第9章維納濾波

第九章維納濾波

(WienerFiltering)2/5/20231主要內(nèi)容9.1概述9.2波形線性均方估計(jì)的正交原理9.3維納-霍夫（Wiener-Horf)積分方程9.4非因果的維納濾波問(wèn)題9.5因果的維納濾波器9.6預(yù)測(cè)問(wèn)題9.7后驗(yàn)維納濾波與互補(bǔ)維納濾波9.8維納濾波器的應(yīng)用2/5/20232在實(shí)際應(yīng)用中，有用信號(hào)往往會(huì)受到一些外界干擾，我們實(shí)際觀察到的是受到噪聲干擾了的信號(hào)。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號(hào)分離出來(lái)，是信號(hào)處理中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。

9.1概述2/5/20233在傳輸或測(cè)量信號(hào)s(n)時(shí)，由于信道噪聲或者測(cè)量噪聲w(n)，接收或測(cè)量到的數(shù)據(jù)x(n)將與s(n)不同。設(shè)噪聲是加性的:

即:x(n)=s(n)+w(n)2/5/20234如果s(n)和w(n)的頻譜是分離的，那么設(shè)計(jì)一個(gè)具有恰當(dāng)頻率特性的線性濾波器即能有效地抑制噪聲并提取信號(hào)，這就是前面經(jīng)典數(shù)字信號(hào)處理理論中詳細(xì)討論過(guò)的數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題.但是如果s(n)和w(n)的頻譜互相重疊,或者s(n)和w(n)是隨機(jī)信號(hào)，它們的頻譜根本就不存在，問(wèn)題就要復(fù)雜得多，這就是本章要討論的內(nèi)容。2/5/20235隨機(jī)性是生物醫(yī)學(xué)信號(hào)的特點(diǎn)之一，在本章中主要討論噪聲中隨機(jī)信號(hào)的線性估計(jì)問(wèn)題。維納濾波適用于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。觀察x(t)中既含有隨機(jī)信號(hào)s(t)又含有噪聲n(t)。2/5/20236經(jīng)處理器處理后得一估計(jì)值作為對(duì)所希望取得的信息d(t)的估計(jì)值，d(t)可能是s(t)，也可能是預(yù)測(cè)值s(t+a)，導(dǎo)數(shù)ds(t)/dt等。估計(jì)的任務(wù)就是要求與d(t)的差值在一定判據(jù)意義下取得極小值。2/5/20237處理器判據(jù)極小9-1估計(jì)原理方框圖2/5/20238根據(jù)待估計(jì)量d(t)的形勢(shì)，波形估計(jì)問(wèn)題可分為三類：濾波問(wèn)題：由t0~tf一段時(shí)期內(nèi)的觀察x(t),t0≤t≤tf，估計(jì)t=tf瞬間信號(hào)s(t)的值s(t)。即：d(t)=s(t)。預(yù)測(cè)問(wèn)題：由t0~tf一段時(shí)期內(nèi)的觀察x(t),估計(jì)t>tf的某一時(shí)刻待估計(jì)信號(hào)的可能值。即：d(t)=s(t+a)，a>0。平滑問(wèn)題：由t0~tf一段時(shí)期內(nèi)的觀察x(t),估計(jì)t0<t<tf期內(nèi)待估計(jì)信號(hào)的值.也叫內(nèi)插問(wèn)題。2/5/20239在本章應(yīng)用中作以下假設(shè)：x(t)中信號(hào)s(t)和噪聲信號(hào)n(t)是加法地結(jié)合的，即：x(t)=s(t)+n(t)。處理器所采用的算法限于線性運(yùn)算。即：如該處理器的沖擊響應(yīng)是h(t),則：所采用的判據(jù)是均方誤差最小，即：2/5/2023109.2波形線性均方估計(jì)的正交原理設(shè)信號(hào)是隨機(jī)過(guò)程s(t)，觀察是t0~tf期內(nèi)測(cè)得的隨機(jī)過(guò)程x(t),t?[t0，tf],為了簡(jiǎn)化討論，設(shè)s(t)和x(t)都是零均值的。采用最小均方誤差作為估計(jì)判據(jù)。即：又限定估計(jì)是由觀察x(t)經(jīng)線性濾波器h(t)得出的：2/5/202311最優(yōu)線性均方估計(jì)的選取原則是使估計(jì)誤差與所有的觀察值x(),?[t0，tf]正交，也就是說(shuō)，如果對(duì)每一個(gè)?[t0，tf]都有：則均方誤差最小，它等于：2/5/202312證明：2/5/202313例9.1簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)問(wèn)題設(shè)觀察中沒(méi)有噪聲，即x(t)=s(t)，又待估計(jì)量是信號(hào)的預(yù)測(cè)值d(t)=s(t+a)，a>0，設(shè)只用t時(shí)刻的觀察值x(t)對(duì)d(t)作線性估計(jì)：按最小均方誤差判據(jù)做估計(jì)，即求。2/5/202314解：根據(jù)正交原理，估計(jì)誤差：應(yīng)和觀察值x(t)=s(t)正交，即：2/5/202315例9.2設(shè)觀察中沒(méi)有噪聲，即x(t)=s(t)，又待估計(jì)量是信號(hào)的預(yù)測(cè)值d(t)=s(t+a)，a>0，設(shè)估計(jì)算子采用：按最小均方誤差判據(jù)做估計(jì)，即求估計(jì)系數(shù)a和b。2/5/202316解：此時(shí)正交原理表現(xiàn)為：2/5/202317由于Rss‘(t)是奇函數(shù)，所以Rss‘(0)=0

