武漢理工大學(xué)信息工程學(xué)院電磁場與電磁波第2章

1.電場力、電場強(qiáng)度與電位4.電偶極子與磁偶極子重點：第2章電場、磁場與麥克斯韋方程5.麥克斯韋方程的導(dǎo)出及意義2.磁場力、磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁位7.電磁場的能量與坡印廷矢量3.洛倫茲力6.

電磁場中的三種電流以及電流連續(xù)性原理電磁學(xué)的基本定律電磁學(xué)三大實驗定律庫侖定律安培環(huán)路定律法拉第電磁感應(yīng)定律電荷電場求解的基本方法庫侖定律高斯定律電流磁場求解的基本方法畢奧-薩伐爾定律安培環(huán)路定律2.1電場力、電場強(qiáng)度與電位1.電場力庫侖定律適用條件

兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況(式中F/m)可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中2.電場強(qiáng)度庫侖定律還可以換一種方式來闡述：假定電荷q=1C，于是電場力即為q1對單位電荷的作用力,我們將這個特定大小的電場力稱為電場強(qiáng)度矢量由電場強(qiáng)度矢量可以得出兩個或多個彼此相對靜止的電荷之間的作用力，所以電場強(qiáng)度表示了電場力。結(jié)論如果電荷是沿一曲線連續(xù)分布的線電荷

線電荷密度定義為dq在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為整個線電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

如果電荷是沿一曲面連續(xù)分布的面電荷

面電荷密度定義為整個面電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

如果電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布體電荷密度定義為整個體電荷在空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

解:軸對稱場，圓柱坐標(biāo)系。

例1.1.1

真空中有一長為L的均勻帶電直導(dǎo)線，電荷線密度為,試求P

點的電場。帶電長直導(dǎo)線的電場xx無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場平行平面場。3.電位已知試驗電荷q在電場中的受力為在靜電場中欲使試驗電荷q處于平衡狀態(tài)，應(yīng)有一外力與電場力大小相等，方向相反，即于是，試驗電荷q在靜電場中由A點移動到B點時外力需做的功為我們將靜電場內(nèi)單位正電荷從A點移動到B點時外力所做的功稱為點B和點A之間的電位差在自由空間，如果點電荷位于原點，原點到場點A的距離為RA原點到場點B的距離為RB，則B點和A點之間的電位差為積分表明，空間兩點B和A之間的電位差只與場點所在位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)。因此，在靜電場中可將下列左式改寫成一個具有普遍意義的式子（右式）

得到空間一段線元上兩端點間的電位差為若單位正電荷是從無窮遠(yuǎn)處出發(fā)移到B點的，則電位差為或?qū)懗煽傻秒娢慌c電場強(qiáng)度的關(guān)系為

此式提供了求解靜電場中電場強(qiáng)度的一種方法，即把求解電場強(qiáng)度的問題變成先求解電位而后再通過微分關(guān)系求電場強(qiáng)度。一般情況下，用這種方法比直接求解電場強(qiáng)度要簡便。由式（1.95）可知2.2磁場力、磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁位1.磁場力

當(dāng)電荷之間存在相對運動，比如兩根載流導(dǎo)線，會發(fā)現(xiàn)另外一種力，它存在于這兩線之間，是運動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力。

假定一個電荷q以速度在磁場中運動，則它所受到磁場力為這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度來描述。

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度

磁場的特征是能對運動電荷施力，其施力的情況雖然比較復(fù)雜，但我們可以用一個磁感應(yīng)強(qiáng)度來描述它,即將其定義為一個單位電流受到另外一個電流的作用力。已知磁場力考慮磁場中載流線元的受力情況，由于

所以如圖：電流元和之間的作用力為比較可得畢奧-薩伐爾定律

運用疊加原理，可得閉合回路1在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度上式是計算線電流周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式。磁感應(yīng)強(qiáng)度的單位為牛頓/（安培米），在國際單位制中的單位為特斯拉。如果電流是分布在某一曲面上時，若面電流密度為，則面電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

如果電流是分布在某一體積內(nèi)時，若體電流密度為，則體電流在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

