離散數(shù)學(第15章)陳瑜

陳瑜Email：chenyu.inbox@g離散數(shù)學計算機學院2023/2/41計算機科學與工程學院第15章：半群與群15.1半群2023/2/42計算機科學與工程學院群是一種特殊的代數(shù)系統(tǒng)，是最重要的代數(shù)系統(tǒng)之一。群的理論廣泛應(yīng)用于數(shù)學、物理、化學以及很多人們不太熟悉的領(lǐng)域如社會學等。對計算機科學而言，群在自動化理論、形式語言、語法分析、編碼理論等方面都有直接應(yīng)用，并顯示出其強大功能。上一章中已經(jīng)給出了半群的定義，它要求運算是可結(jié)合的。許多常見的代數(shù)系統(tǒng)都是半群，甚至是含幺半群。下面是一些典型的半群例子。2023/2/43計算機科學與工程學院群是一種特殊的代數(shù)系統(tǒng)，是最重要的代數(shù)系統(tǒng)之一。群的理論廣泛應(yīng)用于數(shù)學、物理、化學以及很多人們不太熟悉的領(lǐng)域如社會學等。對計算機科學而言，群在自動化理論、形式語言、語法分析、編碼理論等方面都有直接應(yīng)用，并顯示出其強大功能。上一章中已經(jīng)給出了半群的定義，它要求運算是可結(jié)合的。許多常見的代數(shù)系統(tǒng)都是半群，甚至是含幺半群。下面是一些典型的半群例子。2023/2/44計算機科學與工程學院例：<R,+>滿足封閉、可結(jié)合、有幺元0的條件，因而是含幺半群。另外，它還滿足可換性，每個元x∈R都有加法逆元-x，因此，<R,+>也是一個可換群。<R,×>滿足封閉、可結(jié)合、有幺元1，因此是含幺半群。注意，因為0無乘法逆元，所以<R,×>只能是含幺半群。2023/2/45計算機科學與工程學院例

設(shè)Mm,n表示全休m行n列矩陣構(gòu)成的集合，+是矩陣加法，那么<Mm,n，+>滿足封閉、可結(jié)合的條件，元素全為0的m行n列矩陣是幺元，因此<Mm,n，+>是含幺半群。此外，Mm,n中每個矩陣Am,n都有加法逆矩陣-Am,n

，因而<Mm,n，+>還滿足逆元條件。2023/2/46計算機科學與工程學院例設(shè)F是由定義在非空集合S上的全體函數(shù)構(gòu)成的集合，即F={f:S→S}。對于函數(shù)的復(fù)合運算“”，<F，>滿足封閉性和可結(jié)合性，所以是半群。此外，定義在S上的恒等函數(shù)Is是<F，>的幺元，所以<F，>又是含幺半群。

2023/2/47計算機科學與工程學院例設(shè)∑是非空有限字母表，∑*是由定義在∑上的全體有限長字母串構(gòu)成的集合，或叫做∑上全體字的集合。在∑*上定義運算為字的連接“”，則<∑*,>滿足封閉和可結(jié)合的條件，并且空字是系統(tǒng)的幺元，所以<∑*,>是一個含幺半群。半群或含幺半群在計算機科學中有廣泛的應(yīng)用，尤其在從編譯技術(shù)發(fā)展起來的形式語言與自動機理論領(lǐng)域，含幺半群是很重要的的內(nèi)容之一。下面是半群的一個簡單的應(yīng)用例子。2023/2/48計算機科學與工程學院例設(shè)一個簡單的液晶顯示電子表僅有顯示時、分的兩個功能，有0、1兩個按鍵。按1鍵時由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)入調(diào)分狀態(tài)，此時按0鍵m次可以調(diào)增分數(shù)m；再按1鍵則轉(zhuǎn)入調(diào)時狀態(tài)，此時按0鍵n次，則時數(shù)增加n；最后再按1鍵回復(fù)到正常狀態(tài)。這一調(diào)節(jié)過程如圖(b)所示。(a)(b)2023/2/49計算機科學與工程學院

上面的調(diào)分和調(diào)時過程可表示為:

或由符號1和0組成的形如10m10n1的字符串集，即字母表∑={0，1}上的一個語言L={10m10n1|m，n≥0}。這種字母串可以被電子表中的微處理器(可以看成是一個小小的計算機)識別并執(zhí)行，其動作原理就是圖15-1.1(b)所示的狀態(tài)圖，稱為一個有限自動機，它反映了電子表依令而行的規(guī)則。語言L被相應(yīng)地稱為這個自動機所識別的語言。2023/2/410計算機科學與工程學院冪

