數(shù)字信號(hào)第一章

第一章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列1.2線性移不變系統(tǒng)1.3線性常系數(shù)差分方程1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣一.序列1.信號(hào)及其分類(1).信號(hào)信號(hào)是傳遞信息的函數(shù),它可表示成一個(gè)或幾個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。如，f(x);f(t);f(x,y)等。(2).連續(xù)時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)定義的信號(hào),幅值為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào),連續(xù)時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)常常通用。1-1離散時(shí)間信號(hào)-序列(3).離散時(shí)間信號(hào)與數(shù)字信號(hào)時(shí)間為離散變量的信號(hào)稱作離散時(shí)間信號(hào)；而時(shí)間和幅值都離散化的信號(hào)稱作為數(shù)字信號(hào)。nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012對(duì)信號(hào)我們主要討論數(shù)字信號(hào)的變換DFT——離散序列的傅里葉變換；FFT——快速傅里葉變換；ZT——序列的Z變換；DFS——周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)；DTFT——序列的傅里葉變換；DCT——離散余弦變換；FCT——快速離散余弦變換；2.序列

離散時(shí)間信號(hào)又稱作序列。通常，離散時(shí)間信號(hào)的間隔是均勻的，所以可用x(n)表示序列﹛x(n)﹜。x(n)具有兩重意義：既代表一個(gè)序列，又代表序列中第個(gè)數(shù)值。需要特別說明，這里的x(n)僅對(duì)n為整數(shù)時(shí)才有定義,對(duì)于非整數(shù)的n，x(n)沒有意義，把它理解為零也不正確。

例:就默認(rèn)序列是從n=0開始。式中小箭頭表示n=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的樣值，若無小箭頭或x2(n)={3522}x1(n)={11/21/41/8}n0

=(1/2)nx2(n)=3522n=0n=1n=2n=

1值的大小，有時(shí)為了描述序列的一般規(guī)律（變化趨勢(shì)），01234之間的關(guān)系。序列也常用譜線狀的圖形表示，以線段的長短表示序列也將端點(diǎn)用虛線（包絡(luò)線）聯(lián)起來，以方便觀察序列值x(n)n二.幾種常用序列1.單位樣值序列(單位沖激)

(n)n101234┅2.單位階躍序列...0123-1nu(n)3.矩形序列...012N-1-1n314.實(shí)指數(shù)序列5.復(fù)指數(shù)序列6.正弦型序列

其中，ω0為數(shù)字頻率。對(duì)模擬正、余弦信號(hào)采樣可以得到正、余弦序列。T為采樣周期

x(n)=x(nT)=sin(n0T)

=

sin(n0)例x(t)=sin(0t)其中0

=

0T為數(shù)字域頻率

數(shù)字域頻率是模擬域頻率對(duì)采樣頻率取歸一化值，即：推廣到一般：正、余弦序列的一般表示為=

T=/fs注:例：（1）x(n)=cos(n0)，若0

=/5，

2N=/5=10（2）sin(n0)，若0

=8/3，N=3令n=0，1，2，3，4，（3）sin(n0)，若0

=1/4，2/0

=/2sin(n0)=[0,0.2474,0.47943,0.68184,0.84147,0.94898,]7.用單位抽樣序列表示任意序列8.序列的能量

x(n)的能量定義為

1.序列相加2.序列相乘標(biāo)量乘以序列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加形成新的序列序列的每一項(xiàng)乘以標(biāo)量對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘形成新的序列y(n)=x1(n)+x2(n)y(n)=x1(n)x2(n)ax(n)=a{x(n)}二.序列的運(yùn)算與變換

3、移序或移位y(n)是原序列x(n)每項(xiàng)左移m位形成的序列。y(n)=x(nm)y(n)是原序列x(n)每項(xiàng)右移m位形成的序列。y(n)=x(n+m)m>04、折疊x(n+m)逐項(xiàng)右移（時(shí)延）m位x(nm)逐項(xiàng)左移（時(shí)延）

m位{y(n)}=x(n)y(n)是將x(n)以縱軸為對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)形成的序列。折疊位移序列y(n)=x(n±m(xù))5.尺度變換（1）抽?。簒(n)x(mn),

m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(2n)，相當(dāng)于每兩個(gè)點(diǎn)取一點(diǎn)形成的；即時(shí)間軸壓縮了2倍。以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(n/2)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)之間插一個(gè)點(diǎn)形成的，即時(shí)間軸擴(kuò)展了2倍；以此類推。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。6.累加和某一序列為x(n),則x(n)的累加序列

y(n)定義為

即表示n以前的所有x(n)的和。7.差分前向差分（先左移后相減）：后向差分（先右移后相減）：？差分的運(yùn)算：8.卷積和（1）卷積的定義及計(jì)算方法：設(shè)序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為卷積和計(jì)算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。要記住：等比級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式。例：求：解：1.翻褶.以m=0為對(duì)稱軸，折迭h(m)

