數(shù)學(xué)建模課程培訓(xùn)(一)

數(shù)學(xué)建模中的物理什么是數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、圖表等刻畫現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式、圖形或算法；數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是對(duì)于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；一種理想化、抽象化的方法，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的典型方法；它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制；數(shù)學(xué)模型的概念玩具、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型~物理模型~符號(hào)模型我們常見的模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟歷年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中與物理相關(guān)的建模題2005年A題：高速公路的行駛速度估計(jì)和最佳策略2006年C題：維修線性流量閥時(shí)的內(nèi)筒設(shè)計(jì)2008年A題：汶川地震唐家山堰塞湖泄洪問(wèn)題2010年B題：與封堵潰口有關(guān)的重物落水后運(yùn)動(dòng)過(guò)程的數(shù)學(xué)建模劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000米成績(jī)t(分)種類1234

平均單人7.167.257.287.17

7.21雙人6.876.926.956.77

6.88四人6.336.426.486.13

6.32八人5.875.925.825.735.84艇長(zhǎng)l

艇寬b(米)(米)

l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問(wèn)題分析前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力前進(jìn)動(dòng)力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒(méi)面積

對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運(yùn)用合適的物理定律建立模型模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號(hào)：艇速v,浸沒(méi)面積

s,浸沒(méi)體積A,空艇重w0,阻力f,漿手?jǐn)?shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績(jī)

t

n

–1/9npfv模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論的應(yīng)用炮兵在進(jìn)行射擊演習(xí)時(shí)必須考慮建立安全區(qū)的問(wèn)題，而炮兵在實(shí)際作戰(zhàn)中，為充分發(fā)揮炮彈的威懾力，就必須避免將敵人的重要目標(biāo)置于安全區(qū)內(nèi)。因此當(dāng)一門大炮的技術(shù)參數(shù)確定后，首先要?jiǎng)澏ò踩珔^(qū)。確定炮彈射擊安全區(qū)yxvxvyα所有曲線都與一條曲線l相切，由曲線l，x軸和y軸圍成平面圖像繞y軸旋轉(zhuǎn)一圈構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體分析問(wèn)題炮彈左右移動(dòng)的張角有限，設(shè)最大張角為ω曲線l稱為安全線，安全線上任一點(diǎn)有且僅有一條彈道軌線與之相切安全線為彈道軌線族的包絡(luò)線，設(shè)彈道軌線組為安全線上的任一點(diǎn)必有彈道軌線族中的某條曲線與之相切，所以安全線上的點(diǎn)P(x,y)是參數(shù)α的函數(shù)安全線的斜率為彈道曲線在P點(diǎn)的斜率為建立模型建立模型建立模型當(dāng)時(shí)，炮彈飛行高度不超過(guò)炮彈射程為不忽略阻力的情況下，安全區(qū)又是怎么確定的？2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d