設(shè)<S,*>是一個半群,由于*滿足結(jié)合律，可定義冪運算，即對xS，可定義：

x1=x，

x2=x*x，

x3=x*x2=x2*x=x*x*x，

……

xn=xn-1*x=x*xn-1=x*x*x*…*x。

……

如果<S,*>有單位元e，可以定義：x0=e冪運算有如下的公式：（見下頁）2023/2/411計算機科學與工程學院定理15.1設(shè)<S，*>是半群，aS，m和n是正整數(shù)，則：①

am*an=am+n；②(am)n=amn。當<S，*>是含幺半群時，上述結(jié)論對任意非負整數(shù)m和n都成立。

證明：設(shè)m是一個固定的正整數(shù)，對n進行歸納。對于①：

當n=1時，由冪的定義可知結(jié)論成立；設(shè)結(jié)論對n=k時成立，則am*ak+1=am*(ak*a)(由冪的定義)

=(am*ak)*a(可結(jié)合性）=(am+k)*a（歸納假設(shè)）=am+(k+1)

由歸納法可知，結(jié)論成立。2023/2/412計算機科學與工程學院定理15.1設(shè)<S，*>是半群，aS，m和n是正整數(shù)，則：①

am*an=am+n；②(am)n=amn。當<S，*>是含幺半群時，上述結(jié)論對任意非負整數(shù)m和n都成立。

證明：設(shè)m是一個固定的正整數(shù)，對n進行歸納。對于①：

當n=1時，由冪的定義可知結(jié)論成立；設(shè)結(jié)論對n=k時成立，則am*ak+1=am*(ak*a)(由冪的定義)

=(am*ak)*a(可結(jié)合性）=(am+k)*a（歸納假設(shè)）=am+(k+1)

由歸納法可知，結(jié)論成立。2023/2/413計算機科學與工程學院定理15.1設(shè)<S，*>是半群，aS，m和n是正整數(shù)，則：①

am*an=am+n；②(am)n=amn。當<S，*>是含幺半群時，上述結(jié)論對任意非負整數(shù)m和n都成立。

證明：設(shè)m是一個固定的正整數(shù)，對n進行歸納。對于①：

當n=1時，由冪的定義可知結(jié)論成立；設(shè)結(jié)論對n=k時成立，則am*ak+1=am*(ak*a)(由冪的定義)

=(am*ak)*a(可結(jié)合性）=(am+k)*a（歸納假設(shè)）=am+(k+1)

由歸納法可知，結(jié)論成立。對于②可以類似的進行歸納證明。2023/2/414計算機科學與工程學院注意：當運算為加法“+”時，上述定理應(yīng)寫成：

ma+na=(m+n)an(ma)=(mn)a2023/2/415計算機科學與工程學院定理15.2

有限半群S，必有冪等元，即存在aS，a2=a

。(參見教材p183）

注意此處的a2的正確含義！a*a=a2,不是數(shù)學中的乘法！2023/2/416計算機科學與工程學院定理15.2

有限半群S，必有冪等元，即存在aS，a2=a

。

證明：如果S中有幺元e，則e就是冪等元。如果S中沒有幺元，任取bS。由集合S的有限性，必有：

bi=bj=bj-ibi(j>i)所以，對任何t>i都有：bt=bj-ibt(注:t=i+l,bt=bi+l=bi*b1)=b2(j-i)bt=...（反復(fù)迭代）=bk(j-i)bt

（此處k(j-i)>i）令t=k(j-i),則得到bt=btbt即bt是冪等元。2023/2/417計算機科學與工程學院定理15.2

有限半群S，必有冪等元，即存在aS，a2=a

。

證明：如果S中有幺元e，則e就是冪等元。如果S中沒有幺元，任取bS。由集合S的有限性，必有：

bi=bj=bj-ibi(j>i)所以，對任何t>i都有：bt=bj-ibt(例如:t=i+l,bt=bi+l=bi*b1)

=b2(j-i)bt=...（反復(fù)迭代）=bk(j-i)bt

（此處k(j-i)>i）令t=k(j-i),則得到bt=btbt即bt是冪等元。2023/2/418計算機科學與工程學院定理15.2

有限半群S，必有冪等元，即存在aS，a2=a

。

證明：如果S中有幺元e，則e就是冪等元。如果S中沒有幺元，任取bS。由集合S的有限性，必有：

bi=bj=bj-ibi(j>i)所以，對任何t>i都有：bt=bj-ibt(例如:t=i+l,bt=bi+l=bi*b1)=b2(j-i)bt=...（反復(fù)迭代）

=bk(j-i)bt

（此處k(j-i)>i）令t=k(j-i),則得到bt=btbt即bt是冪等元。2023/2/419計算機科學與工程學院定理15.2

有限半群S，必有冪等元，即存在aS，a2=a

。

證明：如果S中有幺元e，則e就是冪等元。如果S中沒有幺元，任取bS。由集合S的有限性，必有：

bi=bj=bj-ibi(j>i)所以，對任何t>i都有：bt=bj-ibt(例如:t=i+l,bt=bi+l=bi*b1)=b2(j-i)bt=...（反復(fù)迭代）

