數學建模培訓-多目標規(guī)劃

多目標規(guī)劃數學建模培訓2012.07多目標規(guī)化模型多目標規(guī)劃是數學規(guī)劃的一個分支。研究多于一個的目標函數在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。又稱多目標最優(yōu)化。通常記為MOP(multi-objectiveprogramming)。在很多實際問題中，例如經濟、管理、軍事、科學和工程設計等領域，衡量一個方案的好壞往往難以用一個指標來判斷，而需要用多個目標來比較，而這些目標有時不甚協(xié)調，甚至是矛盾的。因此有許多學者致力于這方面的研究。

例如,對企業(yè)產品的生產管理,既希望達到高利潤,又希望優(yōu)質和低消耗,還希望減少對環(huán)境的污染等。這就是一個多目標決策的問題。又如選購一個好的計算機系統(tǒng),似乎只有一個目標,但由于要從多方面去反映,要用多個不同的準則來衡量,比如,性能要好,維護要容易,費用要省。這些準則自然構成了多個目標,故也是一個多目標決策問題。一般來說,多目標決策問題有兩類。一類是多目標規(guī)劃問題,其對象是在管理決策過程中求解使多個目標都達到滿意結果的最優(yōu)方案。另一類是多目標優(yōu)選問題,其對象是在管理決策過程中根據多個目標或多個準則衡量和得出各種備選方案的優(yōu)先等級與排序。多目標決策由于考慮的目標多,有些目標之間又彼此有矛盾,這就使多目標問題成為一個復雜而困難的問題.但由于客觀實際的需要,多目標決策問題越來越受到重視,因而出現了許多解決此決策問題的方法.一般來說,其基本途徑是,把求解多目標問題轉化為求解單目標問題.其主要步驟是,先轉化為單目標問題,然后利用單目標模型的方法,求出單目標模型的最優(yōu)解,以此作為多目標問題的解.化多目標問題為單目標問題的方法大致可分為兩類,一類是轉化為一個單目標問題,另一類是轉化為多個單目標問題,關鍵是如何轉化.以下,我們會介紹幾種主要的轉化方法:主要目標法、線性加權和法、字典序法、步驟法。一、多目標規(guī)劃及其解多目標規(guī)劃包含有三大要素：目標、方案和決策者。在多目標規(guī)劃中，目標有多層次的含義。從最高層次來看，目標代表了問題要達到的總目標。如確定最滿意的投資項目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標可看成是體現總目標得以實現的各個具體的目標，如投資項目的盈利要大、成本要低、風險要?。荒繕艘部煽闯珊饬靠偰繕说靡詫崿F的各個準則，如食品的味道要好，質量要好，花費要少。多目標規(guī)劃中的方案即為決策變量，也稱為多目標問題的解。備選方案即決策問題的可行解。在多目標決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。（一）任何多目標規(guī)劃問題，都由兩個基本部分組成:（1）兩個以上的目標函數；（2）若干個約束條件。

（二）對于多目標規(guī)劃問題，可以將其數學模型一般地描寫為如下形式：（2）（1）式中：為決策變量向量。

（三）多目標規(guī)劃解的特點對于上述多目標規(guī)劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：（1）每一個目標函數取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？（2）每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？多目標規(guī)劃問題的求解不能只追求一個目標的最優(yōu)化（最大或最?。活櫰渌繕?。

當目標函數處于沖突狀態(tài)時，就不會存在使所有目標函數同時達到最大或最小值的最優(yōu)解，于是我們只能尋求非劣解（又稱非支配解或帕累托解）。非劣解：可以用圖3說明。圖3多目標規(guī)劃的劣解與非劣解二、多目標規(guī)劃問題的建模方法

為了求得多目標規(guī)劃問題的非劣解，常常需要將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題去處理。實現這種轉化，有如下幾種建模方法。（三）約束模型理論依據：若規(guī)劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規(guī)劃問題就可以轉化為單目標規(guī)劃問題：

