有限沖激響數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

第五章

有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)趙發(fā)勇zfy_72@163.com

序言

§5.1線性相位FIR濾波器的特性

§5.2窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法）

§5.3頻率采樣法

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

§5.5IIR與FIR數(shù)字濾器的比較

引言IIR數(shù)字濾波器和優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)

可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)

相位的非線性，將引起頻率的色散，若須線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正,使濾波器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，成本也高。

引言輸入輸出的卷積關(guān)系為FIR數(shù)字濾波器的差分方程為對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為比較可得：系數(shù)ai即為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，無(wú)極點(diǎn)(或極點(diǎn)在原點(diǎn))引言優(yōu)點(diǎn)（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號(hào)產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在寬頻帶信號(hào)處理、陣列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；（2）可得到多帶幅頻特性；（3）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題；（4）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過(guò)一定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足；（5）無(wú)反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。

穩(wěn)定性及可實(shí)現(xiàn)和線性相位特性是FIR濾波器突出的優(yōu)點(diǎn)。語(yǔ)音處理，圖象處理以及數(shù)據(jù)傳輸中具有重要的應(yīng)用。引言缺點(diǎn)（1）因?yàn)闊o(wú)極點(diǎn)，要獲得好的過(guò)渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價(jià)；（2）無(wú)法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無(wú)解析設(shè)計(jì)公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)包括幅頻特性和相頻特性。幅頻特性反映了信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后各頻率成分衰減情況。相頻特性反映了信號(hào)的各頻率成分經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后在時(shí)間上發(fā)生的位移情況。很多場(chǎng)合下，一個(gè)理想的離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）除了具有希望的幅頻特性外（如低通、高通、帶通等），最好具有線性相位,即產(chǎn)生什么效果？若：其中k為常數(shù)也稱線性相位5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)分析：現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)的幅頻特性為1，考慮信號(hào)經(jīng)過(guò)線性相位系統(tǒng)后的輸出。設(shè)系統(tǒng)的輸入序列為x(n)，則輸出序列為y(n)的頻率特性為由DTFT的性質(zhì)可知輸出序列此式說(shuō)明，輸出序列y(n)為輸入序列為x(n)在時(shí)間上位移。結(jié)論當(dāng)系統(tǒng)具有線性相位時(shí)，信號(hào)無(wú)失真（指無(wú)相位失真、有一定的延遲）。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)定義系統(tǒng)的群延遲由上面的分析可知，線性相位的群延遲為一常數(shù)?？梢詫⑷貉舆t作為相頻特性是否線性的度量，同時(shí)，它也表示了系統(tǒng)輸出的延遲。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)當(dāng)FIR系統(tǒng)h(n)滿足該系統(tǒng)具有線性相位。其中+表示偶對(duì)稱，-表示奇對(duì)稱(如圖示)

。同時(shí)由于N可取奇或偶，共有四種情況，下面分析這四種情況下的線性相位特性和幅度特性。第一類(lèi)FIR系統(tǒng)第二類(lèi)FIR系統(tǒng)第三類(lèi)FIR系統(tǒng)第四類(lèi)FIR系統(tǒng)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)h(n)=h(N-1-n)為偶對(duì)稱h(n)=-h(N-n-1)為奇對(duì)稱N為偶N為奇N為偶N為奇5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)1、且N為奇數(shù)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)令則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅度函數(shù)由定義可知，此時(shí)的FIR系統(tǒng)具有線性相位。令，則令則由于偶對(duì)稱，因此對(duì)這些頻率也呈偶對(duì)稱。p2p05.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)２、h(n)=h(N-1-n),且N為偶數(shù)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)令則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)的幅頻特性為由定義可知，此時(shí)的FIR系統(tǒng)具有線性相位。令，則

