概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章(PPT)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計教師:陳敏教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

同濟大學出版社序言?概率論是研究什么的？隨機現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的科學

第一章隨機事件與概率隨機事件及其運算事件的概率及其性質(zhì)古典概型與幾何概型條件概率與貝葉斯公式事件的獨立性與伯努利概型

1.1隨機事件及其概率

一、隨機事件試驗Ⅰ：一個盒子中有十個完全相同的白球，攪勻后從中任意摸取一個球。試驗Ⅱ：一個盒子中有十個完全相同的球，但5個是白色的，另外5個是黑色的，攪勻后從中任意摸取一個球。確定性現(xiàn)象：在一定條件下，必定會導致某種確定的結(jié)果。（如試驗Ⅰ）

“蘋果，不抓住必然往下掉?！?/p>

此現(xiàn)象非常廣泛，例如：

“早晨，太陽必然從東方升起。”

“帶同種電荷的兩個小球必互相排斥，帶異種電荷的小球必互相吸引?！薄霸谝粋€標準大氣壓下，當溫度達到100攝氏度時，純凈水一定沸騰。隨機現(xiàn)象：在一定條件，具有多種可能發(fā)生的結(jié)果，而且事先都不能預言多種可能結(jié)果中會出現(xiàn)哪一種。試驗Ⅱ它具有兩個特點：(1)

在一次實驗中，現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即結(jié)果呈現(xiàn)不確定性；

(2)在大量重復試驗中，其結(jié)果具有統(tǒng)計規(guī)律性。例如：“扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲”

“某地區(qū)的年降雨量”

“某電話交換站在單位時間內(nèi)收到用戶呼喚的次數(shù)”

“打靶射擊時，彈著點離靶心的距離”隨機試驗(randomexperiment)一個實驗如果滿足下列條件1.實驗可以在相同條件下重復進行；

2.實驗的所有可能結(jié)果是明確可知道的，并且不止一個；3.每次實驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前無法確定具體是哪一個結(jié)果出現(xiàn)。

就稱這樣的試驗是一個隨機試驗，為方便起見，也簡稱為試驗。常用字母E表示。E1:拋一枚硬幣，分別用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:擲一顆骰子，可能出現(xiàn)的點數(shù)；E3:記錄110報警臺一天接到的報警次數(shù)；E4:在一批燈泡中任取一只，測其壽命；E5:記錄某物理量(長度、直徑)的測量誤差；E6:在區(qū)間[0，1]上任取一點，記錄它的坐標。隨機實驗的例子樣本空間(samplespace)幻燈片6

隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為一個樣本點，用字母表示。隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，用字母表示。例如,試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況:

則樣本空間第1次第2次(H,H):(H,T)：(T,H):(T,T)：HHHTTTHT

在每次試驗中必有一個樣本點出現(xiàn)且僅有一個樣本點出現(xiàn)

.如果試驗是測試某燈泡的壽命：則樣本點是一非負數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認為任一非負實數(shù)都是一個可能結(jié)果，故

樣本空間若試驗是將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)：則樣本空間由以上兩個例子可見樣本空間的元素是有試驗的目的所確定的。隨機事件(randomevent)實驗E的樣本空間的子集稱為E的隨機事件。隨機事件簡稱事件，常用A,B,C等表示。在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生?；臼录河梢粋€樣本點組成的單點集。（最簡單的不可再分的事件）兩個特殊事件：在隨機試驗E中，必然出現(xiàn)的事件，1必然事件：Certainevent2不可能事件：實驗E中不可能出現(xiàn)的事件Impossibleevent1.包含(contain)關系“事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生”

記為AB

隨機事件的關系與運算對任意事件A，都有2.和(union)事件：“事件A與事件B至少有一個發(fā)生，記作AB2’n個事件A1,A2,…,An至少有一個發(fā)生，記作例1袋中有5個白球和3個黑球，從中任取3個球。令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球顏色相同”，則例2甲乙兩人向同一目標射擊，令A表示“甲命中目標”，B表示“乙命中目標”，C表示“目標被命中”，則3.積(intersection)事件:A與B同時發(fā)生，記作AB＝AB3’n個事件A1,A2,…,An同時發(fā)生，記作A1A2…An4.差事件(p5)：A－B稱為A與B的差事件,表示事件A發(fā)

