第11章梁和結(jié)構(gòu)的位移

建筑力學(xué)ArchitecturalMechanics

主講：杜留記河南城建學(xué)院土木與材料工程系力學(xué)教研室

第11章梁和結(jié)構(gòu)的位移

主要內(nèi)容§11-1概述§11-2梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程§11-3疊加法§11-4單位荷載法§11-5圖乘法§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理§11-7結(jié)構(gòu)的剛度校核1.梁的撓曲線(xiàn)：梁軸線(xiàn)變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線(xiàn)。B1Fxqqωyx2.梁位移的度量：②撓度：梁橫截面形心的豎向位移ω，向下的撓度為正①轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正§11-1

概述③撓曲線(xiàn)方程：撓度作為軸線(xiàn)坐標(biāo)的函數(shù)—ω=f(x)④轉(zhuǎn)角方程(小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系—3.計(jì)算位移的目的：剛度校核、解超靜定梁、適當(dāng)施工措施§11-1

概述B1Fxqqωyx一、撓曲線(xiàn)近似微分方程1.力學(xué)關(guān)系：2.幾何關(guān)系：3.撓曲線(xiàn)近似微分方程：§11-2梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分yxyx二、積分法求梁的撓曲線(xiàn)1.式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。§11-2梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分2.支承條件與連續(xù)條件:1)支承條件：2)連續(xù)條件：撓曲線(xiàn)是光滑連續(xù)唯一的lFAB§11-2梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程及其積分qmaxfmax解：建立坐標(biāo)系如圖x處彎矩方程為：例一

圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線(xiàn)方程。

yxFxqmaxfmaxyxFx例一

圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線(xiàn)方程。

例二

求圖示梁受集中力F作用時(shí)的撓曲線(xiàn)方程。FabClABFAFB解：1、求支反力FabClABFAFB例二

求圖示梁受集中力F作用時(shí)的撓曲線(xiàn)方程。

幾個(gè)荷載共同作用下梁任意橫截面上的位移，等于每個(gè)荷載單獨(dú)作用時(shí)該截面的位移的疊加?！?1-3

疊加法例三如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。FqωBqωCqqBFωBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：例三如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EI為常數(shù)，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。a.荷載作用；b.溫度改變和材料脹縮；c.支座沉降和制造誤差。1）產(chǎn)生位移的主要原因：↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，產(chǎn)生剛體移動(dòng)βΔl位移是幾何量，截面的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)統(tǒng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的位移。結(jié)構(gòu)的位移可分為線(xiàn)位移和角位移。a.材料符合胡克定律，應(yīng)力和應(yīng)變成線(xiàn)性關(guān)系，

σ=Eε；b.小變形。即：線(xiàn)彈性體系。荷載與位移成正比，計(jì)算位移可用疊加原理。

2）結(jié)構(gòu)位移概念和分類(lèi)：3）位移計(jì)算時(shí)的假定：a.驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度；b.為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c.建筑起拱。求位移最好的方法是虛功法。其理論基礎(chǔ)是虛功原理。力由于自身所引起的位移而作功。作的功與其作用點(diǎn)移動(dòng)路線(xiàn)的形狀、路程的長(zhǎng)短有關(guān)。

當(dāng)靜力加載時(shí)，即：P由0增加至P

由0增加至實(shí)功的計(jì)算式為：F1若干外力作用下，梁發(fā)生變形的時(shí)外力的總功可寫(xiě)作

整個(gè)桿件的彎曲變形位能由微段變形位能的積分求得。

軸向拉壓變形的位能表達(dá)式。

當(dāng)軸力FN和拉壓剛度沿桿件長(zhǎng)度為常數(shù)時(shí)，變形的位能表達(dá)式。

組合變形桿件，按疊加原理，變形位能為各基本變形形式的變形位能的和。

KK變形位能在數(shù)值上等于外力在變形過(guò)程中所作的功。

FK第一階段：

第二階段：

彎矩方程：

F軸力桿件

軸力和EA為常數(shù)

單位力偶

Pl/2l/2EIABx1x2解：1）虛擬單位荷載m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj積分?？捎脠D形相乘來(lái)代替2）MP須分段寫(xiě)例：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。若EI是常數(shù)就可提到積分號(hào)的外面,上式就變?yōu)?

若

和

中有一個(gè)是直線(xiàn)圖,

如圖所示:代入上式有:

是常數(shù),可提到積分號(hào)的外面

M圖

BxxC

M

AByC

AdxC形心MP

dAMP圖

xy0

是

圖對(duì)Y軸的面積矩,可寫(xiě)成:

--是

圖的形心到Y(jié)軸的距離

有:

其中:

--是圖的面積

--是

圖形心位置所對(duì)應(yīng)的

圖中的豎標(biāo)

得：令:

并且略去下標(biāo)c

上述積分式計(jì)算位移的方法稱(chēng)為圖乘法。應(yīng)用圖乘法需注意以下幾方面：1.滿(mǎn)足前提三個(gè)條件；2.縱坐標(biāo)y必須取自直線(xiàn)的彎矩圖中；3.同側(cè)為正，反之為負(fù)。4.y所在圖形有若干直線(xiàn)段組成時(shí)，需分段求解；5.當(dāng)彎矩圖面積或形心不易確定時(shí)，可將圖形分解為若干簡(jiǎn)單的圖形，然后分別圖乘，最后求和。hlC2

l/4

3l/4

3l/8

5l/8

C1

ω1

ω2

頂點(diǎn)常見(jiàn)圖形形心及面積lhC2l/3

l/3

hl/2C頂點(diǎn)abl+b/3

l+a/3

hClhll/5

4l/5

C2

2l/5

3l/5

C1

ω1

ω2

頂點(diǎn)常見(jiàn)復(fù)雜圖形處理A2A1y2y1cdba若各段剛度不相同，則應(yīng)分段圖乘。

×=××+×=×+×復(fù)雜圖形的處理：

例：求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)的

豎向位移。

解：（1）求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（2）求C點(diǎn)的豎向位移

圖

圖

圖ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計(jì)算?！鰽y=（↓）∑EIyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL2)-2EI123L)PL求A點(diǎn)豎向位移§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理

本節(jié)介紹線(xiàn)性變形體系的三個(gè)互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它兩個(gè)定理均可由此推導(dǎo)出來(lái)。一、功的互等定理

設(shè)有兩組外力FP1和FP2分別作用于同一線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)上，如圖所示，(a)、(b)分別稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。(a)第一狀態(tài)(b)第二狀態(tài)FP11

2

Δ11Δ21FP21

2

Δ12Δ22

這兩組力按不同次序先后作用于同一結(jié)構(gòu)上時(shí)所作的總功分別為：(1)先加FP1后加FP2，外力的總功(2)先加FP2后加FP1，外力的總功(a)第一狀態(tài)(b)第二狀態(tài)1

2

Δ11Δ211

2

Δ12Δ22FP1FP2§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理功的互等定理:

即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功?！咄饬λ骺偣εc加載次序無(wú)關(guān)，即：W1=W2

∴由1、2可得：§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理二、位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1=FP2=1

由功的互等定理式（a）則有：即：(a)第一狀態(tài)(b)第二狀態(tài)FP1＝1

1

2

δ21FP2＝1

1

2

δ12§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理位移互等定理:

即第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移。在位移互等定理中：?jiǎn)挝涣Α獜V義力（單位力偶、單位集中力）；位移——廣義位移（線(xiàn)位移、角位移）。§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理(a)第一狀態(tài)1

2

r21Δ1＝1

(b)第二狀態(tài)1

2

r12Δ2＝1

左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座1發(fā)生單位位移Δ1＝1時(shí)，使支座2產(chǎn)生的反力r21；另一種即為支座2發(fā)生單位位移Δ2＝1時(shí)，使支座1產(chǎn)生的反力r12。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一個(gè)特例?！?1-6線(xiàn)彈性體的互等定理根據(jù)功的互等定理有：反力互等定理:

即支座1發(fā)生單位位移所引起支座2的反力，等于支座2發(fā)生單位位移所引起的支座1的反力。(a)第一狀態(tài)1

2

r21Δ1＝1

(b)第二狀態(tài)1

2

r12Δ2＝1§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理

注意：該定理對(duì)結(jié)構(gòu)上任何兩支座都適用，但應(yīng)注意反力與位移在作功的關(guān)系上應(yīng)相對(duì)應(yīng)，即力對(duì)應(yīng)線(xiàn)位移；力偶對(duì)應(yīng)角位移。由反力互等定理，則有：

r12=r21

(a)第一狀態(tài)(b)第二狀態(tài)

r211

2

φ1＝11

2

r12Δ2＝1即反力偶r12等于反力r21（數(shù)值上相等，量綱不同）§11-6線(xiàn)彈性體的互等定理一、梁的剛度校核

除滿(mǎn)足強(qiáng)度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其正常工作。

在土建工程中，通常對(duì)梁的撓度加以控制，例如：梁的剛度條件為：§11-6結(jié)構(gòu)的剛度校核通常情況下，強(qiáng)度條件滿(mǎn)足，剛度條件一般也滿(mǎn)足。

但是，當(dāng)位移限制很?chē)?yán)，或按強(qiáng)度條件所選截面過(guò)于單薄時(shí)，剛度條件也起控制作用?！?1-6結(jié)構(gòu)的剛度校核M例

一簡(jiǎn)支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力[σ]＝160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)。

解：1、作出梁的彎矩圖2、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求F=35kN2mAB2ml=4m3、梁的剛度條件為：由此得

由型鋼表中查得，NO.22a工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz＝3.09xl0-4m3，慣性矩Iz=3.40x10-5m4，可見(jiàn)．選擇NO.22a工字鋼作梁將同時(shí)滿(mǎn)足強(qiáng)度和剛度要求。MF=35kN2mAB2ml=4m例

一簡(jiǎn)支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力[σ]＝160MPa，許用撓度[δ]=l/500，彈