把上式化簡(jiǎn)得到：2/5/202318代入均方誤差式中，得到：因?yàn)镽ss(0)>0,此式最后一項(xiàng)大于零，所以，它要比例9.1的LMS要小，主要是他利用了更多的測(cè)量信息，估計(jì)效果更好些。2/5/2023199.3維納-霍夫（Wiener-Horf)積分方程觀察x(t)由信號(hào)s(t)和噪聲n(t)相加組成，觀察時(shí)間t0~tf，則：

x(t)=s(t)+n(t),?[t0，tf]

待估計(jì)過(guò)程是d(t)，x(t)經(jīng)線性處理得到估計(jì)為：要求估計(jì)均方誤差最小，試求h(t)2/5/202320根據(jù)正交原理可知：即t時(shí)刻的估計(jì)誤差要和t0~tf區(qū)間所有時(shí)刻的觀察值x()正交，推得：2/5/202321這就是h(t)應(yīng)滿足的條件,稱為維納-霍夫積分方程，只要相關(guān)函數(shù)Rxd和Rxx已知，就可以由此解出h(t).而h(t)一經(jīng)解出，就有：?jiǎn)栴}是維納-霍夫方程是一個(gè)積分方程，未必能求出解析解答。2/5/2023229.4非因果的維納濾波問(wèn)題對(duì)于濾波問(wèn)題，利用從t0=-∞一直到tf=t時(shí)刻為止的全部觀察來(lái)估計(jì)t時(shí)刻的信號(hào)s(t)。此時(shí)有：

t0=-∞,tf=td(t)=s(t)

于是維納-霍夫方程變?yōu)椋?/5/202323做變量替換，t-=,t-=,得到：或：此時(shí)：2/5/2023249.4.1連續(xù)時(shí)間形式的解如果不要求濾波器是因果的，可以把觀察時(shí)間的上限tf擴(kuò)展到-∞,也就是利用x(t)在全時(shí)間軸上的值來(lái)進(jìn)行估計(jì)。此時(shí)維納-霍夫方程為：2/5/202325把它做付氏變換有：如果n(t)和s(t)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則有：做反傅里葉變換得到濾波器的沖擊響應(yīng)h(t)2/5/202326例9.3

設(shè)信號(hào)的功率譜是：噪聲是白色的，其功率譜是常數(shù)而且噪聲與信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求維納濾波器的頻率特性和沖擊響應(yīng)。

2/5/202327解：此時(shí)有求付里葉反變換得到：它顯然是非因果的，物理不可實(shí)現(xiàn)的th(t)o2/5/202328在離散情況下，在不要求物理可實(shí)現(xiàn)的條件下。可以類似推出以下結(jié)論：維納-霍夫原方程為：現(xiàn)在放寬為：9.4.2離散時(shí)間形式的解2/5/202329

因此濾波器的頻率特性是：實(shí)際中一般采用Z變換的傳遞函數(shù)將H(z)做反演Z變換得到?jīng)_擊響應(yīng)h(n)2/5/202330可見(jiàn)H(ej)

決定于信號(hào)與噪聲的功率譜密度;當(dāng)噪聲為零時(shí),即Snn(ej)

=0;H(ej)=1，信號(hào)全部通過(guò)；當(dāng)信號(hào)為零時(shí),即Sss(ej)

=0;H(ej)=0，噪聲被全部抑制掉;因此維納濾波器確有濾除噪聲的能力。非因果維納濾波器的幅頻特性如下圖所示。2/5/2023312/5/2023320非因果維納濾波器的幅頻特性wSss(ej)Snn(ej)H(ej)12/5/202333例9.4