生而事件B不發(fā)生思考：何時A-B=?何時A-B=A？5.互斥的事件(mutuallyexclusiveevent)：事件A與事件B不可能同時發(fā)生，即AB＝,簡稱A與B互不相容。

6.對立事件(oppositeevent):若事件A與事件B在一次實驗中必有且只有其中一個發(fā)生，即A,B滿足條件AB＝,且AB＝則稱事件A與事件B為互逆事件，或稱事件A,B互為對立事件，事件A的對立事件記為注意：1若A與B為對立事件，則A與B互不相容，但反過來不一定成立。2互斥事件和對立事件都是A發(fā)生B就不發(fā)生。3對立事件就只有A,B兩事件，A不發(fā)生B就一定發(fā)生，非此即彼。4互斥事件可以有多個事件，如A.B.C.D…,A不發(fā)生B不一定發(fā)生，同一時間只有一個發(fā)生。例2在圖書館中隨意抽取一本書，事件A表示數(shù)學書，B表示“中文圖書”，C表示“平裝書”.(1)說明事件的實際意義；(2)若說明什么情況；(3)若是否意味著館中所有數(shù)學書都不是中文版的？解：隨意抽取的書為中文版非平裝的數(shù)學書；非平裝版的書都是中文圖書；館中所有數(shù)學書都不是中文版的.概率論樣本空間事件事件A發(fā)生事件A不發(fā)生必然事件不可能事件集合論子集概率論事件A發(fā)生導致事件B發(fā)生“事件A與B至少有一個發(fā)生”“事件A與B同時發(fā)生”“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”事件A與B互不相容集合論例1設A,B,C,是中的隨機事件，則事件“A與B發(fā)生，C不發(fā)生”“A,B,C中至少有兩個發(fā)生”“A,B,C中恰發(fā)生兩個”“A,B,C中有不多于一個事件發(fā)生”事件的運算1、交換律：AB＝BA，AB＝BA2、結(jié)合律：(AB)C＝A(BC)，

(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、對偶(DeMorgan)律：例：甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：

1.2事件的概率及其性質(zhì)

1.理解事件頻率的概念，了解概率的定義；2.熟練掌握概率的性質(zhì)；3.掌握古典概型的計算。

研究隨機現(xiàn)象，不僅關心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？我先給大家舉幾個例子，也希望你們再補充幾個例子.例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.頻率的定義頻率：頻率所具有的三個性質(zhì)1.非負有界性：即3.可加性：即若A,B互不相容，則實踐證明：當試驗次數(shù)n增大時，

逐漸趨向一個穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率2.規(guī)范性：即若是必然事件，則拋擲錢幣試驗記錄試驗者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)頻率DeMorgan208410610.518Bufen404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005

注意到不論是對概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學上，我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義概率的定義1特別地，當A與B互不相容時，4.減法公式設A,B為兩個隨機事件，則特別地，例1設A,B為兩個隨機事件，例2設A,B為兩個隨機事件，例3設A,B互不相容，例4設A,B,C是三個事件，且求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率.解已知由故得所求概率為例4

某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.解:設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報若某實驗E滿足：1.有限性：樣本空間含有有限個樣本點;2.等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，即有則稱E為古典概型也叫等可能概型。1.2.1.古典概型古典概型中的概率:根據(jù)概率的有限可加性知：于是對任意一個隨機事件A,如果A是r個基本事件的和，即則有P(A)具有如下性質(zhì)(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，則