用目標達到法求解多目標規(guī)劃的計算過程，可以通過調用Matlab軟件系統(tǒng)優(yōu)化工具箱中的fgoalattain函數實現。三、多目標規(guī)劃問題的求解(化多為少的方法)1、主要目標法在有些多目標決策問題中，各種目標的重要性程度往往不一樣。其中一個重要性程度最高和最為關鍵的目標，稱之為主要目標法。其余的目標則稱為非主要目標。例如，在上述多目標問題中，假定f1(X)為主要目標，其余p-1個為非主要目標。這時，希望主要目標達到極大值，并要求其余的目標滿足一定的條件，即例題某工廠在一個計劃期內生產甲、乙兩種產品，各產品都要消耗A，B，C三種不同的資源。每件產品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產品的單位價格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產，才能使利潤和產值都最大，且造成的污染最??？甲乙資源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗9434510240200300單位產品的價格400600單位產品的利潤70120單位產品的污染32解：問題的多目標模型如下對于此模型的三個目標，工廠確定利潤最大為主要目標。另兩個目標則通過預測預先給定的希望達到的目標值轉化為約束條件。經研究，工廠認為總產值至少應達到20000個單位，而污染控制在90個單位以下，即由主要目標法化為單目標問題用單純形法求得其最優(yōu)解為2、線性加權和目標規(guī)劃在上述目標規(guī)劃中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量綱,按照一定的規(guī)則分別給fi賦予相同的權系數ωi，作線性加權和評價函數則多目標問題化為如下的單目標問題例如，某公司計劃購進一批新卡車，可供選擇的卡車有如下4種類型：A1，A2，A3，A4?，F考慮6個方案屬性：維修期限f1，每100升汽油所跑的里數f2，最大載重噸數f3，價格（萬元）f4，可靠性f5，靈敏性f6。這4種型號的卡車分別關于目標屬性的指標值fij如下表所示。fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般高A22.527003.665低一般A32.020004.245高很高A42.21800450很高一般首先對不同度量單位和不同數量級的指標值進行標準化處理。先將定性指標定量化：變換后的指標值矩陣為：aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001設權系數向量為W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),則故最優(yōu)方案為選購A3型卡車4、步驟法（STEM法）這是一種交互方法，其求解過程通過分析者與決策者之間的對話逐步進行，故稱步驟法。步驟法的基本思想是，首先需要求出原多目標問題的一組理想解(f1*,f2*,…,fk*)。實際上，這些解fi*(i=1,2,…,k)無法同時達到，但可以當作一組理想的最優(yōu)值。以理想解作為一個標準，可以估計有效解，然后通過對話，不斷修改目標值，并把降低要求的目標作為新的約束條件加入原來的約束條件中去重新計算，直到決策者得到滿意的解。把上述計算結果列入下表例題：某公司考慮生產兩種光電太陽能電池：產品甲和產品乙。這種生產過程會在空氣中引起放射性污染。因此，公司經理有兩個目標：極大化利潤與極小化總的放射性污染。已知在一個生產周期內，每單位甲產品的收益是1元，每單位乙產品的收益是3元。而放射性污染的數量，每單位甲產品是1.5個單位,每單位乙產品是1個單位.由于機器能力(小時)、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是目標有兩個:一是利潤最大,二是污染最小.該問題的多目標規(guī)劃模型如下:解:首先,分別求解兩個單目標問題的最優(yōu)解,由它們得到的目標函數值組成理想解.由此,構造支付表Xf1*f2*(7,13)(0,0)460-23.50由此計算兩個目標與理想值偏離的權重：解下列線性規(guī)劃問題:進行下一輪迭代.首先設π2=0,并計算得π1=1.將模型修改為由此求得:決策者把這一結果與前一輪的解及理想值作比較,認為兩個目標值都比較滿意,則迭代結束.線性目標規(guī)劃模型

線性規(guī)劃問題都是處理單個目標的情況，但是在現實世界中有許多問題具有多個目標，這些目標的重要性各不相同，往往有不同的量綱，有的目標相互依賴，例如決策者既希望實現利潤最大，又希望實現產值最大；有的相互抵觸，如決策者既希望充分利用資源，又不希望超越資源限量。而決策者希望在某些限制條件下，依次實現這些目標。這就是目標規(guī)劃所要解決的問題。當所有的目標函數和約束條件都是線性時，我們稱其為線性目標規(guī)劃問題。在這里我們主要討論線性目標規(guī)劃問題。一、線性目標規(guī)劃模型的建立

例1：某一個企業(yè)利用某種原材料和現有設備可生產甲、乙兩種產品，其中，甲、乙兩種產品的單價分別為8元和10元；生產單位甲、乙兩種產品需要消耗的原材料分別為2個單位和1個單位，需要占用的設備分別為1臺時和2臺時；原材料擁有量為11個單位；可利用的設備總臺時為10臺時。試問：如何確定其生產方案？但是，在實際決策時，企業(yè)領導者必須考慮市場等一系列其它條件，如：①根據市場信息，甲種產品的需求量有下降的趨勢，因此甲種產品的產量不應大于乙種產品的產量。②超過計劃供應的原材料，需用高價采購，這就會使生產成本增加。③應盡可能地充分利用設備的有效臺時，但不希望加班。④應盡可能達到并超過計劃產值指標56元。這樣，該企業(yè)生產方案的確定，便成為一個多目標決策問題，這一問題可以運用目標規(guī)劃方法進行求解。目標規(guī)劃模型的有關概念2、絕對約束和目標約束

