平穩(wěn)時(shí)序模型

平穩(wěn)時(shí)序模型第一頁，共七十四頁，2022年，8月28日時(shí)間序列的預(yù)處理平穩(wěn)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)第二頁，共七十四頁，2022年，8月28日時(shí)間序列的預(yù)處理時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)平穩(wěn)性時(shí)間序列非平穩(wěn)性時(shí)間序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)白噪聲序列(純隨機(jī)序列)平穩(wěn)非白噪聲序列無規(guī)律可循，分析結(jié)束ARMA模型1.確定性分析2.隨機(jī)性分析（ARIMA模型）第三頁，共七十四頁，2022年，8月28日平穩(wěn)時(shí)間序列的意義

時(shí)間序列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的特殊性可列的多個(gè)隨機(jī)變量，而每個(gè)變量只有一個(gè)樣本觀察值平穩(wěn)性的重大意義極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，并增加了待估變量的樣本容量極大地簡化了時(shí)序分析的難度，減少了待估參數(shù)的個(gè)數(shù)第四頁，共七十四頁，2022年，8月28日?qǐng)D檢驗(yàn)（特點(diǎn)）這種方法是通過觀察時(shí)間序列的趨勢(shì)圖和自相關(guān)圖來判斷時(shí)間序列是否存在趨勢(shì)性或周期性。優(yōu)點(diǎn)：簡便、直觀。對(duì)于那些明顯為非平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以采用這種方法。缺點(diǎn)：對(duì)于一般的時(shí)間序列是否平穩(wěn)，不易用這種方法判斷出來。第五頁，共七十四頁，2022年，8月28日(1)時(shí)序圖檢驗(yàn)（判斷準(zhǔn)則）根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界、無明顯趨勢(shì)及無周期特征第六頁，共七十四頁，2022年，8月28日(2)自相關(guān)圖檢驗(yàn)（判斷準(zhǔn)則）平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù)的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減向零。若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)在k>3時(shí)都落入置信區(qū)間，且逐漸趨于零，則該時(shí)間序列具有平穩(wěn)性；若時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)更多地落在置信區(qū)間外面，則該時(shí)間序列就不具有平穩(wěn)性。第七頁，共七十四頁，2022年，8月28日若序列無趨勢(shì)，但是具有季節(jié)性，那末對(duì)于按月采集的數(shù)據(jù)，時(shí)滯12，24，36……的自相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大(如果數(shù)據(jù)是按季度采集，則最大自相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)在4，8，12，……)，并且隨著時(shí)滯的增加變得較小。第八頁，共七十四頁，2022年，8月28日若序列是有趨勢(shì)的，且具有季節(jié)性，其自相關(guān)函數(shù)特性類似于有趨勢(shì)序列，但它們是擺動(dòng)的，對(duì)于按月數(shù)據(jù)，在時(shí)滯12，24，36，……等處具有峰態(tài)；如果時(shí)間序列數(shù)據(jù)是按季節(jié)的，則峰出現(xiàn)在時(shí)滯4，8，12，……等處。第九頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.1時(shí)序圖第十頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.1自相關(guān)圖第十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.2時(shí)序圖第十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.2自相關(guān)圖第十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.3時(shí)序圖第十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日例2.3自相關(guān)圖第十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.2純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)序列也稱為白噪聲序列，它滿足如下兩條性質(zhì)

第十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖

第十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列純隨機(jī)性檢驗(yàn)樣本自相關(guān)圖第十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日白噪聲序列的性質(zhì)

純隨機(jī)性

各序列值之間沒有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒有記憶”的序列

方差齊性(平穩(wěn))