或?qū)憺椋?/p>

由于奇對(duì)稱，所以對(duì)也為奇對(duì)稱，且由于時(shí)，處必有一零點(diǎn)，因此這種情況不能用于設(shè)計(jì)時(shí)的濾波器，如高通、帶阻濾波器。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)同理可求出N奇、偶時(shí)系統(tǒng)的相頻特性分別為

通過(guò)以上分析可知，當(dāng)FIRDF的抽樣響應(yīng)滿足對(duì)稱時(shí)，該濾波器具有線性相位，其中，當(dāng)h(n)為奇對(duì)稱時(shí)，通過(guò)濾波器的所有頻率分量將產(chǎn)生90o的相移。下面討論具有線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布及幅頻響應(yīng)問(wèn)題5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)一、零點(diǎn)分析利用h(n)的對(duì)稱性可知其中+表示偶對(duì)稱，-表示奇對(duì)稱。由上式容易可以看出H(Z-1)的零點(diǎn)也是H(Z)的零點(diǎn)。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)①、情況一：分析：在這種情況下H（Z-1）的零點(diǎn)也是H（Z）的零點(diǎn),即Zk為零點(diǎn)

，Zk-1也是零點(diǎn),(兩者稱為單位圓鏡像對(duì)稱);同時(shí),零點(diǎn)為復(fù)數(shù)，應(yīng)當(dāng)成對(duì)出現(xiàn)，即此時(shí)有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì)零點(diǎn)，如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)②、情況二：分析：此時(shí)零點(diǎn)不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn),如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)③、情況三：分析：此時(shí)零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)，如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)④、情況四：分析：此時(shí)零點(diǎn)既在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以以單出現(xiàn)，且只有兩種可能，zk=1或zk=-1。如下圖所示：5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)通過(guò)以上分析可知，一個(gè)具有線性相位的FIRDF，其轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為上述四情況的級(jí)聯(lián)，即上述子傳輸函數(shù)分別對(duì)應(yīng)四種情況下的一階、二階和四階子系統(tǒng)。由于其均具有對(duì)稱的系數(shù)，它們均為線性相位子系統(tǒng)。為實(shí)現(xiàn)H（Z）提供了方便，H（Z）各種情況下的零點(diǎn)位置示意圖如下如所示。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)二、線性相位FIRDF幅頻響應(yīng)特點(diǎn)在一個(gè)FIR系統(tǒng)中，滿足圖5.3.1所示的對(duì)稱性，稱此進(jìn)的H（Z）為鏡像對(duì)稱多項(xiàng)式（MIP），下面分析這引MIP在z=1或z=-1處幅頻響應(yīng)的特點(diǎn)。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)第一類(lèi)FIRDF(偶對(duì)稱,N為奇)的特點(diǎn)：●恒相時(shí)延，相位曲線是過(guò)原點(diǎn)的直線?！馠(1)=H(1),H(-1)=H(-1),即Z=-1和1(或零點(diǎn)和л點(diǎn))都能保證5.3.1式成立,л點(diǎn)相當(dāng)模擬頻率?

s／2，或者說(shuō)模擬頻率的最高頻(高頻端),因此,此類(lèi)FIRDF可靈活設(shè)置低通\高通和帶通濾波器.5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)第二類(lèi)FIRDF(偶對(duì)稱,N為偶)的特點(diǎn)：●恒相時(shí)延，相位曲線是過(guò)原點(diǎn)的直線?！馠(1)=H(1),

H(-1)=-H(-1),即л點(diǎn)一定是幅度函數(shù)的零點(diǎn),以保證對(duì)稱性成立。л點(diǎn)是零點(diǎn)說(shuō)明高端不通，所以這類(lèi)FIR系統(tǒng)只能做低通和帶通,不能設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器.5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)第三類(lèi)FIRDF(奇對(duì)稱,N為奇)

