第四章平面彎曲

第4章平面彎曲4.1平面彎曲的概念和實(shí)例橋式吊車受風(fēng)載荷的塔設(shè)備管道托架共同點(diǎn)是：它們都可簡化為直桿，在通過軸線的平面，受到垂直于桿軸線的外力（橫向力）或力偶作用，使構(gòu)件的軸線彎曲成一條曲線，這樣的變形稱為彎曲。以彎曲為主要變形的構(gòu)件在工程上稱為梁。

梁的基本形式

簡支梁：一端固定鉸鏈，另一端活動鉸鏈；外伸梁：簡支梁一端或兩端伸出支座以外；懸臂梁：一端固定，另一端自由。工程上常用的梁，其橫截面大多具有一個(gè)豎向的對稱軸，如：

所有橫截面的豎向?qū)ΨQ軸形成一個(gè)平面——縱向?qū)ΨQ面梁的彎曲平面與載荷作用平面相重合的彎曲——稱平面彎曲4.2平面彎曲的內(nèi)力分析4.2.1剪力和彎矩產(chǎn)生原因：存在與軸線相垂直的橫向載荷。剪力和彎矩符號規(guī)定：取左段剪力向下為正，彎矩逆時(shí)針為正。符號規(guī)定的目的：使內(nèi)力素與變形相關(guān)聯(lián)，成為截面位置的函數(shù)，這種函數(shù)叫剪力方程和彎矩方程，作出的圖線叫做剪力圖和彎矩圖。4.2.2剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖準(zhǔn)確無誤地求出約束反力。橫截面上的剪力和彎矩按符號規(guī)定的正方向假設(shè)，不去判斷其真實(shí)方向。取左段還是取右段，以研究問題簡單為準(zhǔn)。研究受集中力、均布力、集中力偶等的剪力圖和彎矩圖。剪力彎矩按正方向假設(shè)作剪力圖與彎矩圖的規(guī)律：1）若在梁某段內(nèi)q=0，則Q為常量，剪力圖為水平直線，彎矩圖為直線。2）若在梁某段內(nèi)作用有向下的均布載荷，則剪力圖為下降直線，彎矩圖為上凸拋物線。3）在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖不發(fā)生突變；集中力偶作用處，剪力圖不受影響，彎矩圖會發(fā)生突變。4）最大彎矩可能發(fā)生的位置：集中力作用處；集中力偶作用處；剪力等于零（Q=0）處。關(guān)注圖線走向、突變處、極值點(diǎn)及最大值（絕對值）。例4-1：已知：P=24kN，F(xiàn)=12kN，q=6kN/m，

MO=12kN·m。作出剪力圖和彎矩圖。解：(1)求支座反力(2)剪力圖和彎矩圖大致形狀分析(3)計(jì)算剪力和彎矩值RB=34kN，RA=26kNMC=26kN·mQD=2kN

=28kN·m=28-12=16kN·mMB=-24kN·m4.3平面彎曲的正應(yīng)力計(jì)算剪力、彎矩對應(yīng)的應(yīng)力分析：剪應(yīng)力和正應(yīng)力純彎曲梁模型的建立：對于長梁，影響強(qiáng)度的決定因素是彎矩。QM4.3.l純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力變形幾何關(guān)系

中性層的存在性：每一縱向纖維層由直變彎，靠近上方的纖維層受壓，下方的纖維層受拉，中間某處存在一層既不受拉也不受壓的纖維層，這一層叫中性層，中性層與橫截面的交線叫中性軸。軸線：中性層與縱向?qū)ΨQ面的交線。平面假設(shè)：橫截面變形后仍保持平面，但繞自身的中性軸偏轉(zhuǎn)了一定角度，保持與中性層垂直。不擠壓假設(shè)：每一縱向纖維均為單向拉伸或壓縮，纖維層間不存在相互的擠壓。任一纖維層的變形計(jì)算：絕對變形：相對變形（應(yīng)變）：yrdqabo1o2物理關(guān)系——應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系

不擠壓假設(shè)，每一纖維層處于簡單拉壓變形，滿足虎克定律：應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上的正應(yīng)力沿高度方向呈線性分布。abo1o2靜力關(guān)系——應(yīng)力和內(nèi)力間的關(guān)系

橫截面上的正應(yīng)力分布力系（平行力系）應(yīng)為一力偶系。中性層在哪里？中性軸通過橫截面的形心橫截面上正應(yīng)力的合力為截面上的彎矩。對中性軸的慣性矩表示截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的難易程度，即表示了變形的剛度。軸線的曲率表示了梁的變形程度。梁彎曲變形的基本公式，表示了引起梁變形的外力及梁自身抵抗彎曲變形的能力（抗彎剛度）對彎曲變形的影響。正應(yīng)力計(jì)算公式：工程實(shí)用計(jì)算式：應(yīng)力的性質(zhì)可由變形直觀判斷最大彎曲正應(yīng)力：抗彎截面模量：形狀規(guī)則截面的慣性矩和抗彎截面模量由定義可直接計(jì)算出來，對于型鋼可查表。慣性矩（截面模量）、靜矩（一次矩）、面積等是平面圖形的幾何性質(zhì)，只有和具體的變形結(jié)合起來才有其物理意義。上述應(yīng)力計(jì)算公式可近似用于平面彎曲的長梁。4.3.3彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件式(等截面)：許用彎曲應(yīng)力與簡單拉(壓)的許用應(yīng)力意義相同；考慮到彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律，許用彎曲應(yīng)力的值可取較大的值，或說彎曲安全系數(shù)可取較小的值；強(qiáng)度條件式可解決三方面的問題。例4-2：圖示簡支梁AB，試求：(1)最大彎曲正應(yīng)力及其所在位置；(2)在D、E兩點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力。解：（1）作出剪力圖和彎矩圖，求出最大彎矩值；計(jì)算抗彎截面模量（找出中性軸），計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力。（2）計(jì)算D、E兩點(diǎn)所在截面的彎矩值，按照D、E兩點(diǎn)各自離中性軸的距離，計(jì)算出其彎曲正應(yīng)力的值，并判斷出其應(yīng)力的性質(zhì)（拉應(yīng)力或壓應(yīng)力）。

