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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,的零點(diǎn)分別為,,,則()A. B.C. D.2.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.43.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.5.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.1006.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)若雙曲線上存在點(diǎn),使,且,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.7.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)(其中),求得的回歸方程是,則下列說(shuō)法正確的是()A.至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B.若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對(duì)所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)8.在中,點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn),,,則()A. B.-2 C. D.29.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.10.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.11.已知函數(shù)的一條切線為,則的最小值為()A. B. C. D.12.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則的面積為_(kāi)__________.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_______.15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a值范圍為_(kāi)________.16.的展開(kāi)式中,x5的系數(shù)是_________.(用數(shù)字填寫答案)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若對(duì)任意的,當(dāng)時(shí),都有恒成立,求最大的整數(shù).(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬(wàn)名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬(wàn)元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒(méi)有購(gòu)買該項(xiàng)保險(xiǎn),針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?21.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅱ)已知點(diǎn),點(diǎn),設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).22.(10分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點(diǎn)為與,,的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點(diǎn),即為與,,的交點(diǎn),作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.2.C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題4.C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度容易.6.A【解析】
由及雙曲線定義得和(用表示),然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率.【詳解】由題意∵,∴由雙曲線定義得,從而得,,在中,由余弦定理得,化簡(jiǎn)得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線定義用表示出到兩焦點(diǎn)的距離,再由余弦定理得出的齊次式.7.D【解析】
對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn),但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤;所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯(cuò)誤;相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8.A【解析】
設(shè),用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由,,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考,常見(jiàn)考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.10.A【解析】分析:通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.11.A【解析】
求導(dǎo)得到,根據(jù)切線方程得到,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,計(jì)算得到答案.【詳解】,則,取,,故,.故,故,.設(shè),,取,解得.故函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的切線問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.12.B【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由余弦定理先算出c,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.14.【解析】
求導(dǎo),得到和,利用點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于,,所以,由點(diǎn)斜式可得切線方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎(chǔ)題.15.【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問(wèn)題等價(jià)于在時(shí)恒成立,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.16.-189【解析】由二項(xiàng)式定理得,令r=5得x5的系數(shù)是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(1),;(2)【解析】試題分析:(1)利用等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比,即得到結(jié)論;(2)利用分組求和法,由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和.試題解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得d===1.∴an=a1+(n﹣1)d=1n設(shè)等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q,則q1===8,∴q=2,∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1,∴bn=1n+2n﹣1(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=1n+2n﹣1,∵數(shù)列{1n}的前n項(xiàng)和為n(n+1),數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)和為1×=2n﹣1,∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為;考點(diǎn):1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用;1.數(shù)列求和.19.(1)(2)2【解析】
(1)先求得切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對(duì)分成,兩種情況進(jìn)行分類討論.當(dāng)時(shí),將不等式轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值(設(shè)為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結(jié)合一元二次不等式恒成立,判別式小于零列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)已知函數(shù),則處即為,又,,可知函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線為,即.(2)注意到,不等式中,當(dāng)時(shí),顯然成立;當(dāng)時(shí),不等式可化為令,則,,所以存在,使.由于在上遞增,在上遞減,所以是的唯一零點(diǎn).且在區(qū)間上,遞減,在區(qū)間上,遞增,即的最小值為,令,則,將的最小值設(shè)為,則,因此原式需滿足,即在上恒成立,又,可知判別式即可,即,且可以取到的最大整數(shù)為2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.20.(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購(gòu)買了此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為∴(元).②若該老人沒(méi)有購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購(gòu)買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,為容易題.21.(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時(shí),討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒成立.∵在遞減,在遞增.∴.∵;(Ⅱ)∵點(diǎn),點(diǎn),∴,.①當(dāng)時(shí),可知,∴∴,,∴.∴在單調(diào)遞增,,.∴在上有一個(gè)零點(diǎn),②當(dāng)時(shí),,,∴,∴在恒成立,∴在無(wú)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí),,.∴在單調(diào)遞減,,.∴在存在一個(gè)零點(diǎn).綜上,的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1..【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查了分類討論思想,屬于壓軸題.22.(1);(2).
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