的特點(diǎn)：●恒群時(shí)延，有л/2附加相移，相位曲線是截距為л/2、斜率為-(N-1)/2的直線?！駥?duì)零頻和л頻均為奇對(duì)稱,即H(1)=-H(1)，H(-1)=-H(-1)，所以零頻和л頻都必須是H(ω)的零點(diǎn)，以保證對(duì)稱性。所以這類(lèi)FIR系統(tǒng)只能做帶通。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)第四類(lèi)FIRDF(奇對(duì)稱,N為偶)的特點(diǎn)：●恒群時(shí)延，有л/2附加相移。相位曲線與第三類(lèi)相同。●幅度曲線對(duì)原點(diǎn)奇對(duì)稱，H(1)=-H(1)零頻是的零點(diǎn)。幅度曲線對(duì)H(-1)=H(-1),即л點(diǎn)偶對(duì)稱。所以這類(lèi)FIR系統(tǒng)只能做高通和帶通濾波器。5.1線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)小結(jié)：線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類(lèi)型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。FIR濾波器設(shè)計(jì)的基本思想：

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為，那么FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，頻率響應(yīng)去逼近

§5.2窗口設(shè)計(jì)法逼近方法有三種:①窗數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近）②頻率采樣法(頻域逼近）③最優(yōu)化設(shè)計(jì)（最佳一致逼近、等波紋逼近）一、思路與方法：

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為

，時(shí)間窗設(shè)計(jì)法是從單位沖響應(yīng)序列著手，使設(shè)計(jì)的濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)，hd(n)可以從理想頻響通過(guò)傅里葉反變換獲得§5.2窗口設(shè)計(jì)法如理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)為:一般來(lái)說(shuō)，理想頻響是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往是無(wú)限長(zhǎng)序列、非因果的序列。但FIR的h(n)是有限長(zhǎng)的，問(wèn)題是怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去近似無(wú)限長(zhǎng)的hd(n)。方法是：§5.2窗口設(shè)計(jì)法特點(diǎn)：

無(wú)限長(zhǎng)非因果偶對(duì)稱解決方法：截短移位保留

這種截取可想象為h(n)是通過(guò)一個(gè)“窗口”所看到的一段hd(n)，因此這種方法稱為窗函數(shù)法。h(n)也可表達(dá)為hd(n)和一個(gè)“窗函數(shù)”的乘積，即h(n)=w(n)hd(n)。最簡(jiǎn)單的窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN(n），后面我們還可看到,為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)hd(n)作一定的加權(quán)處理。

§5.2窗口設(shè)計(jì)法即：隱含著使用了窗函數(shù)1）由定義3）卷積插值§5.2窗口設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)步驟矩形窗口法則

以一個(gè)邊界頻率為ωc的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設(shè)計(jì)問(wèn)題。a.對(duì)于給定的理想低通濾波器，計(jì)算§5.2窗口設(shè)計(jì)法

這是一個(gè)以為中心的偶對(duì)稱的無(wú)限長(zhǎng)非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時(shí)應(yīng)為h(n)長(zhǎng)度N的一半,即理想特性的hd(n)和Hd(ω)如圖所示?！?.2窗口設(shè)計(jì)法§5.2窗口設(shè)計(jì)法其中b.計(jì)算

c.計(jì)算。設(shè)為窗口函數(shù)的頻譜:

用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來(lái)表示，則有

其線性相位部分則是表示延時(shí)一半長(zhǎng)度

§5.2窗口設(shè)計(jì)法對(duì)頻響起作用的是它的幅度函數(shù)§5.2窗口設(shè)計(jì)法

理想頻響也可以寫(xiě)成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式其中幅度函數(shù)為

兩個(gè)信號(hào)時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積，所以有§5.2窗口設(shè)計(jì)法如果也以幅度函數(shù)和相位函數(shù)來(lái)表示H（ejω）,則實(shí)際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（ω）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積?！?.2窗口設(shè)計(jì)法§5.2窗口設(shè)計(jì)法從四個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果§5.2窗口設(shè)計(jì)法窗函數(shù)對(duì)理想特性的影響：①改變了理想頻響的邊沿特性，形成過(guò)渡帶，寬為4π/N，等于WR(ω)的主瓣寬度。（決定于窗長(zhǎng)）②過(guò)渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰強(qiáng)，與N無(wú)關(guān)。（決定于窗口形狀）③N增加,過(guò)渡帶寬減小,肩峰值不變。

