數(shù)字信號(hào)處理chap2-2

2.5序列的Z變換掌握Z變換的正變換和逆變換定義，以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。理解主要的Z變換的定理和性質(zhì)。一、Z變換的定義1、定義雙邊Z變換

單邊Z變換defdefZ變換的收斂域2、收斂域?qū)θ我饨o定序列x(n)，使其z變換收斂的所有z值的集合稱為收斂域。

z變換存在的條件是級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即滿足不等式的z變量的取值范圍就是收斂域。

對(duì)于雙邊z變換，其象函數(shù)與收斂域共同惟一確定序列。零點(diǎn)與極點(diǎn)3、零點(diǎn)與極點(diǎn)常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：零點(diǎn):分子多項(xiàng)式P(z)的根。極點(diǎn):分母多項(xiàng)式Q(z)的根。

在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。

z變換與傅里葉變換的關(guān)系4、z變換與傅里葉變換的關(guān)系

單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。

思考：

Z變換的收斂域不包含單位圓時(shí)序列的傅里葉變換存在嗎？Z變換例5、x(n)=u(n),求其Z變換。解：當(dāng)|z|>1時(shí)

X(z)存在，因此收斂域?yàn)閨z|>1二、序列特性對(duì)收斂域的影響1．有限長序列其z變換為：有限長序列的收斂域一般是0<|z|<∞，有時(shí)也包括z=0或z=∞處。其它有限長序列

n1<0,n2≤0時(shí)，ROC為：

n1<0,n2>0時(shí)，ROC為：

n1≥0,n2>0時(shí)，ROC為：0≤|z|<∞0<|z|<∞0<|z|≤∞有限長序列例6、求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)椋?<|z|≤∞右邊序列2、右邊序列*第一項(xiàng)為有限長序列，第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)右邊序列收斂域:所以：右邊序列的收斂域?yàn)椋海▓A外，但不包括無窮遠(yuǎn)處）右邊序列之因果序列

特殊情況還可擴(kuò)大：

因果序列：

它是一種最重要的右邊序列,收斂域?yàn)椋海▓A外，且包括無窮遠(yuǎn)處）右邊序列之因果序列因果序列是一種最重要的右邊序列，收斂域?yàn)椋簗Z|=∞處Z變換收斂是因果序列的特征。在∞處收斂的序列必為因果序列。左邊序列（3）左邊序列

*第一項(xiàng)為z的正冪級(jí)數(shù)，第二項(xiàng)為有限長序列左邊序列收斂域:所以：左邊序列的收斂域?yàn)椋海▓A內(nèi)，但不包括0）左邊序列

反因果序列：

收斂域?yàn)椋海▓A內(nèi)，且包括0）雙邊序列（4）雙邊序列雙邊序列可看做左邊序列和右邊序列之和。雙邊序列收斂域:所以：雙邊序列的收斂域?yàn)椋海ōh(huán)域）序列特性對(duì)收斂域的影響收斂域特殊情況收斂域有限長序列右邊序列左邊序列雙邊序列

因果序列反因果序列當(dāng)收斂域不存在序列特性對(duì)收斂域的影響例7、求序列

的Z變換及收斂域。

解：這是無窮等比級(jí)數(shù),公比是，在什么情況下收斂？零點(diǎn)？極點(diǎn)？序列特性對(duì)收斂域的影響本例，極點(diǎn)為。收斂域內(nèi)不能有極點(diǎn)?；蚴諗坑蛞詷O點(diǎn)為邊界。因果序列的收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外。序列特性對(duì)收斂域的影響例8、求序列 z變換及收斂域。

解：反因果序列的收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。本例，極點(diǎn)為：序列特性對(duì)收斂域的影響例9、求序列 z變換及收斂域。解：雙邊序列的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域,且以極點(diǎn)為邊界。本例，極點(diǎn)為：

三、逆z變換一.z反變換的定義：已知X(z)及其收斂域,反過來求序列x(n)的變換稱作z反變換。求z反變換的方法：

1、圍線積分法（留數(shù)法）；

2、部分分式展開法；

3、長除法。1、留數(shù)法根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)解析，則在此區(qū)域可展開成羅朗級(jí)數(shù)的形式：其中：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.

但直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，一般都用留數(shù)定理來求解。對(duì)比和z變換的定義可知：1、留數(shù)法

留數(shù)定理：若函數(shù)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)Zk，在c外有M個(gè)極點(diǎn)ZM（K,M為有限值），則有：注意：應(yīng)用第二式計(jì)算時(shí)，要求的分母多項(xiàng)式中z的階次比分子多項(xiàng)式z的階數(shù)高二階或以上。1、留數(shù)法求留數(shù)的方法：1、當(dāng)Zk為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：2、當(dāng)Zk為m階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：1、留數(shù)法例10、已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。解n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；n<0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a,z2=0（高階）；1、留數(shù)法則n≥0時(shí)，n<0時(shí)，圍線內(nèi)有高階極點(diǎn)，由于F(z)的分母階次比分子階次高二階以上，因而求圓外極點(diǎn)留數(shù)。由于圍線外無極點(diǎn)，故n<0時(shí)，x(n)=0

所以

x(n)=anu(n)1、留數(shù)法例11、已知,求其逆變換x(n)。解：先確定收斂域。

X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是：（1）|z|>|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。

1、留數(shù)法

（1）收斂域?yàn)閨z|>|a－1|:這種情況的原序列是因果序列，無須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，因此1、留數(shù)法最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。1、留數(shù)法

（2）收斂域?yàn)閨z|<|a|:原序列是左序列，無須計(jì)算n≥0情況。實(shí)際上，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。即

