第5章 剛體的轉動

第五章剛體的轉動5.1剛體轉動的描述5.2轉動定律5.3轉動慣量的計算5.4轉動定律的應用5.5角動量守恒5.6轉動中的功和能海南大學－大學物理電子教案剛體模型無論在多大的外力下，形狀和體積均保持不變的理想物體稱為剛體。剛體可看成是無數個質點構成的質點系。在剛體內部任意兩質點間的距離永遠保持不變。理想化模型——可視為一個特殊的質點系。解決剛體動力學問題的一般方法原則:質點系的三個定理利用剛體的特征化簡到方便形式(簡便好記)序言：海南大學－大學物理電子教案剛體的平動質點模型運用質心運動定理剛體的定軸轉動利用剛體的模型(無形變)

化簡角動量定理功能原理方便的形式海南大學－大學物理電子教案5.1剛體轉動的描述剛體運動的幾種形式:剛體的平動如果剛體內任意一條直線在剛體中始終保持它的取向不變，則這種運動稱為平動。如升降機的運動，汽缸中活塞的運動。剛體作平動時，剛體上所有的點運動狀態(tài)完全相同，所以剛體上任意一點的運動就可代表整個剛體的運動，剛體相當于一個質點。海南大學－大學物理電子教案剛體的轉動如果剛體上的各個質點在剛體運動中都繞同一直線作圓周運動，則這種運動稱為轉動，該直線稱為轉軸。本課程主要研究剛體轉軸在空間不移動的轉動，即定軸轉動。定軸轉動的特點：簡化轉動平面海南大學－大學物理電子教案

線量角量rθΔrΔθvωa剛體中的每一個質點都在各自的轉動平面內作圓周運動剛體中的每一個質點都具有相同的角速度、角位移和角加速度。用角量描述比用線量描述方便海南大學－大學物理電子教案任一質點圓周運動的線量和角量的關系OlmCx對于勻加速轉動，用角量描述的方程式為海南大學－大學物理電子教案一般運動=(平動)+(轉動)原則:隨某點(基點)的平動+過該點的定軸轉動基點任選。實際:因為對質心存在“質心運動定理”所以：基點就選質心ABDA’B’D’圖示基點任選剛體的一般運動海南大學－大學物理電子教案解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：飛輪作變加速轉動例題1：一飛輪在時間t內轉過角度式中a、b、c都是常量，求它的角加速度。課本P161例5.1海南大學－大學物理電子教案5.2轉動定理剛體這一質點系的角動量變化定理：把上式向z軸投影，得沿z軸的分量式：海南大學－大學物理電子教案剛體對定軸的角動量轉動平面剛體上任一質元繞o點轉動的角動量其大小即為該質元繞轉軸轉動的角動量海南大學－大學物理電子教案轉動平面剛體對定軸的角動量式中～剛體對軸的轉動慣量（剛體對定軸的角動量）海南大學－大學物理電子教案剛體定軸轉動定理剛體所受的對于某一固定轉軸的合外力矩等于剛體對此轉軸的轉動慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。海南大學－大學物理電子教案（剛體定軸轉動定律）定軸轉動定律在轉動問題中的地位相當于平動時的牛頓第二定律應用轉動定律解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。海南大學－大學物理電子教案J是一個與m對應的物理量，表示了剛體轉動時慣性的大小，稱為剛體對給定轉軸的轉動慣量（簡稱轉動慣量）。5.3轉動慣量的計算海南大學－大學物理電子教案若質量連續(xù)分布轉動慣量的計算dm為質量元，其計算方法如下：質量為線分布質量為面分布質量為體分布其中、、分別為質量的線密度、面密度和體密度。線分布面分布體分布海南大學－大學物理電子教案

