正方形性質與判定

正方形矩形菱形平行四邊形有一個角是直角有一組鄰邊相等回顧：特殊的平行四邊形矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形叫正方形

菱形一個角是直角正方形∟發(fā)現(xiàn)：一個角為直角的菱形叫正方形正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形有一個角是直角的菱形叫做正方形有一組鄰邊相等的矩形叫正方形正方形即是特殊的平行四邊形又是特殊的矩形和菱形平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關系!菱形矩形平行四邊形正形方正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質正方形有哪些性質？正方形的性質邊角對角線對稱性圖形語言

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符號語言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟對邊平行，四條邊都相等

四個角都是直角對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD軸對稱圖形CD\\B\A\正方形對邊平行且四條邊相等數(shù)學語言：∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD正方形四個角都是直角數(shù)學語言：∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°ABCD對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD小試牛刀1、正方形具有而菱形不一定具有的性質是（

）（A）四條邊相等（B）對角線互相垂直平分（C）對角線平分一組對角（D）對角線相等2、正方形具有而矩形不一定具有的性質是（）（A）四個角相等（B）對角線互相垂直平分（C）對角線相等（D）對角互補3、如圖：正方形ABCD的周長為15cm，則矩形EFCG的周長為

cm。

ABCDEGFDB7.56.正方形ABCD中，M為AD中點，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，則AC=________.課堂練習4.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一點,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,則PE+PF=______________.530°16cm5.以正方形ABCD的邊DC向外作等邊△DCE,則∠AEB=_____.PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析7.已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為CD、CB延長線上的點，且DE=BF。求證：∠AFE=∠AEF。ABCDEF性質應用如圖，點E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，BE=CF，探索圖中AE與BF的關系。ABCDEFG性質應用

你覺得什么樣的四邊形是正方形呢?(判斷一個四邊形是正方形有哪些方法？）平行四邊形正方形一組鄰邊相等且一內角是直角1、正方形菱形2、一內角是直角矩形3、一組鄰邊相等正方形常見判定方法平行四邊形正方形對角線垂直且相等4、矩形6、對角線垂直正方形常見判定方法正方形菱形對角線相等5、正方形的判定1、有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。2、一組鄰邊相等的矩形是正方形。3、有一個角是直角的菱形是正方形。4、對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形。5、對角線相等的菱形是正方形。6、對角線垂直的矩形是正方形。總之，既是矩形又是菱形的四邊形是正方形√√√×判斷題:(1)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形（）(2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（）(3)如果一個菱形的對角線相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一個矩形的對角線互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形是正方形（）√快速反應1．不能判定四邊形是正方形的是（）A．對角線互相垂直且相等的四邊形B．對角線互相垂直的矩形C．對角線相等的菱形D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形2、（綿陽）四邊形ABCD的對角線相交于點O，能判定它是正方形的條件是（）A．AB=BC=CD=DAB．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分D．AB=BC，CD=DAAC3.已知四邊形ABCD是菱形，則只須補充條件：

（用字母表示）就可以判定四邊形ABCD是正方形．4.已知四邊形ABCD是矩形，則只須補充條件：

（用字母表示）就可以判定四邊形ABCD是正方形．例1：如圖，正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，過點E作EF⊥BC，EG⊥CD，垂足為F、G。求證：AE=FG。

ACBDFGE例2.已知:如圖,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分線,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別是E、F.FABCDE求證：四邊形DEBF是正方形.證明:∵DE⊥AB,DF⊥BC∴∠BED=∠BFD=∠ABC=900,∴四邊形DEBF是矩形,

∵BD平分∠ABC,且DF⊥BC,DE⊥AB,

∴DE=DF,∴四邊形DEBF是正方形.

（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）例3：在正方形ＡＢＣＤ中，點Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分別是ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中點，四邊形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形嗎？為什么？ＡＢＣＤD`C`B`Ａ`變式訓練：正方形ＡＢＣＤ中，點Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分別在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四邊形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形嗎？為什么？D`C`B`A`DCBA變式練習:正方形ＡＢＣＤ中，對角線AC和BD交于點O，點Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分別是ＡO，ＢO，ＣO，ＤO的中點，判斷四邊形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`的形狀。說明原因ＡＢＣＤD`C`B`Ａ`O變式練習:正方形ＡＢＣＤ中，對角線AC和BD交于點O，點Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分別在AC、BD上，且ＡＡ`＝ＢＢ`=ＣＣ`＝ＤＤ`.

判斷四邊形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`的形狀

ＡＢＤD`C`B`Ａ`OＣ例3：（淄博）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．例4、如圖，△ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于E，交∠BCA的外角平分線于點F.(1)求證：EO=FO(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.(3)當點O運動到何處時，四邊形AECF是有可能是正方形？并證明你的結論.邊角對角線對稱性平行四邊形矩形菱形正方形幾種特殊四邊形的性質