設(shè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是：噪聲是白色的設(shè)計(jì)非因果的維納濾波器2/5/202334傳遞函數(shù)：解：此時(shí)有2/5/202335它是非因果的，而且是無(wú)限長(zhǎng)的，可以取短近似，如只取4項(xiàng)為：2/5/2023369.5因果的維納濾波器非因果維納濾波器需要用全時(shí)間上的觀察值來(lái)估計(jì)s(n),所以不能實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)，即使采用把h(n)截短的近似估計(jì)，也必須延遲若干拍，待xn+k輸入后（k是截短范圍)才能做出本次估計(jì)。維納濾波器的時(shí)域解（TimedomainsolutionoftheWienerfilter）2/5/202337設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)或傳遞函數(shù)H(Z)的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)就是解維納－霍夫（Wiener－Horf）方程。我們從時(shí)域入手求最小均方誤差下的h(n)。這里只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì)，既：

2/5/202338在此主要介紹兩種方法：FIR型：限制處理器的形式，只用最近的p+1個(gè)觀察值[x(n),x(n-1),┅,x(n-p)]來(lái)估計(jì)s(n),即：預(yù)白化處理，把觀察序列值x(n)白化。變成白噪聲w(n)，再對(duì)w(n)做可實(shí)現(xiàn)的最優(yōu)濾波，如圖：X(n)d(n)預(yù)白化H2w(n)白色2/5/2023399.5.1FIR型處理由正交原理得：2/5/202340令:m=n-m,上式可改寫為：用矩陣表示：RxxH=G

2/5/202341只要Rxx是非奇異的，就可以求得H:

H=Rxx-1GRxx是對(duì)稱且Toplitz型的這時(shí)的最小均方誤差為：2/5/202342隨機(jī)信號(hào)都可以看成是由一白色噪聲W(n)激勵(lì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)或模型的響應(yīng)，如圖所示：信號(hào)模型圖9.5.2預(yù)白化處理2/5/202343預(yù)白化方法是基于如下事實(shí)：當(dāng)x(n)是方差x2=1的白噪聲時(shí)，有：

Rxx(m-n)=1當(dāng)m=n=0其它所以上式直接就可以得出：

h(m)=Rxs(m)m=0~∞

離散維納--霍夫方程為:2/5/202344

對(duì)白色的x(n)而言，它的維納解是Rxs(m)的

m≥0的部分也可以寫成:h(m)=Rxs(m)u(m)它的付氏變換寫作：

[Sxs(ej)]+或用Z變換表示：

H(z)=[Sxs(z)]+符號(hào)[.]+表示原函數(shù)m>0部分對(duì)應(yīng)的付氏變換和Z變換。2/5/202345X(n)S(n)+n(n)d(n)=s(n)預(yù)白化H2(z)w(n)白色H1(z)E[.]2極小優(yōu)化-+預(yù)白化算法處理框圖2/5/202346復(fù)習(xí)一個(gè)Z變換的性質(zhì)如果h(n)=h(-n),則有:

H(z)=H(z-1);那么，如果z1是Ｈ(Ｚ)的極點(diǎn)，1/Z1一定是H(z)的極點(diǎn);同樣，零點(diǎn)也有這樣的性質(zhì)；還有如果h(n)是實(shí)函數(shù)，則Ｈ(z)極點(diǎn)一定是共軛對(duì)稱的．2/5/2023471.預(yù)白化濾波器H1(z)的設(shè)計(jì)

對(duì)x(n)的可實(shí)現(xiàn)白化濾波器H1(z)可如下求得:2/5/202348

2.最優(yōu)濾波器H2(z)的設(shè)計(jì)

因?yàn)閃(n)是白色的，所以：2/5/202349最后得總濾波器:2/5/202350證明：2/5/202351

例9.5設(shè)x(n)=s(n)+n(n),s、n統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,且：

設(shè)計(jì)可實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的維納濾波器。解：2/5/202352因此得：

可見(jiàn)：

2/5/202353括弧中的因子可按下式做部分分式分解：前一項(xiàng)對(duì)應(yīng)與n0部分，后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)與n<0部分。分解得A=B=0.6。