根據(jù)馬爾可夫定理，只有方差齊性假定成立時(shí)，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的第十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日時(shí)間序列的建模原理動(dòng)態(tài)性第二十頁，共七十四頁，2022年，8月28日動(dòng)態(tài)性：就是指時(shí)間序列各觀測(cè)值之間的相關(guān)性。從系統(tǒng)的觀點(diǎn)看：動(dòng)態(tài)性即指系統(tǒng)的記憶性，也就是某一時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的輸入對(duì)系統(tǒng)后繼行為的影響，圖示如下：系統(tǒng)輸入輸出（響應(yīng)）第二十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日例（1）某人在某一天打了一針，如果當(dāng)天的反應(yīng)是疼痛，而以后沒有其它反應(yīng)，那么系統(tǒng)的輸入、輸出如下：時(shí)間t：12345輸入at:01000輸出xt：0000這種狀況可用模型概括為：第二十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日（2）如果此人在打針后當(dāng)天沒有什么感覺，而第二天出現(xiàn)了紅腫，那么系統(tǒng)的輸入、輸出如下：時(shí)間t：12345輸入at:01000輸出xt：0000這種狀況可用模型概括為：第二十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日（3）如果當(dāng)天的反應(yīng)是疼痛，第二天出現(xiàn)了紅腫，那么：時(shí)間t：12345輸入at:01000輸出xt：000這種狀況可用模型概括為：第二十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日（4）如果打針以后各個(gè)時(shí)刻都存在相應(yīng)的反應(yīng)，那么，關(guān)于該刺激的總的概括為：第二十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日上式中：總稱為記憶函數(shù)，其中為at-j對(duì)xt的影響程度，輸入與輸出是由記憶函數(shù)聯(lián)結(jié)起來的。由于系統(tǒng)具有記憶性，我們可以用過去的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來。第二十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日時(shí)間序列模型的種類自回歸模型移動(dòng)平均模型自回歸移動(dòng)平均模型第二十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)模型的一般形式第二十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日時(shí)間序列模型的一般形式第二十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日模型AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）第三十頁，共七十四頁，2022年，8月28日AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型第三十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日(一).一階自回歸模型，AR(1)1.設(shè){xt}為零均值的平穩(wěn)過程，如果關(guān)于xt的合適模型為：其中：(1)εt是白噪聲序列（Eεt

=0,Var(εt

)=σ2,cov(εt,εt+k)=0,k≠0）,(2)假定：E(xt,εs)=0(t<s)，那么我們就說xt遵循一個(gè)一階自回歸或AR(1)隨機(jī)過程。自回歸模型(Autoregressivemodel,AR）第三十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日可見,AR(1)模型中，xt在t時(shí)刻值依賴于兩部分，一部分依賴于它的前一期的值xt-1；另一部分是依賴于與xt-1不相關(guān)的部分εt第三十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.可將AR(1)模型寫成另一種形式：通過這一種形式可以看出，AR(1)模型通過消除xt中依賴于xt-1的部分，而使相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨(dú)立數(shù)據(jù)。第三十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日3.隨機(jī)游走模型如果一個(gè)時(shí)間序列xt的合適的模型為如下的形式：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱該模型為隨機(jī)游走模型，這樣的時(shí)間序列稱隨機(jī)游走過程。第三十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日注意：隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)時(shí)間序列。證明：第三十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日☆隨機(jī)游走通常被比作一個(gè)醉漢的游走。BAR第三十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日雖然隨機(jī)游走過程是非平穩(wěn)的，但是我們看到，它的一階差分卻是平穩(wěn)的：有些研究表明，許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列呈現(xiàn)出隨機(jī)游走或至少有隨機(jī)游走的成分，如股票價(jià)格，這些序列雖然是非平穩(wěn)的，但它們的一階(或高階)差分卻是平穩(wěn)的。Box—Jenkins就是利用差分這種數(shù)學(xué)工具來使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的。有關(guān)隨機(jī)走的單位根(Unitroot)檢驗(yàn),我們以后將作介紹第三十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日1.設(shè){xt}為零均值的平穩(wěn)過程，如果關(guān)于xt的合適模型為（二）二階自回歸模型，AR(2)其中：(1)εt是白噪聲序列,(2)假定：E(xt,εs)=0(t<s)，那么我們就說xt遵循一個(gè)二階自回歸或AR(2)隨機(jī)過程。上述模型就是AR(2)模型。第三十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.AR(2)模型的等價(jià)形式通過等價(jià)形式可以看出，AR(2)模型通過將xt中依賴于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨(dú)立數(shù)據(jù)εt

。第四十頁，共七十四頁，2022年，8月28日1.如果關(guān)于xt的合適模型為:（三）一般自回歸模型，AR(p)那么，就稱xt滿足p階自回歸模型，記作AR(p)。（假設(shè)條件同前）第四十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.AR(p)模型的等價(jià)形式通過等價(jià)形式可以看出，AR(p)模型通過將xt中依賴于xt-1、xt-2……xt-p的部分剔除掉，而使數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨(dú)立數(shù)據(jù)εt