得到h(-m)，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(0)；2.位移一個(gè)單元，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(1)；3.重復(fù)步驟2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亞變量坐標(biāo)m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1對(duì)應(yīng)相乘，逐個(gè)相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/2（2）卷積的性質(zhì)1）交換律x1(n)x2(n)=

x1(m)x2(nm)m==x2(m)x1(nm)=x2(n)x1(n)

m=2）分配律x1(n)[x2(n)+x3(n)]=x1(n)x2(n)+x1(n)x3(n)3）結(jié)合律x1(n)x2(n)x3(n)=x1(n)[x2(n)x3(n)]=[x1(n)x2(n)]x3(n)=x2(n)[x1(n)x3(n)]4)任意序列與(n)卷積5）任意序列與u(n)卷積(n)x

(n)=x(n)(nm)x

(n)=x(nm)u(n)x

(n)=

x(k)k=n4）卷積的移序y(n+m)=x1(n+m)x2(n)=x1(n)x2(n+m)

y(nm)=x1(nm)x2(n)=x1(n)x2(nm)

y(n+m1+m2)=x1(n+m1)x2(n+m2)

y(nm1m2)=x1(nm1)x2(n

m2)

1-2線性移不變系統(tǒng)系統(tǒng)實(shí)際上表示對(duì)輸入信號(hào)的一種運(yùn)算，所以離散時(shí)間系統(tǒng)就表示對(duì)輸入序列的運(yùn)算，即x(n)離散時(shí)間系統(tǒng)

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]

設(shè)系統(tǒng)具有：

那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。

一.線性系統(tǒng)二.移不變系統(tǒng)

如T[x(n)]=y(n),則T[x(n-m)]=y(n-m),滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作移不變系統(tǒng)。即系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間改變，或者說系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與輸入信號(hào)加入系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān)。

*移（時(shí)）不變例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不變系統(tǒng).解：因?yàn)門[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是移不變系統(tǒng).

例:判斷下列系統(tǒng)是否為線性非移變系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)；是非移變系統(tǒng)。=y(nn0)(1)

y(n)=T[x(n)]=ex(n)(2)

y(n)=T[x(n)]=nx(n)=

[y(n)]a解(1)

T[ax(n)]=eax(n)=[ex(n)]aay(n)T[x(nn0)]=ex(nn0)y1(n)=T[x1(n)]=nx1(n)

=anx1(n)+bnx2(n)=ay1(n)+by2(n)y2(n)=T[x2(n)]=nx2(n)

=n[ax1(n)+bx2(n)]T[ax1(n)+bx2(n)]是線性系統(tǒng)；T[x(nn0)]=nx(nn0)

y(nn0)是移變系統(tǒng)。=(nn0)x(nn0)(2)令三.單位抽樣響應(yīng)與卷積和1.線性移不變系統(tǒng)具有移不變特性的線性系統(tǒng)。2.單位抽樣響應(yīng)h(n)

當(dāng)線性移不變系統(tǒng)的輸入為δ(n)，

其輸出h(n)稱為單位抽樣響應(yīng)，即

h(n)=T[δ(n)](n)h(n)T[δ(n)]線性移不變系統(tǒng)

h(n)x(n)y(n)3.卷積和

y(n)=x(n)*h(n)四.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.交換律

2.結(jié)合律3.對(duì)加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)[例]：已知兩線性移不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，其單位抽樣響應(yīng)分別為

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,當(dāng)輸入x(n)=u(n)

時(shí)，求輸出。[解]：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)五.因果系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出只取決于此刻以及以前時(shí)刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。*系統(tǒng)輸出變化不會(huì)發(fā)生在輸入變化之前；*實(shí)際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)；*y(n)=x(-n)是非因果系統(tǒng),因n<0的輸出決定n>0的輸入;線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為

h(n)=0，n<0。六.穩(wěn)定系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是1-3常系數(shù)線性差分方程