2/5/202354因此得:2/5/202355這種處理器有兩種具體實(shí)現(xiàn)方法：(ⅰ)把h(n)截短成有限長(zhǎng)，再與x(n)做卷積：(ⅱ)按IIR方式遞歸實(shí)現(xiàn)：2/5/2023569.6預(yù)測(cè)問(wèn)題預(yù)測(cè)的任務(wù)是根據(jù)觀察x(n)對(duì)d(n)的未來(lái)值做預(yù)報(bào)。提法全然不變，只是待估過(guò)程d(n)的具體含義變了，因此估計(jì)結(jié)果也改變。在最常見(jiàn)的一步預(yù)測(cè)情況下：

因此：2/5/2023579.6.1一般解答因?yàn)榇藭r(shí)維納-霍夫方程中的唯一變化是Rxd(m)成為Rxs(m+1),所以一步預(yù)測(cè)時(shí)離散時(shí)間的維納-霍夫方程是:2/5/202358(i)在非因果情況下，把上式放寬成：從而得：當(dāng)s(n)和n(n)互相獨(dú)立時(shí)，上式變成：2/5/202359（ii）在因果情況下，解答是：例9.6

試為例9.5設(shè)計(jì)可實(shí)現(xiàn)的一步預(yù)測(cè)器。

因?yàn)椋?/5/202360本例中：做部分分式分解，上式可分成:前一項(xiàng)對(duì)應(yīng)于n>0部分，故:2/5/202361因此:得:或用IIR方式實(shí)現(xiàn)：2/5/2023629.6.2用有限項(xiàng)FIR濾波器實(shí)現(xiàn)此時(shí):由正交原理：得維納-霍夫方程組:2/5/202363用矩陣形式表示:這里的自相關(guān)陣仍是對(duì)稱且Toeplitz型的。2/5/202364例9.7

用p=2的FIR結(jié)構(gòu)給例9.5設(shè)計(jì)維納一步預(yù)測(cè)器。2/5/202365故得:解得：故2/5/2023669.7后驗(yàn)維納濾波與互補(bǔ)維納濾波9.7.1后驗(yàn)維納濾波維納濾波是以信號(hào)和噪聲的相關(guān)函數(shù)或功率譜已有先驗(yàn)知識(shí)為前提的。如果這些統(tǒng)計(jì)特性未知，就需先作出它們的估計(jì)，然后再據(jù)以設(shè)計(jì)維納濾波器。但是從嚴(yán)格意義上說(shuō)，這時(shí)所得結(jié)果并不是真正的維納濾波器，所以稱之為后驗(yàn)“維納”濾波。2/5/202367從頻域上應(yīng)用后驗(yàn)維納濾波的核心問(wèn)題是由各次觀察xi(n)中分解出信號(hào)的譜估計(jì)和噪聲的譜估計(jì)。通?？刹捎孟率霾襟E：1.先對(duì)各次觀察求均值，設(shè)做N次觀察：式中，s(n)是確定性的誘發(fā)響應(yīng)，ni(n)是第i次刺激后記錄中的噪聲。2/5/202368

則平均誘發(fā)響應(yīng)：然后求的功率譜。如果s(n)和ni(n)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，各次噪聲也互相獨(dú)立，則:2/5/2023692.再分別對(duì)每一次觀察xi(n)求功率譜:并求這些功率譜的平均值:2/5/2023703.聯(lián)立解1,2中最后兩式，便可求得Sss(ej)

和Snn(ej)

的估計(jì)：2/5/202371據(jù)此，得后驗(yàn)"維納"濾波器如下：（i）用于對(duì)單次觀察進(jìn)行濾波：（ii）用于對(duì)平均誘發(fā)響應(yīng)x(n)進(jìn)行濾波：2/5/202372許多研究者用這種濾波方法對(duì)各種平均誘發(fā)響應(yīng)進(jìn)行了濾波，但效果報(bào)道不一。有的效果較好，有的卻不甚見(jiàn)效。其原因除了譜估計(jì)不是真實(shí)值，因此所得得H()只能是近似的估計(jì)外，還由于“維納”濾波的其它假設(shè)也未必能滿足。其中：

過(guò)程不是平穩(wěn)的;“信號(hào)和噪聲是相加的”這一假設(shè)是一個(gè)有用模型，但刺激愈接近閾值不正確；信號(hào)與噪聲未必統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。實(shí)際上刺激對(duì)作為噪聲的自發(fā)活動(dòng)往往也有一些作用。2/5/202373為了改進(jìn)后驗(yàn)“維納”濾波的效果。又做出了許多改進(jìn)方案，介紹如下：1.交替集均法此法除按前式求外,又按下式計(jì)算另一種平均值：

即：每當(dāng)序號(hào)i為偶數(shù)時(shí)，就將觀察值取負(fù)號(hào)，通過(guò)這樣的“相加”，S(n)將被平均掉，因此的功率譜將只反映噪聲：2/5/202374便可得"維納"濾波器。