=bk(j-i)bt

（此處k(j-i)>i）令t=k(j-i),則得到bt=btbt即bt是冪等元。

注意，若S不是有限集，則不一定有冪等元。例如，正整數(shù)集關(guān)于加法運算是一個半群，但是不存在冪等元。含幺半群至少含有一個冪等元，那就是幺元。一個半群甚至含幺半群也可以含有多個冪等元。不難驗證<2S，∩>是以S為幺元的含幺半群。由于集合交運算是冪等的，所以中每個元都是冪等元。2023/2/420計算機科學與工程學院子半群定義15.1如果<S,*>是半群，T是S的非空子集，且T對運算*是封閉的，則稱<T,*>是半群<S,*>的子半群；如果<S,*,e>是含幺半群，T∈S，e∈T，且T對運算*是封閉的，則稱<T,*,e>是含幺半群<S,*,e>的子含幺半群。

例：半群<R，×>的子代數(shù)<[0，1]，×>，<Z，×>，<R+，×>都是<R，×>的子半群。2023/2/421計算機科學與工程學院子半群定義15.1如果<S,*>是半群，T是S的非空子集，且T對運算*是封閉的，則稱<T,*>是半群<S,*>的子半群；如果<S,*,e>是含幺半群，T∈S，e∈T，且T對運算*是封閉的，則稱<T,*,e>是含幺半群<S,*,e>的子含幺半群。

例：半群<R，×>的子代數(shù)<[0，1]，×>，<Z，×>，<R+，×>都是<R，×>的子半群。2023/2/422計算機科學與工程學院子半群定義15.1如果<S,*>是半群，T是S的非空子集，且T對運算*是封閉的，則稱<T,*>是半群<S,*>的子半群；如果<S,*,e>是含幺半群，T∈S，e∈T，且T對運算*是封閉的，則稱<T,*,e>是含幺半群<S,*,e>的子含幺半群。

例：半群<R，×>的子代數(shù)<[0，1]，×>，<Z，×>，<R+，×>都是<R，×>的子半群。2023/2/423計算機科學與工程學院例設(shè)<S，*>是一個可換的含幺半群，M是它的所有的等冪元構(gòu)成的集合，則<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。證明：(1)顯然，MS；(2)<S，*>是含幺半群，所以幺元e存在，又e*e＝e，則e是一個等冪元，即有e∈M，所以M是非空的；(3)e∈M；(4)對任意a，b∈M，有(a*b)*(a*b)＝a*(b*a)*b＝a*(a*b)*b ＝(a*a)*(b*b)＝a*b， 即運算“*”關(guān)于集合M是封閉的運算。由(1)、(2)、(3)、(4)知：<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。2023/2/424計算機科學與工程學院例設(shè)<S，*>是一個可換的含幺半群，M是它的所有的等冪元構(gòu)成的集合，則<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。證明：(1)

顯然，MS；(2)<S，*>是含幺半群，所以幺元e存在，又e*e＝e，則e是一個等冪元，即有e∈M，所以M是非空的；(3)e∈M；(4)對任意a，b∈M，有(a*b)*(a*b)＝a*(b*a)*b＝a*(a*b)*b ＝(a*a)*(b*b)＝a*b， 即運算“*”關(guān)于集合M是封閉的運算。由(1)、(2)、(3)、(4)知：<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。2023/2/425計算機科學與工程學院例設(shè)<S，*>是一個可換的含幺半群，M是它的所有的等冪元構(gòu)成的集合，則<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。證明：(1)

顯然，MS；(2)<S，*>是含幺半群，所以幺元e存在，又e*e＝e，則e是一個等冪元，即有e∈M，所以M是非空的；(3)e∈M；(4)對任意a，b∈M，有(a*b)*(a*b)＝a*(b*a)*b＝a*(a*b)*b ＝(a*a)*(b*b)＝a*b， 即運算“*”關(guān)于集合M是封閉的運算。由(1)、(2)、(3)、(4)知：<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。2023/2/426計算機科學與工程學院例設(shè)<S，*>是一個可換的含幺半群，M是它的所有的等冪元構(gòu)成的集合，則<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。證明：(1)

顯然，MS；(2)

<S，*>是含幺半群，所以幺元e存在，又e*e＝e，則e是一個等冪元，即有e∈M，所以M是非空的；(3)e∈M；(4)對任意a，b∈M，有(a*b)*(a*b)＝a*(b*a)*b＝a*(a*b)*b ＝(a*a)*(b*b)＝a*b， 即運算“*”關(guān)于集合M是封閉的運算。由(1)、(2)、(3)、(4)知：<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。2023/2/427計算機科學與工程學院例設(shè)<S，*>是一個可換的含幺半群，M是它的所有的等冪元構(gòu)成的集合，則<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。證明：(1)

顯然，MS；(2)