一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：

或*常系數(shù)：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常數(shù)（不含n）.*階數(shù)：y(n)變量n的最大序號(hào)與最小序號(hào)之差，如N=N-0.*線性：y(n-k),x(n-m)各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)。一.差分方程的建立

LTI離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算有延時(shí)（移序），乘法，加法，且系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)是時(shí)間的離散值，因此系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型需采用差分方程來描述。1.加法器x1(n)y(n)x2(n)+2.乘法器ax(n)y(n)3.單位(時(shí)間)延遲器x(n)y(n)二.差分方程的解法解差分方程的方法有三種，它們是遞推法（迭代法）、經(jīng)典法和變換域法。其中只有遞推法適合用計(jì)算機(jī)求解。1.時(shí)域經(jīng)典法（當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較高或激勵(lì)較復(fù)雜時(shí)，適用經(jīng)典法。

）差分方程特征方程：齊次解：非重根時(shí)的齊次解L次重根時(shí)的齊次解共軛根時(shí)的齊次解特解：自由項(xiàng)為的多項(xiàng)式

則特解為自由項(xiàng)含有且不是齊次根，則特解自由項(xiàng)含有且是單次齊次根，

則特解自由項(xiàng)含有且是K次重齊次根 則特解特解：自由項(xiàng)為正弦或余弦表達(dá)式

則特解為是差分方程的特征方程的m次重根時(shí)，

則特解是完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù)，于是得到完全解的閉式。齊次解特解的形式代入差分方程特解完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù)，得到完全解的閉式2.用迭代法求解差分方程例1.設(shè)因果系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，輸入信號(hào)x(n)=δ(n)，求輸出信號(hào)y(n)。當(dāng)差分方程階次較低時(shí)常用此法解該系統(tǒng)差分方程是一個(gè)一階差分方程，需要一個(gè)初始條件。下面假設(shè)兩種初始條件，順便分析初始條件對(duì)輸出的影響。

(1)設(shè)初始條件：

y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=ny(n)=an(2)設(shè)初始條件:y(-1)=1n=0y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=ny(n)=(1+a)an最后得到:y(n)=(1+a)anu(n)

例２.設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，輸入信號(hào)x(n)=δ(n)。已知當(dāng)n>0時(shí)，y(n)=0，求輸出信號(hào)y(n)。 解因?yàn)槔}中已假設(shè)n>0時(shí),y(n)=0，只能向n<0方向遞推，先把差分方程寫成下面形式:y(n-1)=a-1［y(n)-δ(n)］n=1y(0)=a-1［y(1)-δ(1)］=0n=0y(-1)=a-1［y(0)-δ(0)］=-a-1n=-1y(-2)=a-1［y(-1)-δ(-1)］=-a-2…

按照上面遞推規(guī)律，歸納得到y(tǒng)(n-1)=-an-1，再用n代替式中的n-1，將最后的結(jié)果寫成

y(n)=-anu(-n-1)觀察上式，由于初始條件限制，確實(shí)得到的是一個(gè)非因果的輸出信號(hào)。 例３.設(shè)因果系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，y(-1)=1，試分析該系統(tǒng)是否是線性、時(shí)不變系統(tǒng)。

解為了分析系統(tǒng)是否具有線性、時(shí)不變性質(zhì)，在上面假設(shè)的初始條件下，先分別求出系統(tǒng)對(duì)于以下三種不同輸入信號(hào)的輸出，然后再分析判斷。

(1)x(n)=δ(n),系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。 y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)

該情況在例1中已求出，系統(tǒng)的輸出為

y1(n)=(1+a)anu(n)

(2)x(n)=δ(n-1),系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)n=0y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=an=1y2(1)=ay2(0)+δ(0)=1+a2n=2y2(2)=ay2(1)+δ(1)=(1+a2)a…ny2(n)=(1+a2)an-1最后得到：y2(n)=(1+a2)an-1

u(n-1)+aδ(n)

(3)x(n)=δ(n)+δ(n-1),系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。

y3(n)=ay3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)

n=0y3(0)=ay3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a

n=1y3(1)=ay3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2

n=2y3(2)=ay3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+a2)a …

ny3(n)=(1+a+a2)an-1

最后得到： y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)δ(n) 由(1)和(2)得到：

y1(n)=T［δ(n)］

y2(n)=T［δ(n-1)］

y1(n)=(1+a)anu(n)

y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+aδ(n)