當(dāng)時，例

試求有限長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:

采用圓柱坐標(biāo)系，取電流Idz，式中3.矢量磁位穿過某一曲面S的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量稱之為穿過該曲面的磁通量由畢奧-沙伐爾定律根據(jù)梯度規(guī)則上式中的被積函數(shù)變成根據(jù)高斯定律即利用矢量恒等式可得因為根據(jù)稱為矢量磁位單位是韋伯/米根據(jù)庫倫規(guī)范，有約束可得矢量磁位采用面電流密度表示采用體電流密度表示這表明整個積分為零，即4.標(biāo)量磁位但在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)檫@樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù)注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。即令對于恒定磁場，安培環(huán)路定律表明磁場是一個有旋場，在有電流處磁場的旋度不為零。

當(dāng)一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。我們也可以用這個表達(dá)式作為電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的定義式。即2.3洛倫磁力重要特性：電荷在電場中會受到力(稱電場力)的作用。E取決于源(帶電體)的電量、形狀及分布情況,它可以是時變的點電荷產(chǎn)生的場及所受的力是計算其它復(fù)雜情況的基礎(chǔ)電場實驗證明：電場力大小與電荷所在位置的電場強(qiáng)度大小成正比，即：重要特性：在磁場中運動的電荷(電流)會受到力(稱磁場力)的作用。磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B:描述空間磁場的分布(大小和方向)。B的方向由磁場力和速度的方向確定。B取決于源(帶電體)的電量、形狀及運動分布情況磁場2.4電偶極子兩個相距很近（距離為d）的等量異號點電荷+q與-q所組成的帶電系統(tǒng)。式中和分別是兩電荷到P點的距離。電偶極子的定義電偶極子在任意一點P的電位為如果兩電荷沿z軸對稱分布并且距離P點很遠(yuǎn)，于是近似的表示并且所以，P點電位變成當(dāng)時，電偶極子平分面上的任意點處電位都為零。于是，在這個平面上如果將電荷從一點移動到另一點是沒有能量損耗的。為了便于描述電偶極子，我們定義一個電偶極矩矢量，該矢量的大小為而其方向則由負(fù)電荷指向正電荷，即我們可以得到電偶極子在空間任意一點的電位為2.5磁偶極子

在定義磁偶極子之前，首先來分析一個閉合電流回路在空間所產(chǎn)生的磁場。正如電偶極子是常見的電場源的存在形式一樣，閉合電流回路是磁場源的最常見形式。如圖所示，在電流回路所產(chǎn)生的磁場中，任取一閉合回路

,設(shè)P是回路上的一點，則電流回路在P點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為計算在回路上的閉合線積分有角的積分為所張立體因此，由上式可得根據(jù)勢函數(shù)與有勢場的對應(yīng)關(guān)系，可得到空間一點P處的標(biāo)量磁位與磁場強(qiáng)度的關(guān)系為P0是標(biāo)量磁位的參考點當(dāng)場源電流分布在有限區(qū)域內(nèi)時，一般將參考點選在無窮遠(yuǎn)處，此時P點的標(biāo)量磁位為可得空間任意點P的標(biāo)量磁位為其中的是點P對電流回路所張的立體角因為一般情況下，求任意點P對回路面積的立體角并不很容易，但是當(dāng)P點與回路的距離比起電流回路的尺寸大得多的時候立體角可以近似地表示為可得到電流回路在遠(yuǎn)區(qū)P點處產(chǎn)生的標(biāo)量磁位其中是與的夾角。為了便于描述磁偶極子，我們定義一個磁偶極矩矢量經(jīng)過整理可見，磁偶極子是根據(jù)電磁對偶性派生出來的一種概念。磁偶極子與電偶極子不同，它不能在物理上實現(xiàn)，在工程上它是一個載有交變電流的小圓環(huán)的等效模型。大小方向由確定即磁偶極子與電偶極子對比模型極距