其中x=Nω/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR（ω）的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng)N增加時(shí)，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。§5.2窗口設(shè)計(jì)法

改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：①窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶；②相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。

但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過(guò)增加主瓣寬度來(lái)?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。§5.2窗口設(shè)計(jì)法幾種常用的窗函數(shù)（１）矩形窗：已講過(guò)，不再重述§5.2窗口設(shè)計(jì)法(２)漢寧窗（Hanning、升余弦窗）0N-1/2N-11W(n)n利用DTFT的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W(ω)可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為：§5.2窗口設(shè)計(jì)法當(dāng)Ｎ>>1,N-1≈N,則幅度函數(shù)近似為§5.2窗口設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)由于頻譜是由三個(gè)互有頻移的不同幅值的矩形窗函數(shù)相加而成，這樣使旁瓣大大抵消，從而能量相當(dāng)有效地集中在主瓣內(nèi)?？蛇_(dá)到減少肩峰，余振，提高阻帶衰減。代價(jià)（缺點(diǎn)）主瓣加寬一倍，過(guò)濾帶加大§5.2窗口設(shè)計(jì)法(３)漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗，Hamming）§5.2窗口設(shè)計(jì)法它是對(duì)漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對(duì)應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，主瓣寬度與漢寧窗相同。(４)布萊克曼窗（二階升余弦，Blackman窗）§5.2窗口設(shè)計(jì)法增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，為。增加N可減少過(guò)渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：§5.2窗口設(shè)計(jì)法圖5.7四種常用的窗口函數(shù)§5.2窗口設(shè)計(jì)法四種窗函數(shù)的比較§5.2窗口設(shè)計(jì)法圖5.8窗口函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|§5.2窗口設(shè)計(jì)法圖5.9四種窗口函數(shù)在同一指標(biāo)下設(shè)計(jì)濾波器的的頻率特性例

用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11,ωc=0.2πrad?！?.2窗口設(shè)計(jì)法解：1、根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)，由題意得§5.2窗口設(shè)計(jì)法2、選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)用矩形窗設(shè)計(jì)：用漢寧窗設(shè)計(jì)：用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：§5.2窗口設(shè)計(jì)法3、設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接。尤其對(duì)于Hd(ejw)公式較復(fù)雜，或Hd(ejw)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時(shí)，頻率抽樣設(shè)計(jì)法更為方便，有效。一、基本思想

使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

令，則§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

單位圓上的頻響為：這是一個(gè)內(nèi)插公式。其中為內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式表明：在每個(gè)采樣點(diǎn)上，逼近誤差為零，頻響嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值H(k)相等；在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近，會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。N增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法圖5.14頻率采樣的不同頻率特性§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法1）確定并得到3）計(jì)算2）計(jì)算二、設(shè)計(jì)方法為了設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，采樣值H（k）要滿足一定的約束條件。具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，且滿足，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)H(k)的約束。相頻響應(yīng)分別滿足§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法三、線性相位條件對(duì)稱性滿足：H(-1)=H(-1),H(-1)=-H(-1),H(-1)=-H(-1),H(-1)=H(-1)，即關(guān)于PI點(diǎn)奇對(duì)稱或偶對(duì)稱，可表示為

情況一:設(shè)計(jì)第一類(lèi)線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，則幅度函數(shù)(用H(ω)表示)應(yīng)具有偶對(duì)稱性：§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法三、線性相位條件

令則必須滿足偶對(duì)稱性：而必須取為：

情況二:設(shè)計(jì)第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的，§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法因此，Hk