絕對約束：必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規(guī)劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。

目標約束：目標規(guī)劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標值，在達到此目標值時允許發(fā)生正的或負的偏差，可加入正負偏差變量，是軟約束。線性規(guī)劃問題的目標函數，在給定目標值和加入正、負偏差變量后可以轉化為目標約束，也可以根據問題的需要將絕對約束轉化為目標約束。目標規(guī)劃模型的有關概念目標規(guī)劃模型的有關概念目標規(guī)劃模型的有關概念b)要求不超過目標值，即允許達不到目標值，就是正偏差變量要盡可能小，即（23）c)要求超過目標值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即（24）在實際問題中，可以根據決策者的要求，引入正、負偏差變量和目標約束，并給不同目標賦予相應的優(yōu)先因子和權系數，構造目標函數，建立模型。例2：在例1中，如果決策者在原材料供應受嚴格控制的基礎上考慮：首先是甲種產品的產量不超過乙種產品的產量；其次是充分利用設備的有限臺時，不加班；再次是產值不小于56元。并分別賦予這三個目標優(yōu)先因子。試建立該問題的目標規(guī)劃模型。在以上各式中，、分別為賦予優(yōu)先因子的第個目標的正、負偏差變量的權系數，為第個目標的預期值，為決策變量，、分別為第個目標的正、負偏差變量，（25）式為目標函數，（26）式為目標約束，（27）式為絕對約束，（28）式和（29）式為非負約束，、、分別為目標約束和絕對約束中決策變量的系數及約束值。其中，；；；。圖解法求解例2首先考慮具有優(yōu)先因子的目標的實現，在目標函數中要求實現，圖中可以滿足.這時的取值只能在OBC的邊界和內部取得。接著考慮優(yōu)先因子的目標的實現，在目標函數中要求實現，當時，其值可在線段ED上取得。最后考慮優(yōu)先因子的目標的實現，在目標函數中要求實現，當時，其值縮小到在線段GD上取得.這就是該目標規(guī)劃問題的解.G和D點凸組合都是此目標規(guī)劃的解.注：在目標規(guī)劃問題求解時，把絕對約束作最高優(yōu)先級考慮。在此例中，能依先后次序都滿足因而。但是大多數問題中并非如此，還可能出現非可行解，故將目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解成為滿意解。例如，某電視機廠裝配黑白和彩色兩種電視機，每裝配一臺電視機需占用裝配線1小時，裝配線每周計劃開動40小時。預計市場每周彩色電視機的銷量是24臺，每臺可獲利80元；黑白電視的銷量是30臺，每臺可獲利40元。該廠確定的目標為：第一優(yōu)先級：充分利用裝配線每周計劃開動40小時；第二優(yōu)先級：允許裝配線加班，但加班時間每周盡量不超過10小時；第三優(yōu)先級：裝配電視機的數量盡量滿足市場需求。因彩色電視機的利潤高，取其權系數為2.試建立此問題的目標規(guī)劃模型，并求解黑白和彩色電視機的產量。解：設分別為黑白和彩色電視機的產量。目標規(guī)劃模型為從圖中可以看到，再考慮具有的目標實現后，的取值范圍為ABCD。考慮的目標要求時，因的權系數大于，故先取。這時的取值范圍為ABEF。在ABEF中，只有E點使得取值最小，故去E點為滿意解。其坐標為(24,26)，即該廠每周應裝配彩色電視機24臺，黑白電視機26臺。所以檢驗數的正、負首先決定于的系數的正、負，若，則檢驗數的正、負就決定于的系數的正、負，下面可依此類推。據此，我們可以總結出求解目標規(guī)劃問題的單純形方法的計算步驟如下：①建立初始單純形表，在表中將檢驗數行按優(yōu)先因子個數分別排成L行，置。②檢查該行中是否存在負數，且對應的前L-1行的系數是零。若有，取其中最小者對應的變量為換入變量，轉③。若無負數，則轉⑤。③按最小比值規(guī)則（規(guī)則）確定換出變量，當存在兩個和兩個以上相同的最小比值時，選取具有較高優(yōu)先級別的變量為換出變量。④按單純形法進行基變換運算，建立新的計算表，返回②。⑤當l=L時，計算結束，表中的解即為滿意解。否則置l=l+1，返回②。例3：試用單純形法求解例2所描述的目標規(guī)劃問題解：首先將這一問題化為如下標準形式：①取、、、為初始基變量，列出初始單純形表。表1②取，檢查檢驗數的行，因該行無負檢驗數，故轉⑤。⑤因為，置，返回②。②檢查發(fā)現檢驗數行中有，，因為有，所以為換入變量，轉入③。③按規(guī)則計算：，所以為換出變量，轉入④。④進行換基運算，得到表2。以此類推，直至得到最終單純形表為止，如表3所示。表2表3由表3可知，，，為滿意解。檢查檢驗數行，發(fā)現非基變量的檢驗數為0，這表明該問題存在多重解。表4在表3中，以非基變量為換入變量，為換出變量，經迭代得到表4。從表4可以看出，，也是該問題的滿意解。

