實驗十一 向量自回歸模型(VAR模型)

實驗十一協(xié)整與向量自回歸模型1協(xié)整0、問題的提出經(jīng)典回歸模型（classicalregressionmodel）是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎上的，對于非穩(wěn)定變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題。由于許多經(jīng)濟變量是非穩(wěn)定的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協(xié)整的（cointegration)，則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子中：因果關系回歸模型要比ARMA模型有更好的預測功能，

其原因在于，從經(jīng)濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關系，即它們之間是協(xié)整的（cointegration）。

經(jīng)濟理論指出，某些經(jīng)濟變量間確實存在著長期均衡關系，這種均衡關系意味著經(jīng)濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態(tài)。假設X與Y間的長期“均衡關系”由式描述

1、長期均衡式中:t是隨機擾動項。

該均衡關系意味著:給定X的一個值，Y相應的均衡值也隨之確定為0+1X。

在t-1期末，存在下述三種情形之一：

（1）Y等于它的均衡值：Yt-1=0+1Xt

；（2）Y小于它的均衡值：Yt-1<0+1Xt

；（3）Y大于它的均衡值：Yt-1>

0+1Xt

；在時期t，假設X有一個變化量Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關系，則Y的相應變化量由式給出:式中，vt=t-t-1。

實際情況往往并非如此

如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化Yt大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，則Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt

。

可見，如果Yt=0+1Xt+t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的“均衡關系”，則意味著Y對其均衡點的偏離從本質上說是“臨時性”的。因此，一個重要的假設就是:隨機擾動項t必須是平穩(wěn)序列。顯然，如果t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。

式Yt=0+1Xt+t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibriumerror），它是變量X與Y的一個線性組合：

(*)

因此，如果Yt=0+1Xt+t式所示的X與Y間的長期均衡關系正確的話，（*）式表述的非均衡誤差應是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。

從這里已看到，非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。

例如：假設Yt=0+1Xt+t式中的X與Y是I(1)序列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關系成立的話，則意味著由非均衡誤差（*）式給出的線性組合是I(0)序列。這時我們稱變量X與Y是協(xié)整的（cointegrated）。

如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量=(1,2,…,k)，使得

Zt=XT~I(d-b)

其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協(xié)整，記為Xt~CI(d,b)，為協(xié)整向量（cointegratedvector）。⒉協(xié)整

在中國居民人均消費與人均GDP的例中，該兩序列都是2階單整序列，而且可以證明它們有一個線性組合構成的新序列為0階單整序列，于是認為該兩序列是(2,2)階協(xié)整。

由此可見:如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數(shù)相同時，才可能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整。（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關系，它的經(jīng)濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關系。

例如：假設中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，并且將會看到，它們是(2,2)階協(xié)整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關系，從計量經(jīng)濟學模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數(shù)模型

從協(xié)整的定義可以看出:變量選擇是合理的，隨機誤差項一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機序列），模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟解釋。這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因。

從這里，我們已經(jīng)初步認識到：檢驗變量之間的協(xié)整關系，在建立計量經(jīng)濟學模型中是非常重要的。而且，從變量之間是否具有協(xié)整關系出發(fā)選擇模型的變量，其數(shù)據(jù)基礎是牢固的，其統(tǒng)計性質是優(yōu)良的。11假如有序列Xt和Yt，一般有如下性質存在：(1)如果Xt~I(0)，即Xt是平穩(wěn)序列，則a+bXt也是I(0)；(2)如果Xt~I(1)，這表示Xt只需經(jīng)過一次差分就可變成平穩(wěn)序列。那么a+bXt也是I(1)；(3)如果Xt和Yt都是I(0)，則aXt+bYt是I(0)；12（4）如果Xt~I(0)，Yt~I(1)，則aXt+bYt是I(1)，即I(1)具有占優(yōu)勢的性質。（5）如果Xt和Yt都是I(1)，則aXt+bYt一般情況下是I(1)，但不保證一定是I(1)。如果該線性組合是I(0)，Xt和Yt就是協(xié)整的，a、b就是協(xié)整參數(shù)。13二、協(xié)整檢驗的具體方法（一）EG檢驗假如Xt和Yt都是I(1)，如何檢驗它們之間是否存在協(xié)整關系，我們可以遵循以下思路：首先用OLS對協(xié)整回歸方程進行估計。然后，檢驗殘差是否是平穩(wěn)的。因為如果Xt和Yt沒有協(xié)整關系，那么它們的任一線性組合都是非平穩(wěn)的，殘差也將是非平穩(wěn)的。14檢驗是否平穩(wěn)可以采用前文提到的單位根檢驗，但需要注意的是，此時的臨界值不能再用(A)DF檢驗的臨界值，而是要用恩格爾和格蘭杰（EngleandGranger）提供的臨界值，故這種協(xié)整檢驗又稱為（擴展的）恩格爾格蘭杰檢驗(簡記(A)EG檢驗）。15誤差修正模型Engle和Granger于1987年提出了誤差修正模型的完整定義并加以推廣。假設Yt和Xt之間的長期關系式為：（11.13）式中，K和為估計常量。例如，Y可以是商品的需求量，X則是價格。就是Y對X的長期彈性。16對式（11.13）兩邊取對數(shù)可得：所以當y不處在均衡值的時候，等式兩邊就會有一個差額存在，即（11.15）