P(AB

)＝P(A)＋P(B)也即例1擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)奇數(shù)點的概率。解樣本空間樣本點總數(shù)而事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”用A表示，則所含樣本點數(shù)從而例2:有三個子女的家庭,設每個孩子是男是女的概率相等,則至少有一個男孩的概率是多少?解:設A表示至少有一個男孩,以H表示某個孩子是男孩，T表示某個孩子是女孩，={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}樣本空間的樣本點總數(shù)A中樣本點數(shù)為則有二、古典概型的幾類基本問題乘法原理：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法。（也可推廣到分若干步）復習：排列與組合的基本概念加法原理：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。（也可推廣到若干途徑）這兩原理的思想貫穿著整個概率問題的求解。有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，nnnn共有nk種排列方式.無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.排列與組合都是計算“從n個元素中任取k個元素”的取法總數(shù)公式，其主要區(qū)別在于：如果不考慮取出元素間的次序，則用組合公式，否則用排列公式，而是否考慮元素間的次序，可以從實際問題中得以辯別。古典概型實驗滿足以下兩點：1）基本事件的總數(shù)是有限的；2）每個基本事件發(fā)生的可能性相等。稱此實驗為古典概型古典概型概率計算公式，A為一隨機事件，則有1、抽球問題例1:設盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。答:取到一紅一白的概率為3/5種取法，即基本事件總數(shù)A所包含的基本事件數(shù)為解:設A表示“取到一紅一白”，從5個球中任取兩個，共有例2袋中有5個白球3個黑球，從中任取兩個，求取到兩個球顏色相同的概率。解從8個球中任取兩個，共有種取法，即基本事件總數(shù)記A表示“取到的兩個球顏色相同”，A包含兩種情況：全是白球或全是黑球。全是白球有種取法，全是黑球有種取法，由加法原理知，A的取法共種，即A包含的基本事件數(shù)，故一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。2、分球入盒問題例4：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設A:每盒恰有一球,B:空一盒例5設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去住，求下列事件的概率：（1）指定的n個房間各有一個人住；（2）恰好有n個房間，其中各住一個人；（3）指定的一間房恰有k個人住。某班級有n個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?幾何概型概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點，但它也有明顯的局限性，要求樣本點有限，如果樣本空間中的樣本點有無限個，概率的古典定義就不適用了.把有限個樣本點推廣到無限個樣本點的情況，人們引入了幾何概型，由此形成了確定概率的另一方法?！獛缀畏椒◣缀胃判?1)從１，２，……，９共９個數(shù)字中任取一個數(shù)字，取出的數(shù)字為偶數(shù)的概率.

求下列隨機事件發(fā)生的概率.

古典概型的兩個特點:

②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個.計算公式：

940101320．．。．（2）在區(qū)間（10，20］內(nèi)的所有實數(shù)中，隨機地取一個實數(shù)a，滿足a≤13的概率．①——試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件個數(shù)是無限的．②——每個基本事件發(fā)生的可能性相等．因此：事件A發(fā)生的概率與所在的位置無關，只與所取的區(qū)域的長度成比例．試驗的基本事件是：從區(qū)間（10，20]內(nèi)的所有實數(shù)中任取一個實數(shù)a．設事件A={取出的實數(shù)a≤13}．．．．．．．103若滿足１５≤a≤1８呢？(4)在1000mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.

與體積成比例0.002(3)在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,如果在海域中任意點鉆探,鉆到油層面的概率.0.004與面積成比例幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型(geometricmodelsofprobability)，簡稱幾何概型．計算公式:定義:構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積)P(A)=例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。解：以分鐘為單位，記上一次報時時刻為0，則下一次報時時刻為60，于是，這個人打開收音機的時間必在內(nèi)，記“等待時間短于10分鐘”為事件A,則有于是1.4條件概率條件概率與乘法公式全概率公式與貝葉斯公式理解條件概率的概念及其性質(zhì)。

掌握條件概率公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式的概率計算，并能運用這些公式進行一些實際問題分析。一、條件概率1.條件概率的概念在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}，P(A)=1/6，P(A|B)=？已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.容易看到P(A|B)擲骰子

B中共有3個元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個在集A中.于是又如，10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記A={取到一等品}，