案例（提級加新問題）

某公司的員工工資有四級，根據公司的業(yè)務發(fā)展情況，準備招收部分新員工，并將部分員工的工資提升一級。該公司的員工工資及提級前后的編制表如下，其中提級后編制是計劃編制，允許有變化，其中1級員工中有8%要退休。公司領導的目標如下：1）提級后在職員工的工資總額不超過550千元；2）各級員工不要超過定編人數；3)為調動積極性，各級員工的升級面不少于現有人數的18%；4）總提級面不大于20%，但盡可能多提；5）4級不足編制人數可錄用新工人。

問：應如何擬定一具滿意的方案，才能接近上述目標？級別1234工資（千元）8643現有員工數10204030編制員工數10225230解：（1）決策變量：設x1,x2,x3,x4分別表示提升到1，2，3級和新錄用的員工數。偏差變量：di+,di-為各目標的正、負偏差變量。（2）約束條件：1）提級后在職員工的工資總額不超過550千元；8(10-108%+x1)+6(20-x1+x2)+4(40-x2+x3)+3(30-x3+x4)+

d1--d1+=550

2）各級員工不要超過定編人數1級有：10-108%+x1+d2--d2+=102級有：20-x1+x2+d3--d3+=223級有：40-x2+x3+d4--d4+=524級有：30-x3+x4+d5--d5+=303）各級員工的升級面不少于現有人數的18%對2級有：x1+d6--d6+=2218%對3級有：x2+d7--d7+=4018%對4級有：x3+d8--d8+=3018%

4）總提級面人數不大于20%，但盡可能多提x1+x2+x3+d9--d9+=10020%（3）目標函數：或者：五、層次分析法（一）層次分析法的基本原理層次分析法，又稱AHP(AnalyticHirrarchyProcess)方法，是美國運籌學家薩蒂(T.Saaty)提出的一種多目標、多準則的決策分析方法。該方法被廣泛應用于工程、經濟、軍事、政治、外交等領域，解決了諸如系統(tǒng)評價、資源分配、價格預測、項目選擇等許多重要問題，是一種定量分析與定性分析相結合的有效方法。用層次分析法作決策分析，首先要把問題層次化。根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互影響以及隸屬關系按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結構模型。最終把系統(tǒng)分析歸結為最低層（如決策方案）相對于最高層（總目標）的相對重要性權值的確定或相對優(yōu)劣次序的排序問題，從而為決策方案的選擇提供依據。