Q19-9(kN)4.3.4提高梁彎曲強(qiáng)度的措施途徑：減小最大彎矩，增大抗彎截面模量。合理設(shè)置支座、合理布置載荷。簡支梁變?yōu)橥馍炝海M量不用懸臂梁，集中載荷變?yōu)榉植驾d荷等。選擇合理的截面形狀，注意梁的放置方式。選擇抗彎截面模量大的截面，如工字形，圓環(huán)形等，同樣的截面形狀，要注意使具有較大的慣性矩的軸成為中性軸。材料遠(yuǎn)離中性軸矩形0.167h；圓形0.125h；環(huán)形0.205h工字鋼和槽鋼(0.27～0.31)h4.4平面彎曲的變形計(jì)算4.4.l梁彎曲變形的度量——撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角是控制梁彎曲變形的宏觀量撓曲線可以表示撓度和轉(zhuǎn)角：橫截面轉(zhuǎn)角與撓曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線轉(zhuǎn)角相同。小變形情況下，轉(zhuǎn)角可以用撓曲線的斜率表示。

y=f(x)

θ≈，

撓曲線的曲率表示梁軸線上各點(diǎn)的彎曲程度，加上邊界條件就決定了撓曲線，即確定了梁的撓度和轉(zhuǎn)角。因此，梁彎曲變形的基本方程是梁彎曲變形的微分方程。4.4.2撓曲線近似微分方程及兩次積分法梁彎曲變形的基本方程：注：為書寫簡單起見，將慣性矩的下標(biāo)略去。曲率可用撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)來表示：小變形二階導(dǎo)數(shù)與彎矩的符號關(guān)系：解此撓曲線微分方程，加上邊界條件，即可得到梁撓曲線上各點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和撓度，即轉(zhuǎn)角方程和撓度（撓曲線）方程。撓曲線微分方程：例4-3：導(dǎo)出懸臂梁受集中力作用的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程。設(shè)EI為常量。解：建立坐標(biāo)系，寫出彎矩方程；兩次積分得出轉(zhuǎn)角方程和撓度方程的通用式；考慮邊界條件得到該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：例4-4：例4-5：

4.4.3用疊加法求梁的變形疊加原理：小變形，材料服從虎克定律，梁的撓度和轉(zhuǎn)角均與梁所受載荷成線性關(guān)系，因此，梁在幾種載荷共同作用下的變形，可以看作是每一種載荷單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的變形的疊加。疊加原理用來求復(fù)雜載荷作用下梁特定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角。每一種基本載荷作用下的梁的變形公式需要預(yù)先導(dǎo)出。例4-6試求圖示懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常量。解：P1和P2共同作用下懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角，可看作P1和P2單獨(dú)作用下產(chǎn)生的變形的代數(shù)和。

例4-7試求懸臂梁受均布載荷作用時(shí)自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常量

解：將均布載荷設(shè)想為由無數(shù)個(gè)微元力qdx組成的，則每一個(gè)微元力qdx在梁自由端產(chǎn)生的微小轉(zhuǎn)角和撓度：，例4-84.4.4梁的剛度條件剛度條件：將最大變形限制在一定范圍內(nèi)的條件，即

ymax≤[y]

θmax≤[θ]許可撓度[y]和許可轉(zhuǎn)角[θ]由構(gòu)件的具體工作要求來確定。化學(xué)工業(yè)中[y]和[θ]的值經(jīng)常取決于生產(chǎn)工藝要求。如，一般塔設(shè)備塔頂自由端的許可撓度可取塔高的1/500～1/1000,具體值可由塔工藝要求來確定。4.5簡單超靜定梁的求解例：求圖示超靜定梁的約束反力。

靜定基變形圖

解：法Ⅰ：解除支座B，形成靜定基，變形協(xié)調(diào)方程：y1+y2=0，

法Ⅱ：解除轉(zhuǎn)角約束，形成靜定基，變形協(xié)調(diào)方程：q1+q2=0

靜定基變形圖4.6壓桿穩(wěn)定性簡介4.6.1壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿的穩(wěn)定性分析：外加力有利于彎曲變形的繼續(xù)發(fā)展；桿自身具有抵抗彎曲變形的能力（抗彎剛度）。壓桿是否穩(wěn)定取決于桿自身抵抗彎曲變形的能力與外力使桿發(fā)生彎曲變形的能力的較量。臨界壓力：彎曲變形既不消失也不擴(kuò)大（臨界狀態(tài)）時(shí)的壓力。臨界壓力的大小表示了壓桿穩(wěn)定性的高低，是表