新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題27 單變量恒成立之參變分離后導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)可求型 (教師版)_第1頁
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(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；(2)若對(duì)任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．解析(1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．當(dāng)a≤0時(shí)，由f′(x)<0得x<0，由f′(x)>0得x>0，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時(shí)，由f′(x)>0得x<ln(2a)或x>0，由f′(x)<0得ln(2a)<x<0，∴f(x)在(－∞，ln(2a))上單調(diào)遞增，在(ln(2a)，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，由f′(x)≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(x)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)a>eq\f(1,2)時(shí)，由f′(x)>0得x<0或x>ln(2a)，由f′(x)<0得0<x<ln(2a)，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a)，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)有1個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0且a≠eq\f(1,2)時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)沒有極值點(diǎn)．(2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0．當(dāng)x>0時(shí)，ex－x2－ax－1≥0，即a≤eq\f(ex－x2－1,x)對(duì)任意的x>0恒成立．設(shè)g(x)＝eq\f(ex－x2－1,x)，則g′(x)＝eq\f((x－1)(ex－x－1),x2)．設(shè)h(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1．∵x>0，∴h′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)>h(0)＝0，即ex－x－1>0，∴g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，

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