B={取到正品}則P(A)=3/10，P(A|B)A={取到一等品}，

B={取到正品}P(A)=3/10，P(A|B)=3/7本例中，計算P(A)時，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只是加上“事件B已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.2.條件概率的定義設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).?“條件概率”是“概率”嗎？條件概率符合概率定義中的三個條件對概率所證明的一些結(jié)果都適用于條件概率例1在全部產(chǎn)品中有4%是廢品，有72%為一等品?，F(xiàn)從其中任取一件為合格品，求它是一等品的概率。解設A表示“任取一件為合格品”，B表示“任取一件為一等品”，注意，則所求概率為例2盒中有5個黑球3個白球，連續(xù)不放回地從中取兩次球，每次取一個。若已知第一次取到的是白球，求第二次取出的是黑球的概率。解設A表示“第一次取球取出的是白球”，B表示“第二次取球取出的是黑球”，所求概率為由于第一次取球取出的是白球，所以第二次取球時盒中有5個黑球2個白球，由古典概型的概率計算方法得二、乘法公式設A、B

，P（A）>0,則

P(AB)＝P(A)P(B|A).(1.4.2)式(1.4.2)就稱為事件A、B的概率乘法公式。

式(1.4.2)還可推廣到三個事件的情形：

P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).(1.4.3)

一般地，有下列公式：

P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).(1.4.4)例在10個產(chǎn)品中，有2件次品，不放回的抽取2次產(chǎn)品，每次取一個，求取到兩件產(chǎn)品都是次品的概率。解設A表示“第一次取產(chǎn)品取到次品”，B表示“第二次取產(chǎn)品取到次品”，則故求例5設求例6設一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.

我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”

i＝1,2,3,4,5.則表示“第i個人未抽到入場券”顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5也就是說，第1個人抽到入場券的概率是1/5.由于由乘法公式也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，

P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.課堂練習某人忘記了電話號碼的最后一數(shù)字，因而他就隨機的撥號。假設撥完整個號碼算一次撥號。求他撥號不超過三次而接通所需電話的概率。(2)若已知最后一位數(shù)字是奇數(shù)，求上述概率。三、全概率公式與貝葉斯公式例4.(p16)市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B定義(p15)事件組A1，A2，…，An(n可為)，稱為樣本空間的一個劃分，若滿足：A1A2……………AnB定理1、(p15)設A1，…,An是的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B有

式(1.3.3)就稱為全概率公式。例5有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球．這六個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；甲乙式(1.3.4)就稱為貝葉斯公式。思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:定理2(p16)設A1，…,An是

的一個劃分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，則對任何事件B，有

例7盒中有5個白球3個黑球，連續(xù)不放回地從中去兩次球，每次取一個，若第二次取到白球，求第次一取到到黑球的概率。例8某工廠中有甲，乙，丙三臺機器生產(chǎn)同一型好的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量各占30%，35%，35%，并且在各自的產(chǎn)品中廢品率為5%，4%，3%，若任取一件為廢品，分別求它是由甲，乙，丙生產(chǎn)的概率。

商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解:設A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:例6數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”。現(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA(P＝)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+＝＝0.067解：設A---發(fā)射端發(fā)射0，

B---接收端接收到一個“1”的信號．0(0.55)01不清(0.9)(0.05)(0.05)1(0.45)10不清(0.85)(0.05)(0.1)條件概率條件概率小結(jié)縮減樣本空間定義式乘法公式全概率公式貝葉斯公式3.已知求(1)至少有一個發(fā)生的概率；(2)全不發(fā)生的概率.解因為所以至少有一個發(fā)生的概率全不發(fā)生的概率5.從0,1,…,9中任意選出3個不同的數(shù)字，試求下列事件的概率(1)3個數(shù)字中不含0與5的概率(2)3個數(shù)字中不含0或5的概率.解設

表示“3個數(shù)字中不含0與5”;表示“3個數(shù)字中不含0或5”.基本事件總數(shù)其中包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)有概率的可加性和概率的乘法公式上述公式稱為概率運算中的全概率公式。例1已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者?，F(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，問是色盲患者的概率是多少？解設A表示“任選一人是男性”，B表示“任選一人是女性”，C表示“任選一人，此人是色盲”，所求概率為P(C)全概率公式與貝葉斯公式1全概率公式對于比較復雜事件概率的計算，經(jīng)常會把它分解為若干個簡單事件的和，通過分別計算這些簡單事件的概率，利用概率的可加性計算出所求事件的概率。依題意知由全概率公式得在例1中，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者?，F(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