<S，*>是含幺半群，所以幺元e存在，又e*e＝e，則e是一個等冪元，即有e∈M，所以M是非空的；(3)

e∈M；(4)對任意a，b∈M，有(a*b)*(a*b)＝a*(b*a)*b＝a*(a*b)*b ＝(a*a)*(b*b)＝a*b， 即運算“*”關(guān)于集合M是封閉的運算。

由(1)、(2)、(3)、(4)知：<M，*>是<S，*>的一個子含幺半群。2023/2/428計算機科學與工程學院習題P1932、4、62023/2/429計算機科學與工程學院15.2群和子群2023/2/430計算機科學與工程學院主要內(nèi)容一個非常重要的代數(shù)系統(tǒng)——群。主要從以下幾個方面來介紹：群的概念和基本性質(zhì)。群的子群和性質(zhì)。群中元素的周期和性質(zhì)。特殊群及其性質(zhì)，如交換群（Abel群）、循環(huán)群。陪集和拉格郎日定理。2023/2/431計算機科學與工程學院在§14.2中已經(jīng)為群下了定義，把群看成是在含幺半群的基礎(chǔ)上加上每元有逆元的條件，其核心內(nèi)容可用“閉、結(jié)、幺、逆”四個字予以概括。下面是一些典型的群的例子。2023/2/432計算機科學與工程學院例：我們已經(jīng)知道<Z,+>是含幺半群，由于每個整數(shù)a都有加法逆元-a，所以<Z,+>是群，一般叫做整數(shù)加群。同理，是<R,+>實數(shù)加群，<Q,+>是有理數(shù)加群。對于數(shù)的乘法，<Z,×>是含幺半群而不是群，因為整數(shù)一般無Z中的乘法逆元。<R-{0},×>是實數(shù)乘群，它的幺元是1，每元的乘法逆元為1/a。2023/2/433計算機科學與工程學院例：設(shè)Zk表示整數(shù)集Z上的模k剩余類集合，即:Zk={[0],[1],[2],…,[k-1]}。在Zk上定義運算和如下：

那么，是群。這是因為封閉性和可結(jié)合性是明顯成立的，[0]是幺元，每元[i]的逆元是[k-i]。群習慣上又稱為剩余類加群。

2023/2/434計算機科學與工程學院例設(shè)n個元素的集合A上的全體置換構(gòu)成集合Sn。由第6章中關(guān)于置換的討論，Sn中兩個置換的復(fù)合仍然是A上的一個置換，因而運算是封閉的；其次，由于函數(shù)的復(fù)合是可結(jié)合的，因而置換的復(fù)合也是可結(jié)合的；在Sn中存在幺置換=(1)，使對任何Sn中的置換均有，因而=(1)是幺元；把每個元素的x變成y的置換，其逆置換則把元素y變成x，因而每個置換都有逆。由此可知，<Sn,

>構(gòu)成群，這個群一般稱為n次對稱群，是一類重要的群。群盡管是用“閉、結(jié)、幺、逆”四個條件來定義的，但是它還可以用別的形式等價地定義。2023/2/435計算機科學與工程學院例設(shè)n個元素的集合A上的全體置換構(gòu)成集合Sn。由第6章中關(guān)于置換的討論，Sn中兩個置換的復(fù)合仍然是A上的一個置換，因而運算是封閉的；其次，由于函數(shù)的復(fù)合是可結(jié)合的，因而置換的復(fù)合也是可結(jié)合的；在Sn中存在幺置換=(1)，使對任何Sn中的置換均有，因而=(1)是幺元；把每個元素的x變成y的置換，其逆置換則把元素y變成x，因而每個置換都有逆。由此可知，<Sn,

>構(gòu)成群，這個群一般稱為n次對稱群，是一類重要的群。群盡管是用“閉、結(jié)、幺、逆”四個條件來定義的，但是它還可以用別的形式等價地定義。2023/2/436計算機科學與工程學院群定理15-2.1如果<G,*>是半群，并且對a，bG，都存在x，yG使x*a=b，a*y=b，則<G,*>是群。群中元素的數(shù)目稱為群的階。

證明：設(shè)aG，方程x*a=a的解為e1，∵對tG，方程a*y=t有解y0，∴e1*t=e1*（a*y0）=（e1*a）*y0=a*y0=t

即對tG，必有e1*t=t，e1是G中的左幺元。同樣可以證明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e。同理，對bG，方程x*b=e有解x0，這個x0是b的左逆元，方程b*y=e的解是b的右逆元，從而b有逆元。所以，<G,*>是群。2023/2/437計算機科學與工程學院群定理15.3如果<G,*>是半群，并且對a，bG，都存在x，yG使x*a=b，a*y=b，則<G,*>是群。群中元素的數(shù)目稱為群的階。證明：

