專題12數(shù)余的擴充

閱讀與思考人類對數(shù)的認識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進負數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴張；但隨著人類對數(shù)的認識不斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴張 .理篇無理數(shù)是學好實數(shù)的關(guān)鍵，為此應注意：1.把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)

q

的形式（這里

p，q是互質(zhì)的p整數(shù)，且

p≠0）；2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與 π相關(guān)的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等；有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)；4．明確無理數(shù)的真實性 .克菜因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以上的一切.”想一想：下列說法是否正確？①帶根號的數(shù)是無理數(shù)；②兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)；③一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)；④一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù) .例題與求解【例1】已知2(b4)2abc0．則(ac)b________.的平方根是2（湖南省長沙市“學用杯”競賽試題）解題思路：運用式子的非負性，求出a，b，c的值．【例2】若a，b是實數(shù)，且a2b12b4．則ab的值是().2A．3或－3B．3或－1C．－3或－1D．3或1（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：由算術(shù)根的雙非負性，可得b1≥0，22b≥0，求出b＝1．代入原式中可得a＝±2．由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負性：①a中a≥0；②a≥0.運用算術(shù)平方根的雙非負性是挖掘隱含條件的常用方法.【例3】已知實數(shù)m，n，p滿足等式m199n199mn3m5n2p2m3np，求p的值．（北京市競賽試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)（m199n），（199mn）互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解題的切入點．【例4】已知a，b是有理數(shù)，且(13)a(13)b211930，求a，b的值．32412420解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于a，b的方程組.實數(shù)有以下常用性質(zhì)：①若a，b都是有理數(shù)，c為無理數(shù)，且abc0，則a＝b＝0;②若a，b，c，d都是有理數(shù)，c，d為無理數(shù)，且“acbd，則a＝b，cd．要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設這個數(shù)為有理數(shù)，設法推出矛盾 .想一想怎樣證明 2是無理數(shù)？【例5】一個問題的探究問題：設實數(shù)x，y，z滿足xyz≠0．且xyz0.111111求證：y2z2xyzx2在上述問題的基礎(chǔ)上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題：(1)設a，b，c為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：111為有理數(shù)．(ab)2(bc)2(ca)2（2）設S111111111222222，求S的整數(shù)部分.122320082009解題思路：從公式()22222()入手．a(chǎn)bcabcabbcac【例6】設S111111111111222，S21222，S33242，,，Snn2(n1)2，13求S1S2Sn的值（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù)）．（四川省成都市中考試題）解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將 Sn變形為一個代數(shù)式的平臺。能力訓練A級1．在實數(shù)－4，3，0，21，64，327，1中，共有_______個無理數(shù)．227（貴州省貴陽市中考試題）2a33，b是a2的小數(shù)部分，則(b2)3的值為____.．設(2013年全國初中數(shù)學競賽試題)3．已知a4b90，則a2aba2ab的值為_______．b2a2b2（山東省濟南市中考試題）4．觀察下列各式：1123412311，1234522321，1345632331，(AB)（:AB)(2xy):(xy)猜測：12005200620072008________.（遼寧省大連市中考試題）5．已知有理數(shù)A，B，x，y滿足AB0，(AB)（:AB)(2xy):(xy)，那么A（:AB)＝________.A.3x（:2xy)B.3x（:4x2y)C.x（:xy)D.2x（:2xy)（2013年“實中杯”數(shù)學競賽試題）6xy為實數(shù)，且x2y20(x2009的值為()．yA.1B．－1C．2D．－2（天津市中考試題）7．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是()．A.aB．a(chǎn)21C．a(chǎn)21D．a(chǎn)1（山東省濰坊市中考試題）8x11x(xy)2，則xy的值為()．．