2貝葉斯公式則B發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率由乘法公式和全概率公式可得該公式稱為貝葉斯(Bayes)公式B是任意一個事件通常認為是導致試驗結(jié)果B的原因，稱為先驗概率，若實驗產(chǎn)生了結(jié)果B,探究它發(fā)生的原因，稱條件概率為后驗概率，它反映了試驗之后各種原因發(fā)生的可能性大小。例4針對某種疾病進行一種化驗，患該病的人中有90%呈陽性反應，而未患該病的人中有5%呈陽性反應。設人群中有1%的人患這種病。若某人做這種化驗呈陽性反應，則他患這種疾病的概率是多少？解設A表示“某人患這種病”，B表示“化驗呈陽性反應”，則由全概率公式得再由貝葉斯公式得通常認為是導致試驗結(jié)果B的原因，稱為先驗概率，若實驗產(chǎn)生了結(jié)果B,探究它發(fā)生的原因，稱條件概率為后驗概率，它反映了試驗之后各種原因發(fā)生的可能性大小。在例1中，已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者?，F(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

三、全概率公式看一個例子:有三個箱子,分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球,3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}其中A1、A2、A3兩兩互斥123B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時發(fā)生，例2某工廠中，三臺機器分別生產(chǎn)某種產(chǎn)品總數(shù)的25%，35%，40%，它們生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別有5%，4%，2%的次品，將這些產(chǎn)品混在一起，現(xiàn)隨機地取一產(chǎn)品，問它是次品的概率是多少？又問這一次品是由三臺機器中的哪臺機器生產(chǎn)的概率大？即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥運用加法公式得到P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式.對求和中的每一項運用乘法公式得證明由于互不相容，且，故也互不相容，則定義設事件滿足如下條件：(1)互不相容，且(2)即至少有一個發(fā)生，則稱為樣本空間的一個劃分。注意當是的一個劃分時，每次試驗有且只有其中一個發(fā)生。全概率公式設隨機試驗對應的樣本空間為，設是樣本空間的一個劃分，B是任意一個事件，則例1盒中有5個白球3個黑球，連續(xù)不放回地從中取兩次球，每次取一個，求第二次取到白球的概率。解設A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，則由全概率公式得例2某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量15%，20%，30%和35%，又這四條流水線的不合格品率依次為0.05，0.04，0.03及0.02?，F(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，問恰好抽到不合格品的概率為多少？解令A表示“任取一件，恰好抽到不合格品”表示“任取一件，恰好抽到第i條流水線的產(chǎn)品”于是由全概率公式得例3(續(xù)例2)在上述例子中，若該廠規(guī)定，出了不合格品要追究有關流水線的經(jīng)濟責任?，F(xiàn)在在出廠產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果為不合格品，但該件產(chǎn)品是哪一條流水線生產(chǎn)的標志已經(jīng)脫落，問廠方如何處理這件不合格品比較合理？比方說，第四條流水線承擔多大責任？解從概率論的角度考慮可以按的大小來追究第四條流水線的經(jīng)濟責任，由條件概率定義知在前面的計算中，已經(jīng)利用全概率公式求得而于是2貝葉斯公式則B發(fā)生條件下發(fā)生的條件概率由乘法公式和全概率公式可得該公式稱為貝葉斯(Bayes)公式B是任意一個事件通常認為是導致試驗結(jié)果B的原因，稱為先驗概率，若實驗產(chǎn)生了結(jié)果B,探究它發(fā)生的原因，稱條件概率為后驗概率，它反映了試驗之后各種原因發(fā)生的可能性大小。例4針對某種疾病進行一種化驗，患該病的人中有90%呈陽性反應，而未患該病的人中有5%呈陽性反應。設人群中有1%的人患這種病。若某人做這種化驗呈陽性反應，則他患這種疾病的概率是多少？解設A表示“某人患這種病”，B表示“化驗呈陽性反應”，則通常認為是導致試驗結(jié)果B的原因，稱為先驗概率，若實驗產(chǎn)生了結(jié)果B,探究它發(fā)生的原因，稱條件概率為后驗概率，它反映了試驗之后各種原因發(fā)生的可能性大小。例4針對某種疾病進行一種化驗，患該病的人中有90%呈陽性反應，而未患該病的人中有5%呈陽性反應。設人群中有1%的人患這種病。若某人做這種化驗呈陽性反應，則他患這種疾病的概率是多少？解設A表示“某人患這種病”，B表示“化驗呈陽性反應”，則由全概率公式得再由貝葉斯公式得例已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者?，F(xiàn)從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解設A表示“任選一人是男性”，B表示“任選一人是女性”，C表示“任選一人，此人是色盲”，依題意知由全概率公式得由貝葉斯公式得1.5事件的獨立性