。第四十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型第四十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日移動(dòng)平均模型（movingaveragemodel,MA）（一）一階移動(dòng)平均模型，MA(1)如果關(guān)于xt（假設(shè)同前）的合適的模型如下：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱xt滿足一階移動(dòng)平均模型，記作MA(1)第四十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日MA(1)模型表明，xt依賴于兩部分，一部分為εt-1，另一部分為εt第四十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日一般移動(dòng)平均模型的形式：（二）一般移動(dòng)平均模型，MA(q)其中：εt為白噪聲序列。從一般移動(dòng)平均模型可以看出，xt僅與εt，εt-1，…εt-q有關(guān)，而與εt-j(j>q)無關(guān)。第四十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均模型，簡記為特別當(dāng)時(shí)，稱為中心化模型第四十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日自回歸移動(dòng)平均模型，ARMA（p,q）1.自回歸移動(dòng)平均模型的一般形式如果xt即有AR模型特性，又有MA模型的特性，那么它可以用如下的線性模型來描述：其中：(1)εt是白噪聲序列,(2)假定：E(xt,εs)=0(t<s)，那么我們就說xt滿足自回歸移動(dòng)平均模型，記為ARMA(p,q)。第四十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日例如ARMA(2,1)ARMA(3,2)……第四十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日從以上可以看出AR、MA、ARMA(p,q)等模型均可以看作是ARMA(p,p-1)模型的特例，這為我們提供了一種很好的建模策略，即建模時(shí)，可以通過逐漸增加ARMA(p,p-1)模型的階數(shù)，逐漸找到最有效的模型。第五十頁，共七十四頁，2022年，8月28日思考：如果{xt}是一個(gè)非零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列，怎么對(duì)其建立模型？第五十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日

AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令第五十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日自回歸系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡記為

自回歸系數(shù)多項(xiàng)式第五十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第五十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化模型又可以簡記為

階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第五十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日一、時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性二、時(shí)間序列模型的可逆性三、自回歸模型的平穩(wěn)性條件四、移動(dòng)平均模型的可逆性條件ARMA模型的平穩(wěn)性和可逆性第五十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日一、時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性（Stationarity）平穩(wěn)性的定義：如果一個(gè)時(shí)間序列模型可以寫成如下形式：其中，xt為零均值平穩(wěn)序列，at為白噪聲，且滿足條件就稱該模型是平穩(wěn)的。（上式又稱Wold展開式）第五十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日第五十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日對(duì)于一個(gè)有限階的MA(q)模型總有：所以，一個(gè)有限階的MA(q)模型總是平穩(wěn)的。第五十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日二、時(shí)間序列模型的可逆性(ivertibility)如果一個(gè)時(shí)間序列（未必平穩(wěn)）的模型可以寫成如下形式：其中：at為白噪聲，且有那么，就稱這個(gè)模型是可逆的。第六十頁，共七十四頁，2022年，8月28日對(duì)于一個(gè)有限階的自回歸模型AR(P)總有：所以，一個(gè)有限階的AR(P)模型總是可逆的。第六十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日自回歸表示有助于理解預(yù)測(cè)機(jī)制，Box和Jenkins證明，在預(yù)測(cè)時(shí)，一個(gè)非可逆過程是毫無意義的。第六十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日一個(gè)可逆過程不一定是平穩(wěn)的，對(duì)于一個(gè)有限階的AR(P)模型：三、自回歸過程的平穩(wěn)性條件(stationaritycondition)它是平穩(wěn)過程的必要條件是:的根都在單位圓外，即如果β1，β2，…，βp是的根，那么它們的絕對(duì)值必須大于1第六十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日注第六十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日移項(xiàng)得推導(dǎo)過程如下由根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，上式可以展開為冪級(jí)數(shù)，即第六十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日根據(jù)平穩(wěn)性的條件有：即級(jí)數(shù)必須收斂。而要滿足這個(gè)條件，則必須有:的根都在單位圓外。第六十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日通過上述推導(dǎo)，可以得出如下結(jié)論：一個(gè)有限階的AR(P)模型，可以表示成一個(gè)無限階的MA模型第六十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日例如對(duì)于一階自回