現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法第一章ppt

計(jì)算方法任課教師:蔡靜授課班級:20110711、20110712第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差分析1.1計(jì)算方法的研究對象、任務(wù)與特點(diǎn)1.2誤差的相關(guān)概念與誤差估計(jì)1.1計(jì)算方法的研究對象、任務(wù)與特點(diǎn)1.2誤差的相關(guān)概念與誤差估計(jì)1.3選用和設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)遵循的原則1.1計(jì)算方法的研究對象、任務(wù)與特點(diǎn)1.2誤差的相關(guān)概念與誤差估計(jì)1.1計(jì)算方法課程的研究對象、任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算機(jī)誕生之前，在求解各種數(shù)學(xué)問題的過程中，人們逐漸積累了一些算法，所能解決的問題也僅局限于一些小型的、簡單的計(jì)算問題。隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進(jìn)，在工程設(shè)計(jì)、氣象預(yù)報(bào)、水利建設(shè)以及武器研制、火箭衛(wèi)星發(fā)射等等，在這些領(lǐng)域都出現(xiàn)了大量復(fù)雜大型的計(jì)算問題急待解決。（1）產(chǎn)生背景：因此有必要研究如何利用計(jì)算機(jī)來解決工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國防尖端技術(shù)領(lǐng)域中的計(jì)算問題(科學(xué)計(jì)算），建立適用于計(jì)算機(jī)的計(jì)算方法。由此在大量的計(jì)算實(shí)踐和理論分析基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)獨(dú)立分支，即計(jì)算方法。

（2）研究對象：在計(jì)算機(jī)上求解各種數(shù)值計(jì)算問題的數(shù)值計(jì)算方法及理論。

（3）主要任務(wù)：為求解各種數(shù)學(xué)問題構(gòu)造算法和分析算法。（4）特點(diǎn):計(jì)算方法屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的范疇,是一門既注重理論性，又注重實(shí)踐性，與計(jì)算機(jī)應(yīng)用緊密結(jié)合的數(shù)學(xué)課程。一、兩個(gè)基本概念

(數(shù)值計(jì)算問題）（1）數(shù)值計(jì)算問題：例如：1、求一元二次方程：離散的初始數(shù)據(jù)→問題離散的數(shù)值型的解的根a、b、c2、求解線性代數(shù)方程組改寫成矩陣-向量形式：其中,（數(shù)值計(jì)算問題）

需要注意的是，并非所有的數(shù)學(xué)問題都是數(shù)值計(jì)算問題。例如：已知函數(shù)滿足如下微分方程：求解該微分方程。2，3,（非數(shù)值計(jì)算問題）

（一階常微分方程初值問題）（2）數(shù)值計(jì)算方法：

在計(jì)算機(jī)上用于求解數(shù)值問題的系列計(jì)算公式。（3）數(shù)值算法是解數(shù)值問題的整個(gè)過程，不僅包含解題的數(shù)值方法，還包括解題的思想、步驟、目的及數(shù)據(jù)的輸入和輸出要求。1、在計(jì)算機(jī)上實(shí)際可行：可直接執(zhí)行的運(yùn)算+、—、×、÷四則運(yùn)算及邏輯運(yùn)算參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)有限位小數(shù)運(yùn)算的次數(shù)有限次運(yùn)算計(jì)算機(jī)不能直接進(jìn)行的運(yùn)算（指數(shù)、對數(shù)、開方、三角、求導(dǎo)、積分）→計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的運(yùn)算無窮次運(yùn)算求得精確解→有限次運(yùn)算求得近似解無理數(shù)、大多數(shù)有理數(shù)→計(jì)算機(jī)允許的有限位小數(shù)二、算法的構(gòu)造

例1、指數(shù)運(yùn)算：

2、算法的計(jì)算復(fù)雜性好計(jì)算復(fù)雜性雖然計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度很快，存儲(chǔ)信息量大，但并不能因此就降低對算法計(jì)算復(fù)雜性的要求。尤其在處理大型數(shù)值計(jì)算問題時(shí)，算法計(jì)算復(fù)雜性的好壞會(huì)直接影響計(jì)算的效率和結(jié)果的可靠性！時(shí)間復(fù)雜度：算法包含的運(yùn)算次數(shù)的多少空間復(fù)雜度：算法占用的存儲(chǔ)空間的大小例如，用Cramer法則求解一個(gè)20階的線性代數(shù)方程組，總共需要進(jìn)行次乘除法