1)理解事件獨立性的概念2）掌握事件獨立性的性質(zhì)3）理解重復獨立實驗的概念和二項概率公式的問題背景，會使用事件的獨立性和二項概率公式進行各種概率計算一兩事件獨立定義

對任意的兩個事件A,B,若成立，則稱事件A,B是相互獨立的，簡稱為獨立的。例1分別擲兩枚均勻的硬幣，令

A={硬幣甲出現(xiàn)正面}B={硬幣乙出現(xiàn)正面}驗證事件A,B是相互獨立的。由此知這時有成立，所以A,B是相互獨立的。證明這是樣本空間共含有4個基本事件，它們是等可能的，各有概率為，而

例2從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}問事件A、B是否獨立？解由于P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2,P(AB)=2/52=1/26.可見,P(AB)=P(A)P(B)

故事件A、B獨立.辨析：事件獨立性與互斥的區(qū)別1定義角度區(qū)別互斥

對立事件獨立性從集合角度定義從概率角度定義2.若，則A,B獨立一定不互斥，互斥一定不獨立。例1對任意事件A,B，下列結(jié)論正確的是()若，則A,B一定獨立B)若，則A,B可能獨立C)若，則A,B一定獨立D)若，則A,B一定不獨立B例設A,B是互斥事件，則以下結(jié)論正確的是()解析C事件的獨立性有下列性質(zhì)：性質(zhì)1設，則A,B相互獨立的充分必要條件是設，則A,B相互獨立的充分必要條件是證明只證第一部分，另一部分類似。設A與B相互獨立，則，于是反之，若，由乘法公式有即A與B相互獨立。性質(zhì)2若A與B相互獨立，則都相互獨立。證明只證與獨立，由于A與B相互獨立知。故有兩事件獨立的定義知與獨立定理、以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件相互獨立；(3)事件相互獨立；(4)事件相互獨立。例3兩射手彼此獨立地向同一目標射擊，設甲射中目標的概率為0.9，乙射中目標的概率為0.8，求目標被擊中的概率。解設A表示“甲射中目標”，B表示“乙射中目標”，C表示“目標被擊中”則，A與B相互獨立，，故或例4設A與B相互獨立，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，且，求解由題意，因為A與B相互獨立，則練習設兩個相互獨立的事件A與B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則例設，則A與B相互獨立證明如果A,B相互獨立，則例設A,B是任意兩事件，其中，則A與B相互獨立的充要條件是二、多個事件的獨立性對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系對n(n>2)個事件相互獨立兩兩獨立?三、獨立性的概念在計算概率中的應用對獨立事件，許多概率計算可得到簡化

例2三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號為1，2，3，記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3所求為已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]123例33門高射炮同時對一架敵機各發(fā)一炮，它們的命中率分別為0.1，0.2和0.3，求敵機恰中一彈的概率。解B表示“敵機恰中一彈”，則其中，互不相容，且相互獨立，則3.假設一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占

，從中任取1件，結(jié)果不是三等品求取到的是一等品的概率.解：設表示“抽到等品”(由于互不相容，所以)8.某工廠中，三臺機器分別生產(chǎn)某種產(chǎn)品總數(shù)的它們生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別有的次品，將這些產(chǎn)品混在一起，現(xiàn)隨機地取一產(chǎn)品，問它是次品的概率是多少？又問這一次品是由三臺機器中的哪臺機器生產(chǎn)的概率最大？解：設表示“任取一件產(chǎn)品為第

臺機器生產(chǎn)”表示“任取一件產(chǎn)品，它是次品”，則由全概率公式得再由貝葉斯公式得所以這一次品是由第二臺機器生產(chǎn)的概率最大.四.n重貝努利(Bernoulli)試驗(1)獨立重復試驗將試驗E重復進行n次,若各次試驗的結(jié)果互不影響,即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是相互獨立的,或稱為n次獨立重復試驗.(2)n重貝努利試驗