也必須滿足奇對(duì)稱性：

相位關(guān)系同上，

其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法①根據(jù)所設(shè)計(jì)濾波器的通帶和阻帶的要求,根據(jù)N為奇偶,按線性相位要求指定Hd(k).②計(jì)算和,求出所設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)。§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法綜上所述，頻率抽樣法的設(shè)計(jì)步驟為例５.６：設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字LP濾波器，其理想特性為

采樣點(diǎn)數(shù)N=33，要求線性相位。解：根據(jù)分析，能設(shè)計(jì)低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因?yàn)镹＝32為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。即h(n)=h(N-1-n)，因此，該系統(tǒng)幅頻特性關(guān)于π偶對(duì)稱，也即HK偶對(duì)稱。利用HK的對(duì)稱性,求π－2π區(qū)間的頻響采樣值?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法根據(jù)指標(biāo)要求，在0～2π內(nèi)有33個(gè)取樣點(diǎn)，所以第k點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率為而截止頻率0.5π位于之間，所以，k=0～8時(shí)，采樣值為1；根據(jù)對(duì)稱性，故k=25～32時(shí)，采樣值也為1，因k=33為下一周期，所以0～π區(qū)間有9個(gè)值為1的采樣點(diǎn)，π～2π區(qū)間有8個(gè)值為1的采樣點(diǎn)，因此：§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(10:17)=0;Hd1=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd1=[Hd1conj(fliplr(Hd1(2:(N1+1)/2)))];h1=real(ifft(Hd1));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H1=freqz(h1,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H1)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');ylabel('幅度/db');title('過(guò)渡帶不設(shè)采樣點(diǎn)');§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

從圖上可以看出，其過(guò)渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔2π/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。

對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。增大阻帶衰減方法：1）加寬過(guò)渡帶寬，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個(gè)過(guò)渡帶采樣點(diǎn)H9=H24=0.5，使過(guò)渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔4π/33，重新計(jì)算的H(ejω)見(jiàn)圖，其阻帶衰減增加到約-40dB?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(11:17)=0;Ad1(10)=0.5;Hd2=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd2=[Hd2conj(fliplr(Hd2(2:(N1+1)/2)))];h2=real(ifft(Hd2));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H2=freqz(h2,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H2)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('過(guò)渡帶設(shè)一個(gè)采樣點(diǎn)');§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

2）過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì)

根據(jù)H(ejω)的表達(dá)式，H(ejω)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值）。例如，本例中可以用簡(jiǎn)單的梯度搜索法來(lái)選擇H9、H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。

要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)到最大），可計(jì)算得H9=0.3904。對(duì)應(yīng)的H(ejω)的幅頻特性，比H9=0.5時(shí)的阻帶衰減大大改善,衰減超過(guò)40dB。如果還要進(jìn)一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過(guò)渡區(qū)，添上第二個(gè)甚至第三個(gè)不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法

３）增大N,運(yùn)算量增加

如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)N。例如，同樣邊界頻率ωc=0.5π,以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值H18=H47=0.1065,這時(shí)得到的H(ejω)，過(guò)渡帶為6π/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=[Hd

conj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2)))];h=real(ifft(Hd));w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,[1],w);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('過(guò)渡帶設(shè)兩個(gè)采樣點(diǎn)，總采樣點(diǎn)數(shù)提高一倍');§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法圖5.15過(guò)渡采樣點(diǎn)不同的３個(gè)FIR濾波器設(shè)計(jì)實(shí)例§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法例5.7用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR帶通濾波器，設(shè)N=32，理想頻率特性為

解

N=32為偶數(shù)，按第二種線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)。頻率間隔為上邊界點(diǎn)k在9和10之間；下邊界點(diǎn)k在3和4之間。§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法MATLAB程序如下:N=32;Hk=[zeros(1,4)ones(1,6)zeros(1,13)-ones(1,6)zeros(1,3)];k=0:N-1;hn=real(ifft(Hk.*exp(-j*pi*(N-1)*k/N)));[Hw]=freqz(hn,1);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));axis([01-6010]);grid;xlabel('歸一化頻率/\pi')ylabel('幅度/dB')§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.3頻率采樣設(shè)計(jì)法小結(jié)頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)：①