最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a－n－an)u(－n－1)1、留數(shù)法

（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:

x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a,則

x(n)=Res［F(z),a］=ana1/a收斂域1、留數(shù)法

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，且由于F(z)的分母多項(xiàng)式比分子多項(xiàng)式的最高次數(shù)高2階以上，故改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|1、留數(shù)法2、部分分式展開法通常，X(z)可表示成有理分式形式：

如果能將X(z)展開成幾個(gè)簡單的分式的和的形式，而簡單形式的z反變換可通過查表2.5.1直接求得。觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點(diǎn)z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。求出Am系數(shù)后，查表可得x(n)序列。2、部分分式展開法解：由留數(shù)法求系數(shù)得

因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)椋瑸橐蚬蛄?，從而求?/p>

解：將X(z)變?yōu)閄(z)/z的形式并化為部分分式2、部分分式展開法課堂練習(xí)1、的Z變換為____，收斂域?yàn)開_____。1/(1-az-1)，∣z∣>∣a∣

課堂練習(xí)2、的Z變換為____，收斂域?yàn)開_____。1/(1-az-1)，∣z∣<∣a∣

3、判斷題序列z變換的收斂域內(nèi)可以含有極點(diǎn)。()

錯(cuò)課堂練習(xí)4、已知

求z反變換。解:所以當(dāng)n<0時(shí)，x(n)=0。只需考慮n≥0時(shí)的情況。課堂練習(xí)如圖所示，取收斂域的一個(gè)圍線c，可知當(dāng)n≥0時(shí),C內(nèi)有兩個(gè)一階極點(diǎn) ，所以

課堂練習(xí)5、已知，

求z反變換。課堂練習(xí)如圖所示，取收斂域的一個(gè)圍線c，分兩種情況討論：（1）n≥－1時(shí)，C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)

課堂練習(xí)課堂練習(xí)（2）當(dāng)n<-1時(shí)，C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階),z=0（高階）；

而在C外僅有z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn)，且F(z)的分母多項(xiàng)式比分子多項(xiàng)式的最高次數(shù)高2階以上，

課堂練習(xí)四、Z變換的性質(zhì)和定理如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性2.序列的移位四、Z變換的性質(zhì)和定理3、時(shí)域卷積定理四、Z變換的性質(zhì)和定理2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性一、系統(tǒng)函數(shù)在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，h(n)表示系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)的特性。H(z)稱作線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。

系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。令，得h(n)的傅立葉變換（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)）。二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換收斂域判斷）

回顧因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)的充要條件是？因果：h(n)是因果序列。穩(wěn)定：h(n)絕對(duì)可和。故，線性時(shí)不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定的充要條件是：h(n)是因果序列且絕對(duì)可和，即：h(n)序列絕對(duì)可和，即h(n)的傅里葉變換存在，則其z變換收斂域必須包括。單位圓因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換收斂域判斷）

所以：一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須在從單位圓到∞的整個(gè)z域內(nèi)收斂。

或：系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)。思考：判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定的方法有幾種？

解H(z)的極點(diǎn)為z=a,z=a－1。（1）收斂域?yàn)閍－1<|z|≤∞:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）收斂域?yàn)?≤|z|<a:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）收斂域?yàn)閍<|z|<a－1:對(duì)應(yīng)一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。

例14、已知分析其因果性和穩(wěn)定性。因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換收斂域判斷）三、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系分析：

在已知收斂域的條件下系統(tǒng)的特性由系數(shù)bm、ak決定。在已知收斂域的條件下系統(tǒng)的特性由系數(shù)cm、dk決定。注：僅有差分方程，不能唯一確定系統(tǒng)四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義

系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅立葉變換稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義若輸入為正弦信號(hào)，輸出也為正弦信號(hào)。五、頻率響應(yīng)的幾何確定1、頻率響應(yīng)的零極點(diǎn)表達(dá)式頻率響應(yīng)的幾何確定頻率響應(yīng)的幾何確定2、幾點(diǎn)說明

(1)單位圓附近的零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。

(2)單位圓附近的極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)的位置和高度有明顯影響，極點(diǎn)越接近單位圓，峰值就越尖銳。極點(diǎn)在單位圓上，系統(tǒng)不穩(wěn)定。頻率響應(yīng)的幾何確定零點(diǎn)在單位圓上0和pi處；極點(diǎn)在處。頻率響應(yīng)的幾何確定解：系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：

例15、已知系統(tǒng)的差分方程為：指出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)并分析系統(tǒng)的頻響特性。解：∴極點(diǎn)為z=b，零點(diǎn)為z=0

例16、已知H(z)=1－z－N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解極點(diǎn)：H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點(diǎn)：零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定。即頻率響應(yīng)的幾何確定N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖所示：頻率響應(yīng)的幾何確定重要公式傅里葉變換的正變換傅里葉變換的逆變換注意正變換存在的條件是：序列服從絕對(duì)可和的條件。離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)可用于表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。周期序列的傅里葉變換

如果周期序列的周期是N，則其頻譜由N條譜線組成，注意畫圖時(shí)要用帶箭頭的線段表示。Z變換的正變換雙邊Z變換注意收斂域課堂練習(xí)1、若H（Z）的收斂域包括∞點(diǎn)，則

h（n）一定是__________序列。因果2、線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)是因果系統(tǒng)的充要條件是____________________。h(n)=0,n<0或收斂域在某圓的外面3、線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是____________________。h(n)絕對(duì)可和或收斂域包括單位圓

4、時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為若要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則a的取值域?yàn)開___

和b的取值域?yàn)開_____