來衡量兩個變量之間的偏離程度。當X、Y處于均衡的時候，這時誤差值為零。（11.14）我們用小寫字母表示對數(shù)，其中=ln(K)。但是這種均衡情況在經(jīng)濟體系中是很少存在的。17由于X和Y通常處于非均衡狀態(tài)，可以建立一個包含X和Y滯后項的短期或非均衡關系，假設采取如下形式：

（11.16）（11.16）式是基礎的形式，只包括一階滯后項，說明對于變量X的變化，變量Y需要一段時間進行調整。18在對（11.16）進行估計的時候，其中的變量可能是不平穩(wěn)的，不能運用OLS估計，否則將出現(xiàn)偽回歸現(xiàn)象。對此，重新進行轉化。兩邊分別減去yt-1：得

（11.17）19并進一步進行變化：，即：

（11.18）在這里。我們對上式進行重新整理，得到：20在這里。我們對上式進行重新整理，得到：

（11.19）其中定義新變量β1=（b1+b2）/，并進一步進行變換得到：

（11.20）其中定義第二個新變量β0=b0/。21根據(jù)式（11.20），Y的當前變化決定于X的變換以及前期的非均衡程度，也就是說前期的誤差項對當期的Y值進行調整。所以（11.20）就是一階誤差修正模型，也是最簡單的形式。表示系統(tǒng)對均衡狀態(tài)的偏離程度，可以稱之為“均衡誤差”。在模型（11.20）中，描述了對均衡關系偏離的一種長期調解。這樣在誤差修正模型中，長期調節(jié)和短期調節(jié)的過程同樣被考慮進去。因而，誤差修正模型的優(yōu)點在于它提供了解釋長期關系和短期調節(jié)的途徑。22

當且的時候，后者意味著比均衡值高出太多。由于，那么，因此。換句話說，如果高于均衡值水平，那么在下一個時間段，會開始下降，誤差值就會被慢慢修正，這就是所說的誤差修正模型。當，則是完全相反的情況，整個機制是相同的。

23向量自回歸模型24VAR模型的起源

巨大的模型均未預測到20世紀70年代早期由于石油危機而引發(fā)的世界經(jīng)濟的衰退和隨之而來的滯脹，也未能就治理滯脹開出有效的“藥方”。由此導致了對結構模型的批判，其中最具影響的便是著名的“盧卡斯批判（theLucascritique）”。盧卡斯指出：使用計量經(jīng)濟模型（結構模型）預測未來經(jīng)濟政策的變化所產(chǎn)生的效用是不可信的。他認為，如果一個模型的某些參數(shù)所反映的是私人行為對以前的經(jīng)濟政策的反應函數(shù)的適應性，如果政策反應函數(shù)被改變，則私人行為對新的反應函數(shù)將再適應，其結果是，所估計的參數(shù)將不再描述這種適應。盧卡斯批判所隱含的是，如果政策反應函數(shù)出現(xiàn)變化，這種變化也將改變模型的參數(shù)，于是，聯(lián)立方程的簡約形式也將隨之發(fā)生變化。25此外，在聯(lián)立方程模型設定過程中，必須人為的假定一些外生變量，并且假定外生變量事先給定，不受模型中內(nèi)生變量的影響；為達到識別的目的，常常假定某些前定變量僅僅出現(xiàn)在某些方程中，這些假定也招致了希姆斯（C.A.Sims）的嚴厲批判。希姆斯認為，為使結構模型可識別而施加了許多約束，這種約束是不可信的。他認為，如果在一組變量之間有真實的聯(lián)立性，那么就應該對這些變量平等的加以對待，而不應事先區(qū)分內(nèi)生變量和外生變量。本著這一精神，希姆斯提出了VAR（VectorAutoregressive）模型。在VAR模型中，沒有內(nèi)生變量和外生變量之分，而是所有的變量都被看作內(nèi)生變量，初始對模型系數(shù)不施加任何約束，即每個方程都有相同的解釋變量——所有被解釋變量若干期的滯后值。

26VAR模型的形式和特點在一個含有n個方程（被解釋變量）的VAR模型中，每個被解釋變量都對自身以及其它被解釋變量的若干期滯后值回歸，若令滯后階數(shù)為k，則VAR模型的一般形式可用下式表示：其中，表示由第t期觀測值構成的n維列向量，為n*n系數(shù)矩陣，是由隨機誤差項構成的n維列向量，其中隨機誤差項（i=1,2,…n）為白噪音過程，且滿足(i,j=1,2,…,n,且ij)。