設(shè)aG，方程x*a=a的解為e1，∵對tG，方程a*y=t有解y0，∴e1*t=e1*（a*y0）=（e1*a）*y0=a*y0=t

即對tG，必有e1*t=t，e1是G中的左幺元。同樣可以證明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e。同理，對bG，方程x*b=e有解x0，這個x0是b的左逆元，方程b*y=e的解是b的右逆元，從而b有逆元。所以，<G,*>是群。2023/2/438計算機科學與工程學院群定理15.3如果<G,*>是半群，并且對a，bG，都存在x，yG使x*a=b，a*y=b，則<G,*>是群。群中元素的數(shù)目稱為群的階。證明：

設(shè)aG，方程x*a=a的解為e1，∵對tG，方程a*y=t有解y0，∴e1*t=e1*（a*y0）=（e1*a）*y0=a*y0=t

即對tG，必有e1*t=t，e1是G中的左幺元。同樣可以證明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e。

同理，對bG，方程x*b=e有解x0，這個x0是b的左逆元，方程b*y=e的解是b的右逆元，從而b有逆元。所以，<G,*>是群。2023/2/439計算機科學與工程學院群定理15.3如果<G,*>是半群，并且對a，bG，都存在x，yG使x*a=b，a*y=b，則<G,*>是群。群中元素的數(shù)目稱為群的階。證明：

設(shè)aG，方程x*a=a的解為e1，∵對tG，方程a*y=t有解y0，∴e1*t=e1*（a*y0）=（e1*a）*y0=a*y0=t

即對tG，必有e1*t=t，e1是G中的左幺元。

同樣可以證明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e。

同理，對bG，方程x*b=e有解x0，這個x0是b的左逆元，方程b*y=e的解是b的右逆元，從而b有逆元。所以，<G,*>是群。設(shè)aG，方程a*y=a的解為e2，∵對tG，方程x*a=t有解x0，∴t*e2=（x0*a）*e2=x0*(a*e2)=x0*a=t

即對tG，必有t*e2=t，e2是G中的右幺元。2023/2/440計算機科學與工程學院群定理15.3如果<G,*>是半群，并且對a，bG，都存在x，yG使x*a=b，a*y=b，則<G,*>是群。群中元素的數(shù)目稱為群的階。證明：

設(shè)aG，方程x*a=a的解為e1，∵對tG，方程a*y=t有解y0，∴e1*t=e1*（a*y0）=（e1*a）*y0=a*y0=t

即對tG，必有e1*t=t，e1是G中的左幺元。同樣可以證明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e。

同理，對bG，方程x*b=e有解x0，這個x0是b的左逆元，方程b*y=e的解是b的右逆元，從而b有逆元。所以，<G,*>是群。2023/2/441計算機科學與工程學院群定理15.3如果<G,*>是半群，并且對a，bG，都存在x，yG使x*a=b，a*y=b，則<G,*>是群。群中元素的數(shù)目稱為群的階。證明：

設(shè)aG，方程x*a=a的解為e1，∵對tG，方程a*y=t有解y0，∴e1*t=e1*（a*y0）=（e1*a）*y0=a*y0=t

即對tG，必有e1*t=t，e1是G中的左幺元。同樣可以證明G中有右幺元e2，所以G中有幺元e。

同理，對bG，方程x*b=e有解x0，這個x0是b的左逆元，方程b*y=e的解是b的右逆元，從而b有逆元。所以，<G,*>是群。這個定理說明，在群的定義中幺元及逆元的條件可用方程有解來代替。另外，群定義中的幺元條件可以用存在左幺元(或右幺元)的條件代替，逆元的條件可以用左逆元(或右逆元)代替。2023/2/442計算機科學與工程學院定理15.4群G中每個元素都是可消去的，即運算滿足消去律；（即如果a*b=a*c，則必有b=c）群G中除幺元e外無其它冪等元；群G的運算表中任意一行(列)都沒有兩個相同的元素（重復(fù)元素）；2023/2/443計算機科學與工程學院定理15.4群G中每個元素都是可消去的，即運算滿足消去律；（即如果a*b=a*c，則必有b=c）群G中除幺元e外無其它冪等元；群G的運算表中任意一行(列)都沒有兩個相同的元素（重復(fù)元素）；證明：由于群G中每個元素都有逆元a-1，由a*b=a*c