觀察y1(n)和y2(n)，它們的輸入信號(hào)類型相同，只是y2(n)的輸入信號(hào)比y1(n)輸入信號(hào)延時(shí)一個(gè)單位;如果是時(shí)不變系統(tǒng)，y2(n)比y1(n)只是延時(shí)一個(gè)單位，但是

y2(n)≠y1(n-1)因此可斷言這是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。情況(3)的輸入信號(hào)是情況(1)和情況(2)輸入信號(hào)的相加信號(hào)，如果是線性系統(tǒng)，應(yīng)具有線性疊加性質(zhì)，但是y3(n)=T［δ(n)+δ(n-1)］y3(n)≠y1(n)+y2(n)y3(n)≠T［δ(n)］+T［δ(n-1)］

因此該系統(tǒng)也不是線性系統(tǒng)。但是如果將該例的初始條件改為y(-1)=0，這時(shí)對(duì)應(yīng)于上面的三種情況的輸出信號(hào)為y1(n)=anu(n)y2(n)=an-1u(n-1)y3(n)=(1+a)an-1u(n-1)+δ(n)=an-1u(n-1)+anu(n-1)+δ(n)=an-1u(n-1)+anu(n)例:已知常系數(shù)線性差分方程為

y(n)-ay(n-1)=x(n)，試求單位抽樣響應(yīng)h(n).解：因果系統(tǒng)有h(n)=0,n<0;方程可寫作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)

1.一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。2.我們討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。注意：

對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間上的離散化，這是對(duì)信號(hào)作數(shù)字化處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。研究內(nèi)容：信號(hào)經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化）信號(hào)內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號(hào)、如何不失真地還原信號(hào)）由離散信號(hào)恢復(fù)連續(xù)信號(hào)的條件

采樣的這些性質(zhì)對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采樣過程。

1-4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣一、時(shí)域采樣離散樣值，如下圖所示。采樣就是利用“采樣器”，從連續(xù)信號(hào)中“抽取”信號(hào)的時(shí)域采樣是用數(shù)字技術(shù)處理連續(xù)信號(hào)的重要環(huán)節(jié)。xs(t)x(t)采樣器0xs(t)t0x(t)t1.采樣過程離散的樣值函數(shù)通常稱為“采樣”信號(hào)。“采樣”也稱表示。采樣信號(hào)在時(shí)間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號(hào)，還須經(jīng)量化編碼轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號(hào)。所以數(shù)字信號(hào)是時(shí)間離散化，樣值量化并被編碼的信號(hào)?！叭印?、“抽樣”。采樣信號(hào)是離散信號(hào)，一般用xs(t)b最簡單的采樣器如上圖所示，是一個(gè)電子開關(guān)。電子開關(guān)的作用，可以用一個(gè)如上圖b所示的乘法器開關(guān)接通，信號(hào)通過，開關(guān)斷開，信號(hào)被短路。而這個(gè)等效。乘法器輸出為零，等效為開關(guān)斷開，信號(hào)通不過去，圖中的p(t)是周期性開關(guān)函數(shù)。當(dāng)p(t)為零時(shí)，xs(t)x(t)axs(t)x(t)p(t)p(t)0時(shí)信號(hào)通過。

實(shí)際抽樣：tp(t)0tTp(t)為脈沖序列…理想抽樣：tt…（沖激序列）周期開關(guān)函數(shù)p(t)的傅氏級(jí)數(shù)為對(duì)上式取傅氏變換，得到周期開關(guān)函數(shù)p(t)的頻譜此時(shí)頻譜應(yīng)為二者的卷積，即因?yàn)閤s(t)是x(t)與p(t)的乘積，由頻域卷積定理可知，p(t)=Pnejnstn=P()=F[p(t)]=F[

Pnejnst]n==

PnF[ejnst]n==2

Pn(ns)n=將得到Pn為加權(quán)系數(shù)。xs(t)Xs()

=2X()P()1Xs()

=2X()12

Pn(ns)n==

PnX(ns)n=上式表明，時(shí)域采樣信號(hào)頻譜

Xs()，是原信號(hào)頻譜X

()以采樣角頻率

s為間隔的周期重復(fù)，其中在理想取樣情況下，不難推出序列的頻譜函數(shù)。=

(tnT)n=p(t)