27為便于直觀理解，我們假定n=2,k=2,則VAR模型可寫成：即被解釋變量分別對自身以及對方的2階滯后值回歸28VAR模型的識別、估計、檢驗和預測

（一）VAR模型的識別

前面提到，建立VAR模型的一個難點就是確定滯后項數(shù)。通常，金融理論知識給出滯后項數(shù)的一個大致范圍，例如貨幣政策的時滯一般為6-12個月，因此若應用VAR模型對貨幣政策效應進行分析時，如果是月度數(shù)據(jù)我們就可以確定滯后階數(shù)應小于12。如果要具體得確定滯后項數(shù)，就需要用到其它的一些方法，下面我們將介紹其中的幾種方法：29信息準則法Akaike信息準則：AIC=

Schwartz信息準則：

SC=

其中，代表由估計殘差的方差和協(xié)方差組成的矩陣的行列式，T代表樣本容量，表示的是所有方程中回歸項的個數(shù)（包括常數(shù)項）。例如，對于一個含有a個方程，滯后項數(shù)為b的VAR模型，。30（二）VAR模型的估計

前面我們提到，如果VAR模型中變量是平穩(wěn)的，并且方程右邊包含相同的解釋變量，隨機誤差項滿足基本假定，則我們可以分別應用普通最小二乘法對單個方程予以估計，所得到的估計值是一致的、漸進有效的。當上述條件不滿足時，我們需要用到估計聯(lián)立方程模型的其它方法。由于所用到的數(shù)學知識已經(jīng)超出了本書的范圍，并且在Eviews軟件中可以方便的實現(xiàn)對VAR模型的估計（我們會在例子中予以介紹），在此我們不再多做介紹。31(三)VAR模型的檢驗

前面已經(jīng)提到，VAR模型是缺乏理論依據(jù)的。在VAR模型中，很難逐一解釋各個變量系數(shù)的意義，特別是在很多情況下，解釋變量系數(shù)會隨滯后期數(shù)的變化而改變符號，同時模型內(nèi)部不同方程之間也存在聯(lián)系，因此很難判斷當某個變量發(fā)生變化時，其他變量的未來值會有什么樣的變化。為彌補上述VAR模型的缺陷，發(fā)揮VAR模型的作用，應用中一般做如下的檢驗：321、對某變量全部滯后項系數(shù)的聯(lián)合檢驗在VAR模型中，單個變量系數(shù)的意義是很難確認的，但有時我們會對如下的問題感興趣：即對于模型內(nèi)的某一方程，某變量的全部滯后值是否對被解釋變量有顯著的解釋作用。我們可以發(fā)現(xiàn)，如果VAR模型僅包含兩個方程，這實際上就是因果檢驗：如果該變量的所有滯后值對被解釋變量有顯著的解釋作用，則就說該變量是被解釋變量的“格蘭杰原因”，反之則不是。33因果檢驗因果關系檢驗主要有兩種：格蘭杰（Granger）因果檢驗和希姆斯（Sims）檢驗一、格蘭杰因果檢驗該理論的基本思想是：變量x和y，如果x的變化引起了y的變化，x的變化應當發(fā)生在y的變化之前。即如果說“x是引起y變化的原因”，則必須滿足兩個條件：34第一，x應該有助于預測y，即在y關于y的過去值的回歸中，添加x的過去值作為獨立變量應當顯著的增加回歸的解釋能力。第二，y不應當有助于預測x，其原因是如果x有助于預測y，y也有助于預測x，則很可能存在一個或幾個其他的變量，它們既是引起x變化的原因，也是引起y變化的原因。35

要檢驗這兩個條件是否成立，我們需要檢驗一個變量對預測另一個變量沒有幫助的原假設。首先，檢驗“x不是引起y變化的原因”的原假設，對下列兩個回歸模型進行估計：無假設條件回歸：有假設條件回歸：

（11.21）（11.22）36然后用各回歸的殘差平方和計算F統(tǒng)計值，檢驗系數(shù)β1，β2，…，βm是否同時顯著的不為0。如果是這樣，我們就拒絕“x不是引起y變化的原因”的原假設。37其中F統(tǒng)計值的構成為：

（11.23）其中和分別為有限制條件回歸和無限制條件回歸的殘差平方和；N是觀察個數(shù)；K是無限制條件回歸參數(shù)個數(shù)；q是參數(shù)限制個數(shù)。該統(tǒng)計量服從F(q,N-K)分布。38顯然，如果F統(tǒng)計值大于臨界值，我們就拒絕原假設，得到x是引起y變化的原因。反之，接受原假設。接下來，檢驗“y不是引起x變化的原因”的原假設，做同樣的回歸估計，但是交換