電場與磁場電偶極子磁偶極子2.6由電通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第一方程凡是矢量場，均有通量可言。電力線的數(shù)目就稱為電通量。規(guī)定一個電荷q所產(chǎn)生的力線條數(shù)（即電通量）等于用庫侖表示的電荷的大小。用符號表示球面上的電通量密度，即于是，通過整個球面的電通量為電通量密度與電場強(qiáng)度的關(guān)系為根據(jù)高斯定律可得麥克斯韋第一方程：或若閉合曲面所包圍的電荷多于一個以上，則電通量關(guān)系應(yīng)改寫為并且電場強(qiáng)度穿出球面的電場強(qiáng)度通量為2.7由法拉第電磁感應(yīng)定律與斯托克斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第二方程法拉第電磁感應(yīng)定律可得麥克斯韋第二方程：感應(yīng)電動勢閉合路徑所包圍的磁通根據(jù)斯托克斯定律2.8由磁通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第三方程磁通連續(xù)性原理可得麥克斯韋第三方程：穿過開表面積S的磁通根據(jù)高斯定律

作閉合曲線

c

與導(dǎo)線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律●恒定磁場中的安培環(huán)路定律應(yīng)用于時變場時的矛盾●麥克斯韋提出位移電流假說：在電容器兩極板之間存在另一種電流，其值與傳導(dǎo)電流i相等,即位移電流。經(jīng)過S1面經(jīng)過S2面2.9由安培環(huán)路定律與斯托克斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第四方程1.傳導(dǎo)電流、運流電流和位移電流自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則運動而形成傳導(dǎo)電流η為電阻率此式說明傳導(dǎo)電流密度服從于歐姆定律(ohm’slaw)，并且傳導(dǎo)電流為

形成運流電流的電荷在運動時并不受到碰撞阻滯作用，即使存在與其它粒子發(fā)生碰撞的機(jī)率，其作用也微乎其微，可忽略不計，因此運流電流不服從于歐姆定律。電荷在無阻力空間作有規(guī)則運動而形成運流電流假設(shè)存在一個電荷體密度為的區(qū)域，在電場作用下，電荷以平均速度v運動，在dt時間內(nèi)，電荷運動的距離為dl則如果存在一個面積元dS，當(dāng)運動電荷垂直穿過面積元時，dt時間內(nèi)穿過的總電量為式中運流電流密度為通常，傳導(dǎo)電流與運流電流并不同時存在。則穿過的電流為所以，運流電流為44則穿過閉合面S的位移電流為：電介質(zhì)內(nèi)部的分子束縛電荷作微觀位移而形成位移電流作一個閉合面S，假定其中所包圍的電量為q，根據(jù)高斯定律可知式中位移電流密度

傳導(dǎo)電流與位移電流位移電流和傳導(dǎo)電流的區(qū)別位移電流與傳導(dǎo)電流兩者相比，唯一共同點僅在于都可以在空間激發(fā)磁場，但二者本質(zhì)是不同的：位移電流的本質(zhì)是變化著的電場，而傳導(dǎo)電流則是自由電荷的定向運動；傳導(dǎo)電流在通過導(dǎo)體時會產(chǎn)生焦耳熱，而位移電流則不會產(chǎn)生焦耳熱；位移電流也即變化著的電場可以存在于真空、導(dǎo)體、電介質(zhì)中，而傳導(dǎo)電流只能存在于導(dǎo)體中位移電流的磁效應(yīng)服從安培環(huán)路定理。2.電流連續(xù)性原理麥克斯韋假設(shè)，S面內(nèi)自由電量q的增長應(yīng)與穿出的位移電流相一致，并且若指定穿出S面的電流為正，則

在時變電磁場空間，圍繞著通電導(dǎo)體作一閉合面S，則穿入的傳導(dǎo)電流和運流電流應(yīng)等于S面內(nèi)自由電量q的增加率，即于是可得即

此式稱為電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理表明：在時變場中，在傳導(dǎo)電流中斷處必有運流電流或位移電流接續(xù)。其中

通常，又將電流連續(xù)性原理稱為全電流定律，該定理揭示了不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波或

稱為全電流密度

傳導(dǎo)電流與位移電流散度定理所以電流連續(xù)性方程微分形式對于恒定電流則有由式2.85得：3.電流連續(xù)性方程解：忽略邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場位移電流密度位移電流電場

例已知平板電容器的面積S

,相距d

,介質(zhì)的介電常數(shù)，極板間電壓u(t)。試求位移電流id；傳導(dǎo)電流ic與id的關(guān)系是什么?