a-1*a*b=a-1*a*c，即b=c2023/2/444計算機科學與工程學院定理15.4群G中每個元素都是可消去的，即運算滿足消去律；（即如果a*b=a*c，則必有b=c）群G中除幺元e外無其它冪等元；群G的運算表中任意一行(列)都沒有兩個相同的元素（重復(fù)元素）；2023/2/445計算機科學與工程學院定理15.4群G中每個元素都是可消去的，即運算滿足消去律；（即如果a*b=a*c，則必有b=c）群G中除幺元e外無其它冪等元；群G的運算表中任意一行(列)都沒有兩個相同的元素（重復(fù)元素）；證明：（反證法）假設(shè)a是群G中非幺元的冪等元，即a*a＝a，且a≠e。因此a*a＝a*e，由（1）知a＝e，矛盾。2023/2/446計算機科學與工程學院定理15.4群G中每個元素都是可消去的，即運算滿足消去律；（即如果a*b=a*c，則必有b=c）群G中除幺元e外無其它冪等元；群G的運算表中任意一行(列)都沒有兩個相同的元素（重復(fù)元素）；2023/2/447計算機科學與工程學院定理15.4群G中每個元素都是可消去的，即運算滿足消去律；（即如果a*b=a*c，則必有b=c）群G中除幺元e外無其它冪等元；群G的運算表中任意一行(列)都沒有兩個相同的元素（重復(fù)元素）；證明：（反證法）假設(shè)群G的運算表中某一行(列)有兩個相同的元素，設(shè)為a，并設(shè)它們所在的行表頭元素為b，列表頭元素分別為c1,c2，這時顯然有c1≠c2。而a＝bc1＝bc2，由(1)得c1＝c2，矛盾。

2023/2/448計算機科學與工程學院補充例：構(gòu)造一個3階群。

解：設(shè)e是幺元，G={e,a,b}

則可構(gòu)造的3階群如下：2023/2/449計算機科學與工程學院定理15.5

設(shè)<G,*>是群，a∈G。構(gòu)造映射，使得對任意x∈G，，令

，則對于函數(shù)的復(fù)合運算“”，<H,>是群。（P185）

定理的證明留與讀者練習

這個定理說明：可以由一個已知的群來構(gòu)造出一個新的群。2023/2/450計算機科學與工程學院例：設(shè)X是任意集合，S={f:X→X|f是雙射函數(shù)}，即S是X上的所有雙射函數(shù)的集合，運算“?！笔呛瘮?shù)的復(fù)合運算，證明<S，。>是群。

證明：（1）封閉性：f,g∈S，f、g是雙射，則f。g也是雙射，因此f。g∈S，故封閉性成立。（2）結(jié)合律：由函數(shù)的運算“?！睗M足結(jié)合律，因此在S中也滿足結(jié)合律。

2023/2/451計算機科學與工程學院例：設(shè)X是任意集合，S={f:X→X|f是雙射函數(shù)}，即S是X上的所有雙射函數(shù)的集合，運算“?！笔呛瘮?shù)的復(fù)合運算，證明<S，。>是群。

證明：

（1）封閉性：f,g∈S，f、g是雙射，則f。g也是雙射，因此f。g∈S，故封閉性成立。

（2）結(jié)合律：由函數(shù)的運算“?！睗M足結(jié)合律，因此在S中也滿足結(jié)合律。

2023/2/452計算機科學與工程學院例：設(shè)X是任意集合，S={f:X→X|f是雙射函數(shù)}，即S是X上的所有雙射函數(shù)的集合，運算“?！笔呛瘮?shù)的復(fù)合運算，證明<S，。>是群。

證明：

（1）封閉性：f,g∈S，f、g是雙射，則f。g也是雙射，因此f。g∈S，故封閉性成立。

（2）結(jié)合律：由函數(shù)的運算“?！睗M足結(jié)合律，因此在S中也滿足結(jié)合律。

2023/2/453計算機科學與工程學院例：設(shè)X是任意集合，S={f:X→X|f是雙射函數(shù)}，即S是X上的所有雙射函數(shù)的集合，運算“?！笔呛瘮?shù)的復(fù)合運算，證明<S，。>是群。

證明：（續(xù)）

（3）幺元：恒等映射IX∈S,且f∈S，有：

IX。f=f。IX=f，因此IX是<S，。>的幺元。

（4）f,g∈S是雙射，則f的逆函數(shù)f-1存在，f-1也是雙射，即f-1∈S，且有：f-1。f=f。f-1=IX，因此，f的逆函數(shù)f-1就是f關(guān)于“?！钡哪嬖?，即S的任意元素都有逆元。綜合（1）（2）（3）（4）知<S，。>是群。2023/2/454計算機科學與工程學院例：設(shè)X是任意集合，S={f:X→X|f是雙射函數(shù)}，即S是X上的所有雙射函數(shù)的集合，運算“?！笔呛瘮?shù)的復(fù)合運算，證明<S，。>是群。

證明：（續(xù)）

（3）幺元：恒等映射IX∈S,且f∈S，有：

IX。f=f。IX=f，因此IX是<S，。>的幺元。

（4）

f,g∈S是雙射，則f的逆函數(shù)f-1存在，f-1也是雙射，即f-1∈S，且有：f-1。f=f。f-1=IX，因此，f的逆函數(shù)f-1就是f關(guān)于“?！钡哪嬖?，即S的任意元素都有逆元。

綜合（1）（2）（3）（4）知<S，。>是群。2023/2/455計算機科學與工程學院課外練習：設(shè)A=R-{0，1}，在A上定義6個映射如下：對于任意x∈A有：令G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}。試證明G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算“。”構(gòu)成群<G，。>。2023/2/456計算機科學與工程學院子群定義15.2