直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便；②

適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。

缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。因頻率取樣點(diǎn)都局限在2π/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加?！?.3頻率采樣設(shè)計(jì)法§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗口法（時(shí)域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對(duì)給定理想頻率特性Hd(ejω)的逼近。說(shuō)到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問(wèn)題，對(duì)“好”“壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論。窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性。如果反過(guò)來(lái)要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所以一般需要依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

最優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提是最優(yōu)準(zhǔn)則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常用的準(zhǔn)則有：①最小均方誤差準(zhǔn)則②最大誤差最小化準(zhǔn)則。①最小均方誤差準(zhǔn)則（最小平方逼近法）若以E(ejω)表示逼近誤差，則

那么均方誤差為均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整個(gè)-π－π頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差，§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

對(duì)于窗口法FIR濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗則有可以證明，這是一個(gè)最小均方誤差。其優(yōu)點(diǎn)是過(guò)渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大,或者說(shuō)誤差分布不均勻?！?.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)②最大誤差最小化準(zhǔn)則（最佳一致逼近法）表示為

其中F是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個(gè)頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇N個(gè)頻率采樣值(或時(shí)域h(n)值)，在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達(dá)到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點(diǎn)：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化。§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)設(shè)所希望的理想頻率響應(yīng)為

我們的任務(wù)是，尋找一，使其在通帶和阻帶內(nèi)最佳一致逼近理想頻響。

根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理，如果H(ejw)是對(duì)Hd(ejw)的最佳一致逼近，那么其在通帶和阻帶內(nèi)應(yīng)具有如圖5.19的等波動(dòng)性質(zhì)。所以最佳一致逼近有時(shí)又稱等波動(dòng)逼近。§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)圖5.19等波動(dòng)逼近的低通濾波器如圖，用等波動(dòng)逼近法設(shè)計(jì)濾波器需要確定五個(gè)參數(shù)：

N、ωp、ωs、δ1、δ2按上圖所示的誤差容限設(shè)計(jì)低通濾波器，就是說(shuō)要在通帶

0ωωp

內(nèi)以最大誤差δ1

逼近零，在阻帶ωsω內(nèi)以最大誤差δ2逼近零。要同時(shí)確定上述五個(gè)參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法：

1）給定N、δ1、δ2，以ωp和ωs、為變量。

缺點(diǎn)：邊界頻率不能精確確定。

2）給定N、ωP和ωS，以δ1和δ2為變量，通過(guò)迭代運(yùn)算，使逼近誤差δ1和δ2最小，并確定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特點(diǎn)：能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊界頻率。

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)式中為了保證設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位，仍應(yīng)遵守h(n)的約束，為了討論方便，現(xiàn)假設(shè)h(n)為偶對(duì)稱，Ｎ為奇數(shù)，則

定義逼近誤差函數(shù)：

上式中使用加權(quán)因數(shù)，是考慮在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)對(duì)通帶和阻帶常要求不同的逼近精度，故乘以不同的加權(quán)函數(shù)。根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組定理，Hg(ejω)在子集F上是對(duì)Hd(ejw)唯一最佳一致逼近的充要條件是:誤差函數(shù)在F上至少呈現(xiàn)M十2個(gè)“交錯(cuò)”，使得§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

如果已知在F上的M+2個(gè)交錯(cuò)頻率,即

則有§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)上式變換為寫(xiě)成矩陣形式問(wèn)題:

一是交錯(cuò)點(diǎn)組ωi事先是不知道的，這樣當(dāng)然無(wú)法求解方程式;二是直接求解方程組比較因難。(1)在頻率子集F上均勻等間隔地選取M+2個(gè)極值點(diǎn)頻率

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

為此，J.H.Mc