傳導(dǎo)電流與位移電流定義自由空間用磁場強(qiáng)度表示的磁通密度為

則安培環(huán)路定律可寫成

在時變場中，應(yīng)將安培環(huán)路定律中的電流拓廣為全電流，即

其中4.麥克斯韋第四方程

麥克斯韋第四方程由斯托克斯定律得

即

或2.10微分形式的麥克斯韋方程組

將上面推導(dǎo)出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微分形式的麥克斯韋方程組?；?qū)㈦妶雠c其場源——電荷密度聯(lián)系了起來，實際上，它是庫侖定律的另一種形式。

第一方程表明了隨時間變化的磁場會產(chǎn)生電場——這是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式。

第二方程表明了在形成磁場的源中，不存在“點磁荷——磁力線始終閉合。

第三方程表明了產(chǎn)生磁場的源是電流或變化的電場——安培定律的另一種表現(xiàn)形式。

第四方程例2.2利用高斯定律，有Maxwell第一方程導(dǎo)出描述連個點電荷之間的受力關(guān)系的庫侖定律。解，將

電荷放在原點，則此在周圍空間產(chǎn)生的電場強(qiáng)度滿足：由高斯散度定理得：在電荷附近的電荷q所受的作用力：2.11麥克斯韋方程的積分形式

根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為積分形式的麥克斯韋方程。轉(zhuǎn)化為其中引出了三個媒質(zhì)特性方程以上即為麥克斯韋所總結(jié)的微分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）與積分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）的電磁場方程組，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為“完整”方程組，是因為方程組全面地描述了作為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面——電場與磁場的相互關(guān)系，以及電場、磁場本身所具有的規(guī)律，和電場、磁場與其所處空間的媒質(zhì)的關(guān)系。具體地說，第一方程表明，電場是有散度場，即電場可以由點源電荷所激發(fā)；第三方程表明，磁場為無散度場，即磁場不可能由單極磁荷所激發(fā)；而第二和第四方程則描述了電場與磁場相互依存、相互制約并且相互轉(zhuǎn)化。例：試證明：由麥克斯韋方程組中的兩個旋度方程及電流連續(xù)性方程，可導(dǎo)出麥克斯韋方程組中的兩個散度方程。證明：對第四方程兩邊取散度得：將電流連續(xù)性方程代入上式得同理：2.12麥克斯韋方程的時諧形式

時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（time–harmonicfield）,簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照單一頻率隨時間作正弦變化時所激發(fā)的也隨時間按照正弦變化的場。在線性系統(tǒng)中，一個正弦變化的源在系統(tǒng)中所有的點都將產(chǎn)生隨時間按照同樣規(guī)律（正弦）變化的場。對于時諧場，我們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

在直角坐標(biāo)系中，電場強(qiáng)度矢量可用沿三個互為垂直的坐標(biāo)軸的分量來表示，即其中的三個分量可表示為用復(fù)數(shù)的實部表示為即復(fù)數(shù)形式瞬時矢量

例將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以（2）因為故所以

例已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時矢量以電場旋度方程為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得上式對任意t

均成立。令t＝0，得復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt＝π/2，得即從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程略去“.”和下標(biāo)m運用上述規(guī)則，可將麥克斯韋方程改寫為時諧形式微分形式的時諧表示積分形式的時諧表示

例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中

解：（1）因為故電場的復(fù)矢量為試求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時值。（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量磁場強(qiáng)度瞬時值2.13電磁場的能量與坡印廷矢量

電磁能量符合自然界物質(zhì)運動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律——坡印亭定理，坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。

由麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出電磁場能量的守恒方程，該方程中包含了這樣一項，它可以用電磁場