設(shè)<G，*>是一個群，S是G的一個非空子集，若S也是群，則稱<S，*>是<G，*>的一個子群。

一般來說，對任意的群<G，*>，都有兩個子群<{e}，*>，<G，*>，我們稱此兩個子群為該群的平凡子群,而若有子群<S,*>,且S{e}和SG，則稱<S，*>為<G，*>的真子群。另外，由群中的一個元素也可生成一個子群。定義為：a-k=（ak）-1。2023/2/457計算機科學與工程學院子群定義15.2設(shè)<G，*>是一個群，S是G的一個非空子集，若S也是群，則稱<S，*>是<G，*>的一個子群。

一般來說，對任意的群<G，*>，都有兩個子群<{e}，*>，<G，*>，我們稱此兩個子群為該群的平凡子群,而若有子群<S,*>,且S{e}和SG，則稱<S，*>為<G，*>的真子群。另外，由群中的一個元素也可生成一個子群。為此，需要將群中元素的冪擴充到負指數(shù)的形式，即定義為：a-k=（ak）-1。2023/2/458計算機科學與工程學院子群定義15.2設(shè)<G，*>是一個群，S是G的一個非空子集，若S也是群，則稱<S，*>是<G，*>的一個子群。一般來說，對任意的群<G，*>，都有兩個子群<{e}，*>，<G，*>，我們稱此兩個子群為該群的平凡子群,而若有子群<S,*>,且S{e}和SG，則稱<S，*>為<G，*>的真子群。另外，由群中的一個元素也可生成一個子群。為此，需要將群中元素的冪擴充到負指數(shù)的形式，即定義為：a-k=（ak）-1。2023/2/459計算機科學與工程學院定理15.6設(shè)<G，*>是一個群，對任意的a∈G，令S＝{an|n∈Z，Z是整數(shù)}，則<S，*>是<G，*>的子群。

證明：因為a∈S，所以顯然S是G的非空子集。 對任意的an，am∈S，則an*am＝an+m， 由n,m∈Z，有n+m∈Z，所以an+m∈S，即運算是封閉的；由S是G的子集可得結(jié)合律也成立；由于e=a0S，所以S中有幺元；又∵anS有逆元a-n使an*a-n=e

∴綜上所述，<S，*>是<G，*>的子群。2023/2/460計算機科學與工程學院定理15.6設(shè)<G，*>是一個群，對任意的a∈G，令S＝{an|n∈Z，Z是整數(shù)}，則<S，*>是<G，*>的子群。

證明：

因為a∈S，所以顯然S是G的非空子集。

對任意的an，am∈S，則an*am＝an+m， 由n,m∈Z，有n+m∈Z，所以an+m∈S，即運算是封閉的；由S是G的子集可得結(jié)合律也成立；由于e=a0S，所以S中有幺元；又∵anS有逆元a-n使an*a-n=e

∴綜上所述，<S，*>是<G，*>的子群。2023/2/461計算機科學與工程學院定理15.6設(shè)<G，*>是一個群，對任意的a∈G，令S＝{an|n∈Z，Z是整數(shù)}，則<S，*>是<G，*>的子群。

證明：因為a∈S，所以顯然S是G的非空子集。 對任意的an，am∈S，則an*am＝an+m，

由n,m∈Z，有n+m∈Z，所以an+m∈S，即運算是封閉的；由S是G的子集可得結(jié)合律也成立；由于e=a0S，所以S中有幺元；又∵anS有逆元a-n使an*a-n=e

∴綜上所述，<S，*>是<G，*>的子群。2023/2/462計算機科學與工程學院定理15.6設(shè)<G，*>是一個群，對任意的a∈G，令S＝{an|n∈Z，Z是整數(shù)}，則<S，*>是<G，*>的子群。

證明：因為a∈S，所以顯然S是G的非空子集。

對任意的an，am∈S，則an*am＝an+m， 由n,m∈Z，有n+m∈Z，所以an+m∈S，即運算是封閉的；由S是G的子集可得結(jié)合律也成立；由于e=a0S，所以S中有幺元；又∵anS有逆元a-n使an*a-n=e

∴綜上所述，<S，*>是<G，*>的子群。2023/2/463計算機科學與工程學院定理15-2.4設(shè)<G，*>是一個群，對任意的a∈G，令S＝{an|n∈Z，Z是整數(shù)}，則<S，*>是<G，*>的子群。

證明：因為a∈S，所以顯然S是G的非空子集。

對任意的an，am∈S，則an*am＝an+m， 由n,m∈Z，有n+m∈Z，所以an+m∈S，即運算是封閉的；由S是G的子集可得結(jié)合律也成立；由于e=a0S，所以S中有幺元；

