平穩(wěn)時序模型

平穩(wěn)時序模型第一頁，共七十四頁，2022年，8月28日時間序列的預處理平穩(wěn)性檢驗純隨機性檢驗第二頁，共七十四頁，2022年，8月28日時間序列的預處理時間序列平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性時間序列非平穩(wěn)性時間序列純隨機性檢驗白噪聲序列(純隨機序列)平穩(wěn)非白噪聲序列無規(guī)律可循，分析結(jié)束ARMA模型1.確定性分析2.隨機性分析（ARIMA模型）第三頁，共七十四頁，2022年，8月28日平穩(wěn)時間序列的意義

時間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性可列的多個隨機變量，而每個變量只有一個樣本觀察值平穩(wěn)性的重大意義極大地減少了隨機變量的個數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量極大地簡化了時序分析的難度，減少了待估參數(shù)的個數(shù)第四頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖檢驗（特點）這種方法是通過觀察時間序列的趨勢圖和自相關(guān)圖來判斷時間序列是否存在趨勢性或周期性。優(yōu)點：簡便、直觀。對于那些明顯為非平穩(wěn)的時間序列，可以采用這種方法。缺點：對于一般的時間序列是否平穩(wěn)，不易用這種方法判斷出來。第五頁，共七十四頁，2022年，8月28日(1)時序圖檢驗（判斷準則）根據(jù)平穩(wěn)時間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個常數(shù)值附近隨機波動，而且波動的范圍有界、無明顯趨勢及無周期特征第六頁，共七十四頁，2022年，8月28日(2)自相關(guān)圖檢驗（判斷準則）平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會很快地衰減向零。若時間序列的自相關(guān)函數(shù)在k>3時都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時間序列具有平穩(wěn)性；若時間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時間序列就不具有平穩(wěn)性。第七頁，共七十四頁，2022年，8月28日若序列無趨勢，但是具有季節(jié)性，那末對于按月采集的數(shù)據(jù)，時滯12，24，36……的自相關(guān)系數(shù)達到最大(如果數(shù)據(jù)是按季度采集，則最大自相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)在4，8，12，……)，并且隨著時滯的增加變得較小。第八頁，共七十四頁，2022年，8月28日若序列是有趨勢的，且具有季節(jié)性，其自相關(guān)函數(shù)特性類似于有趨勢序列，但它們是擺動的，對于按月數(shù)據(jù)，在時滯12，24，36，……等處具有峰態(tài)；如果時間序列數(shù)據(jù)是按季節(jié)的，則峰出現(xiàn)在時滯4，8，12，……等處。第九頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.1時序圖第十頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.1自相關(guān)圖第十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.2時序圖第十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.2自相關(guān)圖第十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.3時序圖第十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.3自相關(guān)圖第十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.2純隨機性檢驗純隨機序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質(zhì)

第十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日標準正態(tài)白噪聲序列時序圖

第十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日標準正態(tài)白噪聲序列純隨機性檢驗樣本自相關(guān)圖第十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日白噪聲序列的性質(zhì)

純隨機性

各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒有記憶”的序列

方差齊性(平穩(wěn))

根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計值才是準確的、有效的第十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日時間序列的建模原理動態(tài)性第二十頁，共七十四頁，2022年，8月28日動態(tài)性：就是指時間序列各觀測值之間的相關(guān)性。從系統(tǒng)的觀點看：動態(tài)性即指系統(tǒng)的記憶性，也就是某一時刻進入系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)后繼行為的影響，圖示如下：系統(tǒng)輸入輸出（響應(yīng)）第二十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日例（1）某人在某一天打了一針，如果當天的反應(yīng)是疼痛，而以后沒有其它反應(yīng)，那么系統(tǒng)的輸入、輸出如下：時間t：12345輸入at:01000輸出xt：0000這種狀況可用模型概括為：第二十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日（2）如果此人在打針后當天沒有什么感覺，而第二天出現(xiàn)了紅腫，那么系統(tǒng)的輸入、輸出如下：時間t：12345輸入at:01000輸出xt：0000這種狀況可用模型概括為：第二十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日（3）如果當天的反應(yīng)是疼痛，第二天出現(xiàn)了紅腫，那么：時間t：12345輸入at:01000輸出xt：000這種狀況可用模型概括為：第二十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日（4）如果打針以后各個時刻都存在相應(yīng)的反應(yīng)，那么，關(guān)于該刺激的總的概括為：第二十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日上式中：總稱為記憶函數(shù)，其中為at-j對xt的影響程度，輸入與輸出是由記憶函數(shù)聯(lián)結(jié)起來的。由于系統(tǒng)具有記憶性，我們可以用過去的數(shù)據(jù)預測未來。第二十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日時間序列模型的種類自回歸模型移動平均模型自回歸移動平均模型第二十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日統(tǒng)計模型的一般形式第二十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日時間序列模型的一般形式第二十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日模型AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）第三十頁，共七十四頁，2022年，8月28日AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第三十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日(一).一階自回歸模型，AR(1)1.設(shè){xt}為零均值的平穩(wěn)過程，如果關(guān)于xt的合適模型為：其中：(1)εt是白噪聲序列（Eεt

