EMF8 cont 庫侖定律及場強

第8講電位函數(shù)授課內(nèi)容靜電場旋度和環(huán)路定律電位函數(shù)高斯通量定理8.1靜電場旋度和環(huán)路定律

1).

靜電場旋度（從物理角度）8.1.1

靜電場的旋度

分析當電荷q0在電場從P點沿路徑C移至Q(P0)點時所做的功。

定義P、Q兩點間的電壓為：

分析點電荷產(chǎn)生的電場中，P、Q兩點間的電壓：可見，UPQ只與P和Q點的位置有關(guān)，而與所取路徑無關(guān)。對于任何電荷分布，該結(jié)論都成立。

2).

靜電場的無旋性（從數(shù)學角度）

點電荷電場

矢量恒等式：故，靜電場是無旋場。取旋度0

2’).

靜電場的無旋性（從數(shù)學角度）

分布電荷電場故靜電場是無旋場。利用

當取電場E沿閉合路徑的線積分時，有在靜電場中，沿任一閉合路徑繞一周移動單位正電荷，電場力做的功為0，這意味著當所有電荷分布一定時，電場能量即為一定值，故靜電場為保守場。右式表明靜電場是一個無旋場。由斯托克斯定理，得

在靜電場中,電場強度沿著閉合回路的環(huán)量恒等于零。

電場力作功與路徑無關(guān),靜電場是保守場。

二者等價。QPmn8.1.2

靜電場的環(huán)路定律8.2電位函數(shù)1)

電位的引出根據(jù)靜電場的無旋性，可以定義另一個表征靜電場特性的場量---標量電位。如果取Q點作為電位參考點(電位為0)，則P點電位定義為：

電位的單位與電壓相同，為V(伏)。物理含義:與將電荷從一點移至另一點所做的功有關(guān)。在靜電場中，將單位電荷從P1點移P2點，克服電場力所做的功為：2)

電位參考點的選擇原則

場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。任意兩點的電壓就是兩點間的電位差。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。

選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。在實際工作中，常常把大地表面作為電位參考點。而在理論分析中，只要引起電場的全部電荷都在有限的空間區(qū)域內(nèi)，都可取無窮遠處作為電位參考點。

參考點的選取是任意的，參考點不同，各點的電位都增加(或減少)一個常數(shù)。3)

已知電荷分布，求電位：點電荷群連續(xù)分布電荷設參考點在無究遠處，真空中一個位于原點的點電荷q在離它R遠處的電位為：4)

電位與電場強度關(guān)系：根據(jù)靜電場的無旋性微分關(guān)系：右式說明，任意一點的電場強度E的方向總是沿著電位減少的最快方向，其大小等于電位的最大變化率。是對場點的微分算符，積分是對源點進行，可提到積分號外設P0為電位參考點，即，則P點電位為電位與電場強度的積分關(guān)系線積分所以式中5)

電力線與等位線（面）

E線：曲線上每一點切線方向應與該點電場強度E的方向一致，若是電力線的長度元，E

矢量將與方向一致，故電力線微分方程在直角坐標系中：微分方程的解即為電力線E的方程。當取不同的

C值時，可得到不同的等位線（面）。

在靜電場中電位相等的點的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:例:畫出電偶極子的等位線和電力線。電偶極子：相距很近的兩個等值異號電荷。(其與場點距離遠大于其正負電荷距離)電偶極子的電矩：

(p的方向由-q指向q)采用球坐標系：電力線微分方程（球坐標系）：代入上式，得解得Ｅ線方程為將和代入上式，等位線方程（球坐標系）：

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子

當R很大，且d<<R,r1,r2和R近似平行。r1r2電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負電荷;

E線愈密處，場強愈大;

E線與等位線（面）正交；電偶極子的等位線和電力線點電荷與接地導體的電場點電荷與不接地導體的電場均勻場中放進了介質(zhì)球的電場均勻場中放進了導體球的電場點電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場點電荷位于一塊導平面上方的電場例2-3：下圖表示真空中平面上一半徑為a的圓形線電荷，其線密度為，求軸線上離圓心z處P點的電位和電場強度。

由于電荷分布的對稱性，該處的電場強度僅有z方向的分量，即應用圓柱坐標系，P點電位為解：取一線元，其上所帶電荷量為，源點到場點P的距離為解：在圓盤上取一半徑為r、寬為dr的圓環(huán)，由于dr

很小，源點到場點P的距離即為，圓環(huán)上的元電荷，它在軸線上P點所產(chǎn)生的電位為例2-4：求電荷密度為、半徑為a的均勻帶電圓盤（見圖）軸上的電場強度。并代入a=r

，則同樣可得或者利用前例中圓形線電荷在軸線上產(chǎn)生的電位的公式，將dr

很小形成的圓環(huán)看成是圓形線電荷，其相應的線電荷密度滿足：整個圓盤上的電荷在P點的電位（z>0）可見，只要z有限，則E是均勻的，且與z無關(guān)。當時，相當與無限大帶電荷平面在其一側(cè)（z>0）附近產(chǎn)生的場：應用圓柱坐標系中的梯度表達式，可得到電場強度為8.3.1高斯通量定理的微分形式8.3真空中的高斯定理（靜電場中場與源的關(guān)系）作散度運算高斯定理的微分形式說明靜電場是有源場，電荷是電場的通量源。8.3.2高斯定理的積分形式

在無限大真空中有一點電荷，以該點電荷的在處為球心作一任意半徑為r的球面，則由該球面穿出的E通量應為：

在如果包圍點電荷的是一個任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出的E能量應為：

E對任意閉合面的通量只與面內(nèi)包含的電荷多少有關(guān)，而與閉合面的形狀無關(guān)。高斯定理：在真空電場中，由任意閉合面穿出的E通量，應等于該閉合面所包圍的電荷的代數(shù)和與真空電容率的比值

如果在無限大真空的電場中，閉合面S包圍了N個點電荷，根據(jù)疊加原理，可得：真空中高斯通量定理的積分形式靜電場中任一閉合面上E的通量不恒等于0，說明靜電場是有通量源的場，通量源為電荷。通過計算立體角的方法8.3.3

E的通量閉合曲面的電通量閉合面外的電荷對場的影響散度定理

S面上的E是由系統(tǒng)中全部電荷產(chǎn)生的。

E的通