器的重要推廣貝葉斯估計理論——內(nèi)容安排主要內(nèi)容引言線性貝葉斯估計量（LMMSE）估計量總結線性MMSE估計假定標量參數(shù)給定數(shù)據(jù)矢量假定：聯(lián)合PDF未知；已知前兩階矩；

X與θ統(tǒng)計相關目標：求滿足如下形式的最佳估計量選擇加權系數(shù)使貝葉斯MSE最小，導出的估計量稱為LMMSE估計量最佳加權系數(shù)的推導代入得對求偏導數(shù)，代入可得這里標量！展開可得對加權系數(shù)求偏導可得注意：LMMSE估計僅需1階和2階矩，不需PDF代入并化簡可得若和統(tǒng)計獨立，則完全基于先驗信息，數(shù)據(jù)無用例12.1WGN中具有均勻先驗PDF的DC電平若，需要積分而無法得到閉合形式的解因此，采用LMMSE回顧例10.11×N幾何解釋內(nèi)積空間(IPSpaces)矢量：全部隨機變量集合/0均值、有限方差（ZMFV）標量：全部實數(shù)集合內(nèi)積：<X,Y>=E{XY}構成內(nèi)積空間首先：是矢量空間用于估計標量隨機變量由N個隨機變量的線性組合進行估計應用正交原理假定可逆矢量LMMSE估計待估參數(shù)線性估計量目標：對每個元素，使最小可將矩陣A的第i行和矢量a第i個元素，看成的標量LMMSE估計量的形式已知每個待估參數(shù)的標量LMMSE形式得出相應的解組合為矢量形式

矢量LMMSE的解矢量LMMSE估計若相似地，可得矩陣LMMSE估計量的兩個性質(zhì)1.在線性變換上是可以轉換的若且為LMMSE估計量，則為的LMMSE估計量2.未知參數(shù)之和的LMMSE估計量是每個估計量之和若則貝葉斯高斯-馬爾可夫定理令數(shù)據(jù)為應用前面的結果，可得與貝葉斯線性估計（已包含高斯假定）形式相同除非最佳估計線性，通常為次佳估計LMMSE只需得到均值和協(xié)方差矩陣則若定理4.2一般線性模型的MVUE定理11.1貝葉斯線性模型下MMSE估計序貫LMMSE估計與序貫LS方法相同固定參數(shù)個數(shù)（在此為隨機的），增加數(shù)據(jù)樣本數(shù)目數(shù)據(jù)模型目標：給定基于的估計，當新的數(shù)據(jù)樣本到達時，更新估計到求序貫LMMSE在此，我們利用矢量空間得到“白噪聲中的直流電平”的解，再推廣到一般情況假定和均為0均值，給定，其LMMSE估計再由尋求該估計的序貫更新看作矢量空間首先估計新數(shù)據(jù)，即求利用正交原理由提供的新的非冗余信息，稱為“新息”由舊數(shù)據(jù)，估計新數(shù)據(jù)預測A在誤差矢量上的投影正是所求的修正項回顧特性：新息序列新息序列是：推導和應用序貫LMMSE的關鍵正交的（即不相關的）矢量序列在信號處理和控制中非常重要一般序貫LMMSE估計

初始化：無數(shù)據(jù)，利用先驗信息估計量更新：序貫LMMSE框圖框圖與序貫LS相同信號處理的例子——維納濾波器信號模型：問題表述：用線性濾波器處理，得到去噪的信號，使得所求信號相關的最小濾波、平滑、預測FIR維納濾波原理上：實際中：IIR維納濾波可看作，此時維納濾波為時不變的則維納-霍夫等式為可采用“譜因式分解”求得維納濾波為IIR時不變的定長FIR維納濾波數(shù)據(jù)：FIR平滑器為便于解釋，考慮N=1的情況：IIR平滑器基于數(shù)據(jù)估計維納-霍夫方程為：1步預測的結果：對于AR（3）貝葉斯估計理論——內(nèi)容安排主要內(nèi)容引言線性貝葉斯估計量（LMMSE）估計量總結估計方法在經(jīng)典方法中，數(shù)據(jù)信息總結在概率密度函數(shù)p(x;θ)中，其中PDF是θ的函數(shù)。在貝葉斯方法中，由于先驗PDFp(θ)描述了有關θ的知識而增加