（二)層次分析法大體分為六個步驟1）明確問題：為了運用AHP進行系統(tǒng)分析，首先要對問題有明確的認識，弄清問題范圍、所包含的因素及其相互關系、解決問題的目的、是否具有AHP所描述的特征。2）建立層次結構模型：將問題中所包含的因素劃分為不同層次。例如，對于決策問題，通?？梢詣澐譃橄旅鎺讉€層次：最高層：表示解決問題的目的，稱為目標層。中間層：表示采取某種措施或政策實現預定目標的涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、準則層等。最低層：表示解決問題的措施或方案，稱為措施層或方案層。如下圖所示。決策目標準則1準則1準則m子準則1子準則2子準則k方案1方案2方案n目標層準則層子準則層方案層………………3）構造判斷矩陣針對上一層某元素，對每一層次各個元素的相對重要性進行兩兩比較，并給出判斷。這些判斷用數值表示出來，寫成矩陣形式，即所謂的判斷矩陣。其中bij表示對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性，通常bij取1,2,…,9及它們的倒數，其含義為：1表示Bi與Bj相比，兩者重要性相同3表示Bi比Bj稍重要5表示Bi比Bj重要7表示Bi比Bj強烈重要9表示Bi比Bj極端重要它們之間的數2，4，6，8及各數的倒數有相應的類似意義。顯然，對判斷矩陣有因此，對于n階判斷矩陣，我們僅需對n(n-1)/2個元素給出數值。4）層次單排序及其一致性檢驗所謂層次單排序，即把同一層次相應元素對于上一層次某元素相對重要性的排序權值求出來。其方法是計算判斷矩陣A的滿足等式的最大特征值和對應的特征向量W，這個特征向量就是單排序權值?？梢宰C明，對于n階判斷矩陣，其最大特征根為單根，且，所對應的特征向量均由正數組成。特別，當判斷矩陣具有完全一致性時,有這里，所謂完全一致性是指對于判斷矩陣來說，存在1.451.411.321.241.120.900.850.000.00RI987654321階數為檢驗判斷矩陣的一致性，需要計算一致性指標此外，還需要判斷矩陣的平均隨機一致性指標RI。對于1至9階矩陣，RI的值如下表。在這里，對于1,2階判斷矩陣，RI只是形式上的，因為1，2階判斷矩陣總具有完全一致性，當階數大于2時，判斷矩陣的一致性指標CI與同階平均隨機一致性指標RI之比稱謂隨機一致性比率，記為CR，CR=CI/RI<0.10時，即認為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則就需要調整判斷矩陣，使其具有滿意的一致性。5）層次總排序計算同一層次所有元素對于最高層相對重要性的排序權值，稱為層次總排序。這一過程是最高層次到最低層次逐層進行的。若上一層次A包含m個元素A1,A2,…,Am，其層次總排序權值分別為a1,a2,…,am，下一層次B包含n個元素B1,B2,…Bn，它們對于元素Aj的層次單排序權值分別為b1j,b2j,…,bnj（當Bk與Aj無關系時,bkj=0），此時，層次總排序權值為B層次總排序權重層次6）層次總排序的一致性檢驗。這一步也是從高到低逐層進行的。如果B層次某些元素對于Aj單排序的一致性指標為CIj，相應的平均隨機一致性指標為RIj，則B層次總排序隨機一致性比率為類似地，當CR<0.10時，認為層次總排序結果具有滿意的一致性，否則需要重新調整判斷矩陣的元素取值。(三)層次分析法的計算問題層次分析法計算的根本問題是如何計算判斷矩陣的最大特征根其對應的特征向量.一般來說,計算判斷矩陣最大特征根及其對應特征向量,并不需要追求較高的精確定度.這是因為判斷矩陣本身相當的誤差范圍.應用層次分析法給出的層次中各種元素優(yōu)先排序權值從本質上來說是表達某種定性的概念.因此,從實用性來看,往往希望使用較為簡單的近似算法.下面介紹二種稱之為方根法和和積法的近似算法.

(2)計算Mi的n次方根Vi(3)對向量V=(V1,V2,…,Vn)T規(guī)一化,即則W=(W1,W2,…,Wn)T.即為所求的特征向量1、方根法的步驟如下:(1)計算判斷矩陣B每一行元素的乘積Mi.(4)計算判斷矩陣的最大特征根式中(BW)i表示向量BW的第i個分量.容易證明：當正互反矩陣為一致性矩陣時，方根法可得到精確的最大特征值與相應的特征向量。證明：設為一致性矩陣，為其最大特征值，為相應的特征向量，且是歸一化的。由于令顯然，歸一化后，于是用公式，求得的最大特征值為n。例題某廠準備購買一臺計算機,希望功能強,價格低,維護容易.現有A,B,C三種機型可供選擇.其中A的性能較好,價格一般,維護需要一般水平;B的性能最好,價格較貴,維護也只需一般水平;C的性能差,但價格便宜,容易維護.首先構成分析層次,如圖購置一臺滿意的計算機功能強價格低易維護CBA對于三個準則(S1,S2,S3)關于目標G的優(yōu)先順序,根據討論,該廠在計算機應用上首先要求功能強,其次要求易維護,再次才是價格低.其判斷矩陣如下表131/3S31/311/5S2351S1S3S2S1G用方根法計算這三個準則關于目標的排序權值如下:一致性檢驗結果為:同樣,三個方案對于各個準則的判斷矩陣以及運算所得的結果分別見表0.09100.72720.1818W11/81/2C814B21/41ACBAS1對準則S1(功能強)來說:對準則S2(價格低)來說:0.67080.07330.2559W183C1/811/4B1/341ACBAS2對準則S3(易維護)來說:0.65870.15620.1851W153C1/511B1/311ACBAS3層次總排序的結果:0.2580.1050.6370.29840.51120.1904總排序權值0.65870.67080.0910C0.15620.07330.7272B0.18150.25590.1818ACBAS3從以上結果可知,B型計算機從綜合評價來看是最滿意的備選機型.2、和積法：步驟：ⅰ、求（每列歸一化）

（i，j=1，2…n）ⅱ、行求和