=T(t)式中，

T=2/s是取樣周期Xs(j)xs(t)

=x(t)

T(t)s為取樣角頻率

=

x(nT)

(tnT)n=xs(t)Xs

()所以可得Pn=(t)ejnstdt=T/2T1T/2=

PnX(ns)n==

X(ns)n=T1[

+X(+s)+X()+X(s)+]

T1=n=0

n=1

n=1T1是常數(shù)1/T

。上式表示，理想采樣的頻譜

Xs()，是原信號(hào)頻譜X()的加權(quán)周期重復(fù)，其中周期為

s，加權(quán)系數(shù)[

+X(+s)+X()+X(s)+]

T1Xs

()=理想采樣信號(hào)與頻譜如圖所示。01X()mm0x(t)t…(1)0…p(t)T2Tt…0xs(t)2TTt……Xs()ssmm1/T……P()sss如果從調(diào)制的角度分析可以認(rèn)為X()是基帶頻譜，譜Xs()是由基帶頻譜與各次諧波調(diào)制頻譜組成的。而X(±s)是一次諧波調(diào)制頻譜，X(±2s)是二次諧波調(diào)制頻譜，以此類推。這樣，理想采樣的頻m1m1mmXs()m<s

/2m<s/2<m1

X(j)0……ssmm2s

1/Ts

20m=s/2ssmm2s

1/Ts

2Xs()0X(j)有混疊的重復(fù)。s/2<m1

x(t)為一限帶信號(hào)，最高頻率m

s/2，則Xs(j)是X(j)沒有混疊的重復(fù)，若最高頻率m>

s/2，則是Xs()0ss2ss

2m1m1

1/T2.取樣定理定。對(duì)于一個(gè)帶限信號(hào)，其取樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍，這就是奈奎斯特取樣頻率?；騧

s/2s2mT=1/fs

1/2fm一個(gè)頻譜受限的信號(hào)x(t)，其最高頻率為fm，可以用不大于T=1/(2fm)的時(shí)間間隔進(jìn)行抽樣的抽樣值唯一地確

實(shí)際工作中，考慮到有噪聲，為避免頻譜混淆，采樣頻率總是選得比兩倍信號(hào)最高頻率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同時(shí)，為避免高于折疊頻率的噪聲信號(hào)進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于S/2頻率分量進(jìn)入。例:確定信號(hào)x(t)=Sa(50t)的奈奎斯特頻率。解x(t)=Sa(50t)

，利用傅里葉變換的對(duì)稱性可得式中g(shù)100

()是中心在原點(diǎn)，寬度為100，幅度為1的門函數(shù)。即X(j)是最高角頻率為m=50rad/s的

501/50

>500X(j)=g100

()501=的奈奎斯特頻率fs=50Hz。矩形頻譜函數(shù)，信號(hào)的最高頻率fm=25Hz，所以x(t)二、原信號(hào)的恢復(fù)（插值）對(duì)采樣我們所討論的是采樣信號(hào)與被采樣信號(hào)頻譜之間的插值所要討論的問題是與之相逆的問題，即是已知在號(hào)的頻譜是被采樣信號(hào)頻譜沒有重疊的周期重復(fù)。信息。從頻譜分析可見，當(dāng)滿足奈奎斯特頻率時(shí)，采樣信關(guān)系。由此可知采樣信號(hào)是否不失真地包含被采樣信號(hào)的系。即如何從xs(t)恢復(fù)x(t)。

基帶內(nèi)Xs(j)等于X(j)，討論它們時(shí)域信號(hào)對(duì)應(yīng)的關(guān)中恢復(fù)原信號(hào),其中低通的截止頻率應(yīng)滿足：通過一個(gè)基帶濾波器（低通），可以提取x(t)H()是理想低通濾波器,可以從滿足采樣定理的xs(t)

CT式中H(j)=0

>CXs()

H()

=X()m≤c≤sm

圖

由理想低通恢復(fù)原信號(hào)的過程xs(t)x(t)

h(t)0xs(t)t0x(t)tT0H()cc0X()mm0……Xs()mm采樣信號(hào)通過此濾波器后，就可濾出原信號(hào)的頻譜：

也就恢復(fù)了模擬信號(hào)：

實(shí)際上，理想低通濾