=0,Var(εt

)=σ2,cov(εt,εt+k)=0,k≠0）,(2)假定：E(xt,εs)=0(t<s)，那么我們就說xt遵循一個一階自回歸或AR(1)隨機過程。自回歸模型(Autoregressivemodel,AR）第三十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日可見,AR(1)模型中，xt在t時刻值依賴于兩部分，一部分依賴于它的前一期的值xt-1；另一部分是依賴于與xt-1不相關(guān)的部分εt第三十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.可將AR(1)模型寫成另一種形式：通過這一種形式可以看出，AR(1)模型通過消除xt中依賴于xt-1的部分，而使相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨立數(shù)據(jù)。第三十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日3.隨機游走模型如果一個時間序列xt的合適的模型為如下的形式：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱該模型為隨機游走模型，這樣的時間序列稱隨機游走過程。第三十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日注意：隨機游走過程是非平穩(wěn)時間序列。證明：第三十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日☆隨機游走通常被比作一個醉漢的游走。BAR第三十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日雖然隨機游走過程是非平穩(wěn)的，但是我們看到，它的一階差分卻是平穩(wěn)的：有些研究表明，許多經(jīng)濟時間序列呈現(xiàn)出隨機游走或至少有隨機游走的成分，如股票價格，這些序列雖然是非平穩(wěn)的，但它們的一階(或高階)差分卻是平穩(wěn)的。Box—Jenkins就是利用差分這種數(shù)學工具來使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的。有關(guān)隨機走的單位根(Unitroot)檢驗,我們以后將作介紹第三十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日1.設(shè){xt}為零均值的平穩(wěn)過程，如果關(guān)于xt的合適模型為（二）二階自回歸模型，AR(2)其中：(1)εt是白噪聲序列,(2)假定：E(xt,εs)=0(t<s)，那么我們就說xt遵循一個二階自回歸或AR(2)隨機過程。上述模型就是AR(2)模型。第三十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.AR(2)模型的等價形式通過等價形式可以看出，AR(2)模型通過將xt中依賴于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨立數(shù)據(jù)εt

。第四十頁，共七十四頁，2022年，8月28日1.如果關(guān)于xt的合適模型為:（三）一般自回歸模型，AR(p)那么，就稱xt滿足p階自回歸模型，記作AR(p)。（假設(shè)條件同前）第四十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.AR(p)模型的等價形式通過等價形式可以看出，AR(p)模型通過將xt中依賴于xt-1、xt-2……xt-p的部分剔除掉，而使數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨立數(shù)據(jù)εt

。第四十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第四十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日移動平均模型（movingaveragemodel,MA）（一）一階移動平均模型，MA(1)如果關(guān)于xt（假設(shè)同前）的合適的模型如下：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱xt滿足一階移動平均模型，記作MA(1)第四十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日MA(1)模型表明，xt依賴于兩部分，一部分為εt-1，另一部分為εt第四十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日一般移動平均模型的形式：（二）一般移動平均模型，MA(q)其中：εt為白噪聲序列。從一般移動平均模型可以看出，xt僅與εt，εt-1，…εt-q有關(guān)，而與εt-j(j>q)無關(guān)。第四十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為特別當時，稱為中心化模型第四十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日自回歸移動平均模型，ARMA（p,q）1.自回歸移動平均模型的一般形式如果xt即有AR模型特性，又有MA模型的特性，那么它可以用如下的線性模型來描述：其中：(1)εt是白噪聲序列,(2)假定：E(xt,εs)=0(t<s)，那么我們就說xt滿足自回歸移動平均模型，記為ARMA(p,q)。第四十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日例如ARMA(2,1)ARMA(3,2)……第四十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日從以上可以看出AR、MA、ARMA(p,q)等模型均可以看作是ARMA(p,p-1)模型的特例，這為我們提供了一種很好的建模策略，即建模時，可以通過逐漸增加ARMA(p,p-1)模型的階數(shù)，逐漸找到最有效的模型。第五十頁，共七十四頁，2022年，8月28日思考：如果{xt}是一個非零均值的平穩(wěn)時間序列，怎么對其建立模型？第五十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日

AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令第五十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

自回歸系數(shù)多項式第五十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日移動平均系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動平均系數(shù)多項式第五十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項式階移動平均系數(shù)多項式第五十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日一、時間序列模型的平穩(wěn)性二、時間序列模型的可逆性三、自回歸模型的平穩(wěn)性條件四、移動平均模型的可逆性條件ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性第五十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日一、時間序列模型的平穩(wěn)性（Stationarity）平穩(wěn)性的定義：如果一個時間序列模型可以寫成如下形式：其中，xt為零均值平穩(wěn)序列，at為白噪聲，且滿足條件就稱該模型是平穩(wěn)的。（上式又稱Wold展開式）第五十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日第五十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日對于一個有限階的MA(q)模型總有：所以，一個有限階的MA(q)模型總是平穩(wěn)的。第五十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日二、時間序列模型的可逆性(ivertibility)如果一個時間序列（未必平穩(wěn)）的模型可以寫成如下形式：其中：at為白噪聲，且有那么，就稱這個模型是可逆的。第六十頁，共七十四頁，2022年，8月28日對于一個有限階的自回歸模型AR(P)總有：所以，一個有限階的AR(P)模型總是可逆的。第六十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日自回歸表示有助于理解預測機制，Box和Jenkins證明，在預測時，一個非可逆過程是毫無意義的。第六十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日一個可逆過程不一定是平穩(wěn)的，對于一個有限階的AR(P)模型：三、自回歸過程的平穩(wěn)性條件(stationaritycondition)它是平穩(wěn)過程的必要條件是:的根都在單位圓外，即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對值必須大于1第六十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日注第六十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日移項得推導過程如下由根據(jù)數(shù)學知識，上式可以展開為冪級數(shù)，即第六十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日根據(jù)平穩(wěn)性的條件有：即級數(shù)必須收斂。而要滿足這個條件，則必須有:的根都在單位圓外。第六十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日通過上述推導，可以得出如下結(jié)論：一個有限階的AR(P)模型，可以表示成一個無限階的MA模型第六十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日例如對于一階自回