第07章 參數(shù)估計(jì)

第七章

參數(shù)估計(jì)授課教師：程曉謨主要內(nèi)容1置信區(qū)間與置信水平★2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)3SPSS輸出均值的置信區(qū)間第一節(jié)

參數(shù)估計(jì)的基本原理參數(shù)估計(jì)

(parameterestimation)參數(shù)估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)用樣本均值x

估計(jì)總體均值；用樣本方差s2估計(jì)s2估計(jì)量（estimator）用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱如樣本均值，樣本比例，樣本方差等用符號(hào)表示估計(jì)值（estimatedvalue)用樣本計(jì)算出來(lái)的估計(jì)量的數(shù)值如果樣本均值x=80，則80就是的估計(jì)值點(diǎn)估計(jì)

(pointestimate)用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)q的估計(jì)值；例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無(wú)法給出估計(jì)的可靠性度量

是總體分布的一個(gè)待估參數(shù)，根據(jù)隨機(jī)樣本X1，X2，…Xn，估計(jì)的統(tǒng)計(jì)量為：根據(jù)樣本觀察值x1，x2，…xn，得到的估計(jì)值：判斷點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)無(wú)偏性

(unbiasedness)無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無(wú)偏有偏有效性

(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)一致性

(consistency)一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)區(qū)間估計(jì)

(intervalestimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)的一個(gè)估計(jì)區(qū)間，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到;根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，能夠度量樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度的概率;置信區(qū)間

(confidenceinterval)設(shè)總體X的分布函數(shù)F（x；）含有一個(gè)未知參數(shù)，對(duì)于給定值，若由來(lái)自X的樣本X1，X2，…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：

對(duì)于任意滿足則稱是的置信水平為1-a的置信區(qū)間。

置信區(qū)間估計(jì)

ConfidenceIntervalEstimation置信下限LowerLimit置信上限

UpperLimit置信區(qū)間ConfidenceInterval樣本統(tǒng)計(jì)量SampleStatistic將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平(置信度)。表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)置信區(qū)間與置信水平用某種方法構(gòu)造的所有區(qū)間中，有95%的區(qū)間包含總體參數(shù)的真值，5%的區(qū)間不包含，該區(qū)間稱為置信水平為95%的置信區(qū)間。根據(jù)樣本得到的多個(gè)區(qū)間95%的區(qū)間包含

.5%不包含m.m置信區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間，會(huì)因樣本的不同而變化，而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù);實(shí)際估計(jì)時(shí)往往只抽取一個(gè)樣本，據(jù)此構(gòu)造的置信區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)。置信區(qū)間的表述

(confidenceinterval)一個(gè)特定的置信區(qū)間總是“包含”或“絕對(duì)不包含”參數(shù)的真值，不存在“以多大的概率包含總體參數(shù)”的問(wèn)題；置信水平表示在多次估計(jì)得到的區(qū)間中有多少個(gè)區(qū)間包含參數(shù)真值，而不是針對(duì)所抽取的這個(gè)樣本所構(gòu)建的區(qū)間而言的。置信區(qū)間的表述

(confidenceinterval)置信區(qū)間的表述

(95%的置信區(qū)間)從均值為185的總體中抽出20個(gè)樣本構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間我沒(méi)有抓住參數(shù)！點(diǎn)估計(jì)值第二節(jié)

一個(gè)總體參數(shù)的

區(qū)間估計(jì)已知總體方差求總體均值的

置信區(qū)間假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

已知不是正態(tài)分布，方差已知，大樣本

(n

30)總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ構(gòu)造置信區(qū)間1-aa/2a/2置信區(qū)間隨機(jī)變量確定數(shù)值常用置信水平的Za/2值置信水平aa/2Za/290%0.100.051.64595%0.050.0251.9699%0.010.0052.58區(qū)間估計(jì)的圖示x95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x2已知時(shí)總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.32已知時(shí)總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克~109.28克之間解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知總體非正態(tài)分布，方差未知，大樣本總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為未知總體方差求總體均值的

置信區(qū)間使用t

分布統(tǒng)計(jì)量a/2a/21-a2未知總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702未知總體均值的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體分布樣本量s已知s未知正態(tài)分布大樣本小樣本非正態(tài)分布大樣本總體均值區(qū)間估計(jì)與方差未知的置信區(qū)間不一樣總體分布樣本量s已知s未知正態(tài)分布大樣本小樣本非正態(tài)分布大樣本總體均值區(qū)間估計(jì)s未知時(shí)，用t統(tǒng)計(jì)量總體比例的區(qū)間估計(jì)假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似np(成功次數(shù))和n(1-p)(失敗次數(shù))均應(yīng)該大于5使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)

（例題分析）【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=