材料力學-7應力分析、強度理論

第七章

應力和應變分析強度理論前言橫截面應力分析非橫截面破壞低碳鋼拉伸鑄鐵壓縮鑄鐵扭轉斜截面應力研究一、一點的應力狀態(tài)

1.一點的應力狀態(tài)：通過受力構件一點處所有斜截面上的應力情況。

2.研究應力狀態(tài)的目的：找出該點的最大正應力和剪應力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構件破壞原因并進行失效分析。第一節(jié)應力狀態(tài)的概念二、研究應力狀態(tài)的方法—單元體法

1.單元體：圍繞構件內一所截取的微小正六面體。應力與應變分析（1）應力分量的角標規(guī)定：第一角標表示應力作用面的法線方向，第二角標表示應力平行的軸。兩角標相同時，只用一個角標表示2.單元體上的應力分量應力與應變分析9個應力分量(二階張量)（2）切應力互等定理：9->63.截取原始單元體的方法、原則①用三個坐標軸(笛卡爾坐標和極坐標，依問題和構件形狀而定)在一點截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體②單元體各個面上的應力已知或可求；③幾種受力情況下截取單元體方法：應力與應變分析PMeMePPMeMec)同b)，但從上表面截取Ctssb)橫截面，周向面，直徑面各一對Ba)一對橫截面，兩對縱截面As=P/Ast=Me/WnABCBCAPCABtBtCsCsCsAsA三、應力狀態(tài)主要概念及分類1.①主平面：單元體上剪應力為零的面；

②主單元體：各面均為主平面的單元體，單元體上有三對主平面；

③主應力：主平面上的正應力，用s1、s2、s3表示，有s1≥s2≥s3。應力與應變分析旋轉y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy2.應力狀態(tài)按主應力分類：

①只有一個主應力不為零稱單向應力狀態(tài)；②只有一個主應力為零稱兩向應力狀態(tài)(平面應力狀態(tài))；③三個主應力均不為零稱三向應力狀態(tài)(空間應力狀態(tài))；

④單向應力狀態(tài)又稱簡單應力狀態(tài)，平面和空間應力狀態(tài)又稱復雜應力狀態(tài)。應力與應變分析思考：復雜應力狀態(tài)下的強度校核？一、平面應力分析的解析法

1.平面應力狀態(tài)圖示：第二節(jié)平面應力狀態(tài)下的應力研究、應力圓

sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx應力與應變分析2.任意a角斜截面上的應力sxtxysysysxtyxABxyantasαtαsxtxytyxsyxdAsxsytxytyx

得

應力與應變分析C符號規(guī)定（代入公式前確認）：a角—以x軸正向為起線，逆時針旋轉為正，反之為負s—拉為正，壓為負t—使微元產(chǎn)生順時針轉動趨勢者為正，反之為負3.主應力及其方位（兩種方法）

①由主平面定義，令tα

=0，得：

可求出兩個相差90o的a0值，對應兩個互相垂直主平面。②令得：即主平面上的正應力取得所有方向上的極值。應力與應變分析③主應力大?。孩苡蓅'、s"、0按代數(shù)值大小排序得出：s1≥s2≥s3

⑤判斷s'、s"作用方位(與兩個a0如何對應)

txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s'(較大主應力)在第幾象限，即先判斷s'大致方位，再判斷其與算得的a0相對應，還是與a0+90o相對應。

⑥txys's"a0*txys"s'a0*應力與應變分析4.極值切應力：

①令：，可求出兩個相差90o

的

a1，代表兩個相互垂直的極值切應力方位。②極值切應力：③(極值切應力平面與主平面成45o)應力與應變分析403020單位：MPaasata40203014.9os"s's"s'

例一圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應力；②主應力并畫出主單元體；③極值切應力。確定各個量正負-確定斜角tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圓軸扭轉時的應力狀態(tài)4)圓軸扭轉時，橫截面為純剪切應力狀態(tài)，最大拉、壓應力在與軸線成±45o斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的剪應力；5)對于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉破壞時，通常是橫截面上的最大剪應力使圓軸沿橫截面剪斷；6)對于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉破壞時，通常沿與軸線成45o的螺旋面發(fā)生拉斷。例7-2分析圓軸扭轉時的應力狀態(tài)。二、平面應力分析的圖解法—應力圓

1.理論依據(jù)：①②以s、t為坐標軸，則任意a斜截面上的應力sx‘、tx’y‘為：以)為半徑的圓。2.應力圓的繪制（利用已知點）：

①定坐標及比例尺；②取x面，定出D()點；取y面，定出D‘()點；③連DD'交s軸于C點，以C為圓心，DD1為直徑作圓；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"

D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata3.應力圓的應用

①點面對應關系：應力圓上一點坐標代表單元體某個面上的應力；

②角度對應關系：應力圓上半徑轉過2a，單元體上坐標軸轉過a;