影響轉動慣量的因素質量不連續(xù)分布質量連續(xù)分布影響轉動慣量的要素：計算公式(1)總質量(2)質量分布(3)轉軸的位置轉動慣量的計算例題：剛體轉動慣量的計算關鍵在于積分元——質量元dm的選取海南大學－大學物理電子教案xOl例7、求長為L、質量為m的均勻細棒對通過一端垂直于桿的轉動慣量。解:建立如圖ox坐標xdx在離坐標原點為x的桿上選一長度元dx該長度元的質量海南大學－大學物理電子教案例8：求半徑為R、質量為m的薄圓環(huán)對中心軸的轉動慣量。薄圓環(huán)繞中心軸旋轉的轉動慣量dmOmR解：環(huán)上任取一質量元dm該質量元到轉軸的垂直距離為R海南大學－大學物理電子教案例9、求質量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),lORrdr可見，轉動慣量與l無關。所以，實心圓柱對其軸的轉動慣量也是mR2/2。海南大學－大學物理電子教案例10：求質量m,半徑R的球殼對直徑的轉動慣量解：取離軸線距離相等的點的集合為積分元海南大學－大學物理電子教案例11.求質量m,半徑R的球體對直徑的轉動慣量解：以距中心r，厚dr的球殼為積分元Ro海南大學－大學物理電子教案在一系列的平行軸中，對質心的轉動慣量最小平行軸定理例如均勻桿：xdxxOl轉軸通過一端垂直于桿轉軸通過中心垂直于桿海南大學－大學物理電子教案課堂練習A：如圖質點系，則該質點系對轉軸的轉動慣量——————。答案：課堂練習B：右圖剛體對經過棒端且與棒垂直的zz/軸的轉動慣量—————————————。答案：海南大學－大學物理電子教案5.4轉動定律的應用（剛體定軸轉動定理）定軸轉動定理在轉動問題中的地位相當于平動時的牛頓第二定律應用轉動定理解題步驟與牛頓第二定律時完全相同。海南大學－大學物理電子教案例5.5、一個飛輪的質量為69kg，半徑為0.25m,正在以每分1000轉的轉速轉動。現在要制動飛輪，要求在5.0秒內使它均勻減速而最后停下來。求閘瓦對輪子的壓力N為多大？（閘瓦與飛輪間的滑動摩擦系數為0.46）F0解：飛輪制動時有角加速度海南大學－大學物理電子教案又外力矩是摩擦阻力矩：0Nfr由定軸轉動定律：海南大學－大學物理電子教案例：一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉軸間的摩擦不計。求(1)飛輪的角加速度。(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速度。解(1)根據定軸轉動定律海南大學－大學物理電子教案(2)隔離m、M，受力分析如圖分別應用牛頓第二定律和定軸轉動定律海南大學－大學物理電子教案解:隔離m1、M、m2例13：已知定滑輪質量M、半徑R，輕繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動，輕繩兩端連著質量為m1、m2的物體，設m2>m1。

求：1）物體運動的加速度a；2）繩子的張力T；

3)滑輪轉動的角加速度。受力分析如下圖海南大學－大學物理電子教案聯(lián)立解方程即得其解分別應用牛頓運動定律和轉動定理海南大學－大學物理電子教案課堂練習：一根長為l、質量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置求：（1）剛釋放時木棒的角加速度；（2）木棒轉到豎直位置時木棒的角加速度。OlmCx解：重力對整個棒的合力矩等于重力全部集中于質心所產生的力矩dm木棒下擺時只有重力產生力矩海南大學－大學物理電子教案OlmCxdm可見，木棒在下擺過程中角加速度越來越小，但角速度越來越大。課本P168例5.7均勻細直木棒在豎直平面內轉動海南大學－大學物理電子教案例18、一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知轉動慣量，現有一水平力作用于距軸為l‘處。求：軸對棒的作用力（也稱軸反力）解設軸對棒的作用力為N質點系由轉動定律由質心運動定理海南大學－大學物理電子教案打擊中心質心運動定理與轉動定律聯(lián)用質點系若海南大學－大學物理電子教案剛體對定軸的角動量定理：（剛體所受的外力矩等于剛體角動量的變化率）（剛體對定軸角動量定理的微分式）5.5角動量守恒海南大學－大學物理電子教案（微分式）兩邊積分（積分式）對轉軸的外力矩的時間積累效果，稱為沖量矩剛體對同一轉動軸的角動量的增量當轉軸給定時，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量——剛體對定軸的角動量定理海南大學－大學物理電子教案對定軸的角動量守恒定律根據若則常數（剛體對定軸的角動量守恒）分以下幾種情況：對于轉動慣量不變的剛體，若則常數剛體做勻速轉動對于轉動慣量可變的剛體，若則常數海南大學－大學物理電子教案mmω茹可夫斯基凳演示花樣滑冰運動

芭蕾舞演員表演對于由質點、剛體組成的系統(tǒng)，若則常數此情況常用于研究質點與定軸轉動剛體的碰撞問題若質點繞周作圓周運動，則質點對軸的角動量：海南大學－大學物理電子教案說明角動量定理和角動量守恒定律，不僅適用于宏觀問題，也適用于原子、原子核等微觀問題，因此角動量守定律是比牛頓定律更為基本的定律。內力矩可以改變系統(tǒng)內部各組成部分的角動量，但不能改變系統(tǒng)的總角動量。角動量定理和角動量守恒定律只適用于慣性系。海南大學－大學物理電子教案例題14：工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉速一起轉動。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉動慣量為JA=10kgm2，B的轉動慣量為JB=20kgm2。開始時A輪的轉速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？AACBACB海南大學－大學物理電子教案解：以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動量守恒。為兩輪嚙合后共同轉動的角速度，于是以各量的數值代入得海南大學－大學物理電子教案或共同轉速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損失的機械能為課本P171例5.8海南大學－大學物理電子教案例15：質量為M、半徑為R的轉盤，可繞鉛直軸無摩擦地轉動。轉盤的初角速度為零。一個質量為m的人，在轉盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對轉盤勻速走動，如圖。求當人在轉盤上走一周回到盤上的原位置時，轉盤相對于地面轉過了多少角度。解：以人和轉盤組成的系統(tǒng)為研究對象當人走動時，系統(tǒng)所受外力對鉛直軸的力矩為零，故對軸角動量守恒海南大學－大學物理電子教案以j、J分別表示人和盤對軸的轉動慣量，并以、分別表示任一時刻人和盤繞軸的角速度其中代入海南大學－大學物理電子教案此時盤相對于地面轉過的角度為：人在盤上走一周時海南大學－大學物理電子教案例題16：圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為J=2103kgm2，它以=0.2rad/s的角速度繞中心軸旋轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。每個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴氣流量恒定，共是=2kg/s。廢氣的噴射速率（相對于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應噴射多長時間才能使飛船停止旋轉。rdm/2dm/2u-uL0Lg解：把飛船和排出的廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣質量設為m。海南大學－大學物理電子教案原系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等于飛船自身的角動量，即在整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應為由于廢氣質量遠小于飛船的質量在噴氣過程中，以dm表示dt

