專題空間幾何體(易錯(cuò)起源)

【2017課標(biāo)1，理7】某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B2.【2017課標(biāo)II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）A． 90 B ．63 C ．42 D ．36【答案】B【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（A）3 2 （B）2 3 （C）2 2 （D）2【答案】B【解析】幾何體是四棱錐 P ABCD，如圖.最長的棱長為補(bǔ)成的正方體的體對(duì)角線，即該四棱錐的最長棱的長度l22222223，故選B.4.【2017山東，理13】由一個(gè)長方體和兩個(gè)1圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積4為 .【答案】22【解析】由三視圖可知，長方體的長、寬、高分別為 2，1，1，圓柱的高為 1，底面圓半徑為 1，所以V211π121π22.425.【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形 .沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐 .當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位： cm3）的最大值為 _______.【答案】415【解析】如下圖，連接交于點(diǎn)，設(shè)，，重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長為(>0)，則13233x.6FGSG53x，622SOhSG2GO253x3x553x，663三棱錐的體積V1SABCh13x2553x155x43x5.3343123設(shè)nx5x43x5，x>0，則nx20x353x4，33令nx0，即4x3x40，得x43，易知nx在x43處取得最大值.3∴Vmax154854415.126、【2016高考新課標(biāo) 1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑28若該幾何體的體積是 ,則它的表面積是（ ）

x.3（A）17 （B）18 （C）20 （D）28【答案】A【解析】該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的1,設(shè)球的半徑為R,則V74R328,解得R2,所以它的表面積是788338的球面面積和三個(gè)扇形面積之和S=7422+3122=17故選A．847.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【答案】C【解析】由題意可知，圓柱的側(cè)面積為S12π2416π，圓錐的側(cè)面積為Sπ248π2，圓柱的底面面積為S3π224π，故該幾何體的表面積為SS1S2S328π，故選C.【2016年高考北京理數(shù)】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A.1 B.6【答案】A

1C.1D.132【解析】分析三視圖可知，該幾何體為一三棱錐PABC，其體積V111111，故選A.3269.【2016高考新課標(biāo) 3理數(shù)】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ）（A）18 365 （B）54 185 （C）90 （D）81【答案】B【解析】由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積S 2 3 6 23 3 2 3 35 54 185，故選B．10.【2016高考山東理數(shù)】一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體， 其三視圖如圖所示 .則該幾何體的體積為（ ）（A）12π（B）12π（C）12π（D）12π3333366【答案】C易錯(cuò)起源 1、三視圖與直觀圖例1、(1)(2016·課標(biāo)全國甲 )如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( )A．20πB．24πC．28πD．32π(2)將長方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為 ( )答案 (1)C (2)D【變式探究】 (1)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是 ( )(2)一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是 ( )答案 (1)D (2)B解析 (1)由俯視圖，易知答案為 D.由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長方體和一個(gè)截角三棱柱組合．從上往下看，外層輪廓線是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部有一條線段連接的兩個(gè)三角形．【名師點(diǎn)睛】空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正 (主)視圖的下面，長度與正 (主)視圖的長度一樣，側(cè) (左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對(duì)正、高平齊、寬相等”．2．由三視圖還原幾何體的步驟一般先從俯視圖確定底面再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體．易錯(cuò)起源 2、幾何體的表面積與體積例2、(1)(2016·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 ( )A.111B.C.D．1632如圖，在棱長為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，連接EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體 EFC1－DBC的體積為( )A．66 B．68C．70 D．72答案 (1)A (2)A解析 (1)由三視圖知，三棱錐如圖所示：由側(cè)視圖得高 h＝1，1 1又底面積S＝2×1×1＝2.1所以體積V＝3Sh＝6.如圖，連接DF，DC1，1 1那么幾何體 EFC1－DBC被分割成三棱錐 D－EFC1及四棱錐D－CBFC1，那么幾何體 EFC1－DBC的體積為V＝3×213×4×6＋3×2×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求幾何體 EFC1－DBC的體積為66.【變式探究】某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為 ________．45答案2【名師點(diǎn)睛】求多面體的表面積的基本方法就是逐個(gè)計(jì)算各個(gè)面的面積，然后求和．求體積時(shí)可以把空間幾何體進(jìn)行分解，把復(fù)雜的空間幾何體的體積分解為一些簡單幾何體體積的和或差．求解時(shí)注意不要多算也不要少算．【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考中常見的一個(gè)考點(diǎn)，解決這類問題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧，把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧．易錯(cuò)起源 3、多面體與球例3、(1)已知三棱錐 S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2 3，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，則球O的表面積為()A．4πB．12πC．16πD．64π(2)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A.500π3B.866π33cmcm3C.1372π3D.2048π33cm3cm答案(1)C(2)A解析(1)在△ABC中，2 2 2BC＝AB＋AC－2AB·ACcos60°＝3，2 2 2∴AC＝AB＋BC，即AB⊥BC，又SA⊥平面

ABC，∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以 AB＝1，BC＝ 3，SA＝2 3為長、寬、高的長方體，∴球O的直徑＝12＋32＋32＝4，2故球O的表面積為 4π×2＝16π.過球心與正方體中點(diǎn)的截面如圖，設(shè)球心為點(diǎn) O，球半徑為 Rcm，正方體上底面中心為點(diǎn) A，上底面一邊的中點(diǎn)為點(diǎn) B，在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4cm，OB＝Rcm，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，435003∴V球＝πR＝π(cm)．故選A.33【變式探究】在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面積分別為232，2，62，則三棱錐A－BCD的外接球體積為________．答案6π解析 如圖，以AB，AC，AD為棱把該三棱錐擴(kuò)充成長方體，則該長方體的外接球恰為三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的直徑是長方體的體對(duì)角線長．AB·AC＝2，AB＝2，據(jù)題意·＝3，解得AC＝1，ACAD·＝，＝3，6ABAD∴長方體的體對(duì)角線長為2＋2＋2＝6，ABACAD6∴三棱錐外接球的半徑為2.∴三棱錐外接球的體積為＝46)3＝6π.V3π·(2【名師點(diǎn)睛】三棱錐P－ABC可通過補(bǔ)形為長方體求解外接球問題的兩種情形：(1)點(diǎn)P可作為長方體上底面的一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn) A、B、C可作為下底面的三個(gè)頂點(diǎn)；P－ABC為正四面體，則正四面體的棱都可作為一個(gè)正方體的面對(duì)角線．