定理在n重貝努利試驗中，設每次試驗中事件A的概率為P，則事件A恰好發(fā)生k次的概率稱該式為二項概率公式。例1一射手對一目標獨立射擊4次，每次射擊的命中率為0.8，求(1)恰好命中兩次的概率；(2)至少命中一次的概率。解因為每次射擊是相互獨立的，故此問題可看作4重貝努利實驗，(1)設事件表示“4次射擊恰好命中兩次”，則所求概率為(2)設事件B表示“4次射擊中至少命中一次”，又表示“4次射擊中都未命中”，則故所求概率為例2一車間有5臺同類型且獨立工作的機器，假設在任一時刻t，每臺機器出故障的概率為0.1，問在同一時刻(1)沒有機器出故障的概率是多少？(2)至多有一臺機器出故障的概率是多少？解在同一時刻觀察5臺機器，它們是否出故障是相互獨立的，故可看做5重貝努力試驗，p=0.1,q=0.9.設表示“沒有機器出故障”，表示“有一臺機器出故障”，B表示“至多有一臺機器出故障”，則于是有例3某人有一串m把外形相同的鑰匙，其中有一把能打開家門，有一天該人酒醉后回家，下意識的每次從m把鑰匙中隨便拿一只去開門，問該人在第k次才打開的概率多大？解因為該人每次從m把鑰匙中任取一把(試用后不做記號又放回)，所以能打開家門的一把鑰匙在每次試用中恰被選中的概率為，易知這是一個貝努利試驗。在第k次才把門打開，意味著前面的次沒有打開，于是由獨立性既得例4已知每枚地對空導彈擊中來犯敵機的概率為0.96，問需要發(fā)射多少枚導彈才能保證至少有一枚導彈擊中敵機的概率大于0.999？解設需要發(fā)射n枚導彈，各枚導彈是否擊中敵機是獨立的，可看作n重貝努利試驗，p=0.96,q=0.04.至少有一枚導彈擊中敵機的概率為由題意，要求，即，則故至少需要發(fā)射3枚導彈才能滿足要求。第一章內(nèi)容小結(jié)理解隨機現(xiàn)象，隨機試驗和隨機事件的概念；掌握事件的4種運算：事件的并，事件的交，事件的差和事件的余；掌握事件的4個運算法則：交換律，結(jié)合律，分配律和對偶律；理解事件的4種關系：包含關系，相等關系，對立關系和互不相容關系.2了解古典概型的定義，會計算簡單的古典概型中的相關概率3理解概率的定義，理解概率與頻率的關系，掌握概率的基本性質(zhì)。特別地，當A與B互不相容時，會用這些性質(zhì)進行概率的基本運算。4理解條件概率的概念掌握乘法公式會用條件概率公式和乘法公式進行概率計算。5掌握全概率公式和貝葉斯公式，會用它們計算較簡單的相關問題。6理解事件獨立性的定義及充要條件。理解事件的關系——相互對立，互不相容與相互獨立三者的聯(lián)系與區(qū)別。7理解n重貝努利試驗的定義，掌握貝努利概型的重要計算公式1．設A、B、C是三個隨機事件。試用A、B、C分別表示事件1）A、B、C至少有一個發(fā)生

；

2）A、B、C中恰有一個發(fā)生；

3）A、B、C不多于一個發(fā)生；

2．設A、B為隨機事件，，，。求

.

3．若事件A和事件B相互獨立，，則4.甲、乙兩人獨立的對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標被命中，求它是甲射中的概率？

5一射手對一目標獨立的射擊4次，若至少命中一次的概率為，求射手射擊一次命中目標的概率？6把10本書任意放在書架的一排上，其中指定的3本書放在一

起的概率為

。7.袋中有50個乒乓球，其中20個黃的，30個白的，現(xiàn)在兩個人不放回地依次從袋中隨機各取一球。則第二人取到黃球的概率是

（A）1/5（B）2/5

（C）3/5（D）4/5()1．設A、