③旋向對應關系：應力圓上半徑的旋向與單元體坐標軸旋向相同；

④求外法線與x軸夾角為a斜截面上的應力，只要以D為起點，按a轉動方向同向轉過2a到E點，E點坐標即為所求應力值。

⑤用應力圓確定主平面、主應力：由主平面上剪應力t=0，確定D轉過的角度；D轉至s軸正向A1點代表s‘所在主平面，其轉過角度為2，轉至s軸負向B1點代表s"所在主平面；

⑥確定極值剪應力及其作用面：應力圓上縱軸坐標最大的G1點為t’，縱軸坐標最小的G2點為t”，作用面確定方法同主應力。思考兩種簡單應力狀態(tài)的應力圓單向拉伸純剪切求：1)a=30o斜截面上的應力；

2)主應力及其方位；

3)極值剪應力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020單位：MPaxasata40.3-40.3

例7-3

用應力圓法重解例7-1題。

1.三向應力狀態(tài)應力圓：

①平行s3斜截面上應力由s1、s2作出應力圓上的點確定；

②平行s2斜截面上應力由s1、s3作出應力圓上的點確定；

③平行s1斜截面上應力由s2、s3作出應力圓上的點確定；

④由彈性力學知，任意斜截面上的應力點落在陰影區(qū)內。一、三向應力狀態(tài)下的應力圓2.三向應力狀態(tài)下的最大剪應力

tmax所在平面與s1和s3兩個主平面夾角為45o。第三節(jié)三向應力狀態(tài)下的最大應力s3s2s1s2s3s1s2s1s3s3C1C3s1s2Otst12t23t13C2三個應力圓周上的點對應分別與主方向1，2，3平行的斜截面上的應力例7-4試確定左圖所示應力狀態(tài)的主應力和最大剪應力，并確定主平面和最大剪應力作用面位置。x300150y140z90解：①給定應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應力狀態(tài)，可直接求主應力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：③根據(jù)s1、s2、s3的排列順序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa④主應力方位：最大剪應力所在平面法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。⑤單元體內的最大剪應力：xzyxzy90300150140Asy=140txy=150sx=300A視s2y'31o31os1x's3一、廣義虎克定律1.有關概念：

①主應變：沿主應力方向的應變，分別用e1≥e2≥e3表示；

②正應力只引起線應變，剪應力只引起剪應變；2.廣義虎克定律：①推導方法：疊加原理②主應變與主應力關系：③一般情況：第四節(jié)廣義虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2s1方向上的應變：s2方向上的應變：s3方向上的應變：IIIs3④用應變表示應力：上式中：

二、例題

例7-5在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到P=300kN的軸向壓力。假設鋼塊不變形，試求圓柱的主應力。取E=200GPa，n=0.30。P應用：實驗法測應力pPP/Apppp④柱內各點的三個主應力為：求得：③由廣義虎克定律：②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內任一點均為二向均壓應力狀態(tài)，柱內任一點的徑向與周向應力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應變e2的值為：解：①在柱體橫截面上的壓應力為：（拉壓）（彎曲）（正應力強度條件）（彎曲）（扭轉）（切應力強度條件）一、

桿件基本變形下的強度條件第五節(jié)強度理論滿足是否強度就沒有問題了？對于復雜應力狀態(tài)，幾個主應力不等于0主應力之間有無窮種比例關系，無法根據(jù)實驗結果來直接建立強度條件只有提出某種假說，然后用實驗驗證強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。為了建立復雜應力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關于材料破壞原因的假設及計算方法。二、強度理論構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關于屈服的強度理論：最大切應力理論和形狀改變比能理論

(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面上，例如低碳鋼的拉、扭，鑄鐵的壓。關于斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論1.最大拉應力理論（第一強度理論）材料發(fā)生斷裂的主要因素是最大拉應力達到極限值－構件危險點的最大拉應力－極限拉應力，由單拉實驗測得斷裂條件強度條件最大拉應力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉局限：p2422.最大伸長拉應變理論（第二強度理論）無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生脆性斷裂,都是由于微元內的最大拉應變（線變形）達到簡單拉伸時的破壞伸長應變數(shù)值。－構件危險點的最大伸長線應變－極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。局限：P242強度條件

最大伸長拉應變理論（第二強度理論）斷裂條件即無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元內的最大切應力達到了某一極限值。3.最大切應力理論（第三強度理論）－構件危險點的最大切應力－極限切應力，由單向拉伸實驗測得屈服條件強度條件最大切應力理論（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。局限性：

2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象，1、未考慮的影響，試驗證實最大影響達15%。最大切應力理論（第三強度理論）無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的最大形狀改變比能達到一個極限值。4.形狀改變比能理論（第四強度理論）－構件危險點的形狀改變比能－形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得屈服條件強度條件

形狀改變比能理論（第四強度理論）實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符合試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。強度理論的統(tǒng)一表達式：相當應力四個強度理論，都用應力的形式表達出來，成為相當應力。1，2用于斷裂破壞，3，4用于屈服破壞。強度理論的應用進行內力分析，找出危險截面確定危險點，分析危險點應力狀態(tài)，計算單元體各界面上的應力，主應力第1理論只考慮最大主應力，第2理論考慮了最大和最小主應力但沒考