由此可見，對于同一問題，采用不同的算法，計(jì)算復(fù)雜性大不一樣，因此在設(shè)計(jì)算法時(shí)，應(yīng)設(shè)法減少運(yùn)算次數(shù)、節(jié)約存儲(chǔ)空間，以提高計(jì)算的效率。30多萬年。而用Gauss消去法，只需2660次乘除法。若使用每秒可進(jìn)行一億次乘除法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)，則要連續(xù)工作三、算法的分析：誤差分析、穩(wěn)定性、收斂性分析誤差的來源：模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差

（1）誤差的基本概念：

1、絕對誤差與絕對誤差限是精確值，是其近似值，則稱

絕對誤差：設(shè)

1.2誤差的相關(guān)概念與誤差估計(jì)

是近似值的絕對誤差，簡稱誤差。

絕對誤差限：若則稱為近似值的絕對誤差限。相對誤差：

設(shè)是精確值，是其近似值，則稱

是近似值的相對誤差。實(shí)際計(jì)算時(shí)，常用相對誤差限：若，則稱為近似值的相對誤差限。

3、有效數(shù)字:2、相對誤差與相對誤差限例：對其進(jìn)行四舍五入，取3位近似值，得：取5位近似值，得：若近似值的誤差絕對值不超過某一位數(shù)字的半個(gè)單位，則稱近似值準(zhǔn)確到這一位。有效數(shù)字定義：若從近似值所準(zhǔn)確到的那一位數(shù)字到近似值的第一位非零數(shù)字共有n位，則稱近似值具有n位有效數(shù)字。規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)：其中m為整數(shù)，為介于0到9之間的整數(shù)。書本P7，有效數(shù)字的等價(jià)定義：如果近似值滿足：則稱近似值具有n位有效數(shù)字。問題1：如何確定一個(gè)近似值具有幾位有效數(shù)字？答：若近似值為對準(zhǔn)確值四舍五入得到，則只需從近似值最后一位往前數(shù)到第一位非零數(shù)字，共有幾位數(shù)字，就具有幾位有效數(shù)字。若近似值不是對準(zhǔn)確值四舍五入得到，則需借助于等價(jià)定義進(jìn)行判斷。問題2：給定一準(zhǔn)確值,如何通過四舍五入給出其具有

n位有效數(shù)字的近似值？練習(xí)：已知e=2.71828182…,分別寫出其具有3位、4位、5位有效數(shù)字的近似值。4、有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系

（1）若具有n位有效數(shù)字，則的相對誤差滿足：（2）若的相對誤差滿足：則至少具有n位有效數(shù)字。證明：則（1）若具有n位有效數(shù)字，則（2）若的相對誤差滿足：則至少具有n位有效數(shù)字。P8，例1誤差在運(yùn)算中的傳播規(guī)律：P9，(1.2.5)(1.2.6)（1）加減運(yùn)算:設(shè)，分別是精確值，的近似值，

其相對誤差分別為，則

（2）乘除運(yùn)算1.3算法設(shè)計(jì)的若干原則(1)選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法。數(shù)值穩(wěn)定的算法：初始數(shù)據(jù)所帶有的誤差在計(jì)算的過程中能得到有效控制，不至于因誤差的過度增長影響計(jì)算結(jié)果的精度。P11，例（2）盡量減少運(yùn)算次數(shù)和節(jié)約存儲(chǔ)空間。例如:給定x的值,計(jì)算多項(xiàng)式的值。算法1：直接計(jì)算，乘法次數(shù)：次算法2：

乘法次數(shù)：次1、為計(jì)算，取，依據(jù)數(shù)值計(jì)算的基本準(zhǔn)則，如下哪個(gè)計(jì)算公式最好？練習(xí)：例如：

措施：小數(shù)加在前

(3)防止大小相近的兩個(gè)數(shù)相減。