若A．－1B．1C．2D．3（湖北省荊門市中考試題）9．已知xabm是m的立方根，而y3b6是x的相反數(shù)，且m3a7，求x與y的平方和的立方根．10.計算：1111222．（廣西競賽試題）2n個1n個211.a，b滿足3a5b7，求S2a3b的取值范圍．若（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）級1x與y互為相反數(shù)，且xy3．那么x22xy1的值為____．．（全國初中數(shù)學競賽試題）2．若2x14x128，則x的值為_______．（海南省競賽試題）3．已知實數(shù)a滿足2004aa2005a，則a20042＝_______.45的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則(5a)b的值為____．．（廣東省競賽試題）5a，b滿足2a4b2(a3)b242a，則ab等于()．．已知非零實數(shù)A．－1B．0C．1D．2（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）6．已知a21，b32，c62．則a，b，c的大小關(guān)系是()．A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a7．已知：1a1，那么代數(shù)式1a的值為()．a(chǎn)aA．55C．5D.5B．22（重慶市競賽試題）8．下面有 3個結(jié)論：①存在兩個不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)；②存在兩個不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)；③存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù) .其中，正確的結(jié)論有 ( )個．A.0 B．1 C．2 D．3（江蘇省競賽試題）9．已知 a2 2005是整數(shù)，求所有滿足條件的正整數(shù) a的和．（“CASIO杯”武漢市競賽試題）設yaxb，a，b，c，d都是有理數(shù)，x是無理數(shù).求證：10.cxd(1)當bcad時，y是有理數(shù)；(2)當bcad時，y是無理數(shù)．11.a，b滿足2a4b2(a3)b242a.已知非零實數(shù)求ab值．（“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題）專題12數(shù)余的擴充———實數(shù)的概念與性質(zhì)例1土1提示：由條件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，則a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）b＝[2×4（一1）]－4＝1，1的平方根為土11616．4；例2B例3m－199＋n≥0m＋n≥199由,得．∴m＋n＝199.199－m－n≥0m＋n≤199∴3m5n2p2m3np0，由非負數(shù)性質(zhì)，得3m5n2p02m3n0解得p=201。例4已知等式整理，得1111a1b1930ab221220344因為a，b是有理數(shù)，所以1a1b210且1a1b190，34421220a33解得51b4511121112xyz例51111112x2y2z2xyz2yzxzxyzxyzxy1121=xyz故111111111111222xyz，進一步22（2xyx.xyzxyx）yy1111112（1）可證明（a22(ca)2abbccab）(bc)（2）令x=1，y=n，得11(11111n2n)2nn1S=11-111-111-111-12009-1122334200820092009故S的整數(shù)部分為2008.12112112例6∵Sn112121nn1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)12111∴Sn111n(n1)n(n1)nn1∴原式=11-111-111n1n111n22n223n1nn1A級1.2提示：a23239,238393273，則b=39-2,b+2=392.93故b233939163.81200523200515.B提示：由題知ABxy，AB2xy（AB）(AB)(xy)(2xy),即2A3x，則AB2xyAB2xyA 3x故A B 4x 2yBBC210.原式=11110n1112111=11110n-111n個n個n個n個n個=111（10n-1）=111999=333n個n個n個n個11.3a5b7由題中條件a3bS2①×3+②×5得19a215S①×2-②×3得19b143S又∵a≥0，b≥0，則215S0解得-21S1414-3S053B組-5xy0x3，解得21.提示：由條件4xy3y32故x2+2xy+1=

2335322-1-2242.2提示：由2x14x128得2x122x27，故有(x+1)+2x=7,所以x的值為2.3.2005提示：由條件得：a≥2005，則a20052004，從而有：2-2004=2005a4.15.C提示：由條件得：≥3，則b2(a3)b20，a+b=1。a6.C提示：因為121，132，所以011.故b<a，又abab而223-220，c-a=6-2-2-16-216-21，所以621，故c>a，因此b<a<c.1，∴a>0，12127.D由條件得：a10aa4aaa8.D舉例：31，3-1滿足①②；5，1滿足③339.設a22005b，則b2-a2=2005，而2005=5×401,5,401均為質(zhì)數(shù)，a，b為正整數(shù)，∴ba2005ba401解得a=1002或a=198，從而1002+198=1200.ba1或ba5b10.(1)c、d不能同時為 0，否則y無意義，若c=0，由bc=ad，d≠0，得a=0,此時y=d

為有理數(shù)；若d=0，axac≠0，且d≠0，由bc=ad，得abc則C≠0，由bc=ad，得b=0，此時y為有理數(shù)，若，代入cxcdy得yb為有理數(shù)．d(2)假設bc≠ad時，y為有理數(shù)，則（cx+d)y=ax+b，即（