這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)式計(jì)算量大為下降：只需要求兩次功率譜[一次對(duì)，一次對(duì)]，而采用前法卻需要求N+1次功率譜[對(duì)每個(gè)xi(n)求，還要對(duì)求]。但理論分析可以證明，所得譜估計(jì)方差較大是這種方法的缺點(diǎn)。2/5/202375

2.譜平滑：把前面得到的功率譜和加以平滑，然后再代維納濾波公式，可以改善濾波效果。設(shè)施加在和上的譜窗口分別是Ｗ1(ej)和Ｗ2(ej)，則平滑后的譜分別是:2/5/202376然后把它們代入維納濾波公式，得：窗口長(zhǎng)度要比較數(shù)據(jù)長(zhǎng)度短，其具體值要在方差和偏差之間取折中。時(shí)窗寬則譜窗窄，因此平滑作用小，偏差小，方差大。反之，時(shí)窗窄則譜窗寬，平滑作用顯著，因此偏差大，方差小。2/5/2023779.7.2互補(bǔ)維納濾波維納濾波器得基本假設(shè)是信號(hào)為隨機(jī)的，但是實(shí)際工作中信號(hào)常有些確定性結(jié)構(gòu)，并非純粹隨機(jī)，因此應(yīng)用效果未必好。因此對(duì)它簡(jiǎn)單應(yīng)用維納濾波效果未必好，因?yàn)檫@樣處理所得的充其量也只是真實(shí)S(t)在最小均方誤差意義下的逼近，不是真實(shí)S(t)。對(duì)這類S(t)是確定性信號(hào)的情況，采用互補(bǔ)維納濾波可能是更合理的方案。2/5/202378以做兩次觀察為例。如果設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，H1(z)和H2(z)是分別獨(dú)立設(shè)計(jì)的,如圖(a)然后再把處理結(jié)果相加，效果就未必好.H2(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)++x(n)2/5/202379如果設(shè)計(jì)時(shí)多引入一個(gè)限制條件，如：效果就會(huì)好些，如圖(b)。1-H1(z)H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)++x(n)x2(n)x1(n)2/5/202380因?yàn)榇藭r(shí):H1(z)s(n)+n2(n)s(n)+n1(n)++x(n)+n1(n)-n2(n)2/5/202381

可見(jiàn)處理結(jié)果中信號(hào)s(n)成分不變。H1(z)的任務(wù)是把n1-n2變成對(duì)n2的最優(yōu)抵消。由于n2和n1-n2都是隨機(jī)信號(hào),所以應(yīng)用維納濾波的效果就比較好。2/5/2023829.8

維納濾波器的應(yīng)用（ApplicationofWienerfilter）要設(shè)計(jì)維納濾波器必須知道觀測(cè)信號(hào)和估計(jì)信號(hào)之間的相關(guān)函數(shù)，即先驗(yàn)知識(shí)。如果我們不知道它們之間的相關(guān)函數(shù)，就必須先對(duì)它們的統(tǒng)計(jì)特性做估計(jì)，然后才能設(shè)計(jì)出維納濾波器，這樣設(shè)計(jì)出的濾波器被稱為“后驗(yàn)維納濾波器”。2/5/2023839.8.1.在生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中比較典型的應(yīng)用就是關(guān)于誘發(fā)腦電信號(hào)的提取。大腦誘發(fā)電位（EvokedPotential，EP）指在外界刺激下，從頭皮上記錄到的特異電位，它反映了外周感覺(jué)神經(jīng)、感覺(jué)通路及中樞神經(jīng)系統(tǒng)中相關(guān)結(jié)構(gòu)在特定刺激情況下的狀態(tài)反應(yīng)。在神經(jīng)學(xué)研究以及臨床診斷、手術(shù)監(jiān)護(hù)中有重要意義。2/5/202384EP信號(hào)十分微弱，一般都淹沒(méi)在自發(fā)腦電（EEG）之中，從EEG背景中提取誘發(fā)電位一直是個(gè)難題：EP的幅度比自發(fā)腦電低一個(gè)數(shù)量級(jí)，無(wú)法從一次觀察中直接得到；EP的頻譜與自發(fā)腦電頻譜完全重迭，使得頻率濾波失效；在統(tǒng)計(jì)上EP是非平穩(wěn)的、時(shí)變的腦誘發(fā)電位。通過(guò)多次刺激得到的腦電信號(hào)進(jìn)行疊加來(lái)提取EP，這是現(xiàn)今