時間內噴出的氣體這些氣體對中心軸的角動量為：dm

r(u+v)

方向與飛船的角動量方向相同因u=50m/s遠大于飛船的速率v(=r)

，所以此角動量近似地等于dm

ru海南大學－大學物理電子教案當宇宙飛船停止旋轉時，其角動量為零。系統(tǒng)這時的總角動量L1就是全部排出的廢氣的總角動量，即為在整個噴射過程中，系統(tǒng)所受的對于飛船中心軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對于此軸的角動量守恒，即于是所需的時間為海南大學－大學物理電子教案課堂練習：A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉動，角速度分別為：wA=50rad.s-1,wB=200rad.s-1。已知A圓盤半徑RA=0.2m,質量mA=2kg,B圓盤的半徑RB=0.1m,質量mB=4kg.試求兩圓盤對心銜接后的角速度w.解：以兩圓盤為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動量守恒海南大學－大學物理電子教案當剛體在外力矩作用下繞定軸轉動而發(fā)生角位移時，就稱力矩對剛體做功。力對P點作功：0‘05.6轉動中的功和能轉動中的功——力矩的功海南大學－大學物理電子教案因力矩作功：對于剛體定軸轉動情形，因質點間無相對位移，任何一對內力作功為零。0‘0海南大學－大學物理電子教案例2：一根長為l，質量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置求：木棒下擺到豎直位置時重力做的總功。解：OlmCx重力做功即重力對轉軸的力矩做功（1）重力對轉軸的力矩dmx取棒上一小段，其質量為dm，它所受重力對轉軸的力矩整個棒對轉軸的力矩海南大學－大學物理電子教案由質心定義OlmCxdmxdmg重力對整個棒的力矩就和全部重力集中作用于質心所產生的力矩一樣海南大學－大學物理電子教案xLOMy例3：已知棒長L,質量M，在摩擦系數為的桌面轉動(如圖)求：轉動一周摩擦力做的功。解：摩擦力對轉軸的力矩xdx海南大學－大學物理電子教案

轉動中的能——剛體的轉動動能因此整個剛體的動能剛體的轉動動能應該是組成剛體的各個質點的動能之和。則該質點的動能為：設剛體中第i個質點的質量為，速度為,0‘0海南大學－大學物理電子教案——剛體因轉動而具有的動能，因此叫剛體的轉動動能。（剛體對轉軸的轉動慣量）所以上式寫為海南大學－大學物理電子教案例4：如圖，質量為m的四個小球由長為a的輕桿相連，它們組成一正方形的剛體體系。該體系繞y軸轉動，角速度為。求：該剛體體系的轉動動能。y解：該剛體體系對軸的轉動慣量轉動動能海南大學－大學物理電子教案定軸轉動的動能定理總外力矩對剛體所作的功為：由質點系動能定理對定軸轉動剛體——合外力矩對一個繞固定軸轉動的剛體所做的功等于剛體的轉動動能的增量。海南大學－大學物理電子教案例5：一質量為M，半徑R的圓盤，盤上繞著細繩，一端掛有質量為m的物體。問物體由靜止下落高度h時，其速度為多大？mgTMm解：隔離m、M對質點m應用動能定理對剛體M應用動能定理海南大學－大學物理電子教案解得：mgTMm課本P174例5.11海南大學－大學物理電子教案剛體的重力勢能hhihcxOmCm一個質元：整個剛體：根據質心定義，此剛體的質心高度應為海南大學－大學物理電子教案機械能守恒對于含有剛體的系統(tǒng),如果在運動過程中只有保守內力作功,則此系統(tǒng)的機械能守恒。一個不太大的剛體的重力勢能相當于它的全部質量都集中在質心時所具有的勢能。hhihcxOmCm其中質點動能mv2/2，勢能mgh剛體動能Jw2/2，勢能mghc海南大學－大學物理電子教案例6：一根長為l，質量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內轉動，初始時它在水平位置求：它由此下擺

角時的解法一：由動能定理求解OlmCx木棒在下擺過程中，只有重力產生力矩海南大學－大學物理電子教案解法二：用機械能守恒定律求解木棒在下擺過程中，只有重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒選木棒、地球為研究系統(tǒng)OlmCx海南大學－大學物理電子教案alov解：30°例14：一長為l、質量為M的桿可繞支點o自由轉動。一質量為m，速度為v的子彈射入距支點為