又∵anS有逆元a-n使an*a-n=e

∴綜上所述，<S，*>是<G，*>的子群。2023/2/464計算機科學與工程學院特別把由群的一個元素a生成的子群記為(a)。例如在<Z，+>中，由元素2生成的子群(2)是由全體偶數(shù)關(guān)于加法構(gòu)成的群，而由元素1生成的子群正好是Z本身。

2023/2/465計算機科學與工程學院定理15.7設(shè)<G,*>是一個群,<S,*>是<G,*>的子群,則:

1）子群<S，*>的幺元eS也是群<G，*>的幺元eG；

2）對aS，a在S中的逆元aS-1就是a在G中的逆元aG-1。證明：1)對aS，由于eS是S的幺元， 所以有：eS*a＝a*eS＝a ① 又SG,所以aG,由eG是G的幺元，所以有： eG*a＝a*eG＝a ② 由①、②有：eS*a＝a*eS＝a＝eG*a＝a*eG， 由于G滿足消去律，所以有：eS＝eG。2)對aS，由于SG，所以aG，即a在S中的逆元就是a在G中的逆元。2023/2/466計算機科學與工程學院定理15.7設(shè)<G,*>是一個群,<S,*>是<G,*>的子群,則:

1）子群<S，*>的幺元eS也是群<G，*>的幺元eG；

2）對aS，a在S中的逆元aS-1就是a在G中的逆元aG-1。證明：1)對aS，由于eS是S的幺元， 所以有：eS*a＝a*eS＝a ① 又SG,所以aG,由eG是G的幺元，所以有： eG*a＝a*eG＝a ② 由①、②有：eS*a＝a*eS＝a＝eG*a＝a*eG， 由于G滿足消去律，所以有：eS＝eG。2)對aS，由于SG，所以aG，即a在S中的逆元就是a在G中的逆元。2023/2/467計算機科學與工程學院定理15.7設(shè)<G,*>是一個群,<S,*>是<G,*>的子群,則:

1）子群<S，*>的幺元eS也是群<G，*>的幺元eG；

2）對aS，a在S中的逆元aS-1就是a在G中的逆元aG-1。證明：1)對aS，由于eS是S的幺元， 所以有：eS*a＝a*eS＝a ①

又SG,所以aG,由eG是G的幺元，所以有： eG*a＝a*eG＝a ② 由①、②有：eS*a＝a*eS＝a＝eG*a＝a*eG， 由于G滿足消去律，所以有：eS＝eG。2)對aS，由于SG，所以aG，即a在S中的逆元就是a在G中的逆元。2023/2/468計算機科學與工程學院定理15.7設(shè)<G,*>是一個群,<S,*>是<G,*>的子群,則:

1）子群<S，*>的幺元eS也是群<G，*>的幺元eG；

2）對aS，a在S中的逆元aS-1就是a在G中的逆元aG-1。證明：1)對aS，由于eS是S的幺元， 所以有：eS*a＝a*eS＝a ① 又SG,所以aG,由eG是G的幺元，所以有： eG*a＝a*eG＝a ②

由①、②有：eS*a＝a*eS＝a＝eG*a＝a*eG， 由于G滿足消去律，所以有：eS＝eG。2)對aS，由于SG，所以aG，即a在S中的逆元就是a在G中的逆元。2023/2/469計算機科學與工程學院定理15.7設(shè)<G,*>是一個群,<S,*>是<G,*>的子群,則:

1）子群<S，*>的幺元eS也是群<G，*>的幺元eG；

2）對aS，a在S中的逆元aS-1就是a在G中的逆元aG-1。證明：1)對aS，由于eS是S的幺元， 所以有：eS*a＝a*eS＝a ① 又SG,所以aG,由eG是G的幺元，所以有： eG*a＝a*eG＝a ② 由①、②有：eS*a＝a*eS＝a＝eG*a＝a*eG， 由于G滿足消去律，所以有：eS＝eG。

2)對aS，由于SG，所以aG，即a在S中的逆元就是a在G中的逆元。2023/2/470計算機科學與工程學院定理15.8設(shè)<G，*>是一個群，S是G的一個非空子集，則<S，*>是<G，*>的子群的充要條件是：對a，bS，有a*b-1S。

證明：“”設(shè)S是G的子群，對aS，由群的定義知，b-1S，即有a*b-1S。所以必要性成立；“”由子群的定義知，需證明如下四點：

1)S是非空的子集；2023/2/471計算機科學與工程學院定理15.8設(shè)<G，*>是一個群，S是G的一個非空子集，則<S，*>是<G，*>的子群的充要條件是：對a，bS，有a*b-1S。

證明：

“”設(shè)S是G的子群，對aS，由群的定義知，b-1S，即有a*b-1S。所以必要性成立；

“”由子群的定義知，需證明如下四點：

1)S是非空的子集；2023/2/472計算機科學與工程學院定理15.8設(shè)<G，*>是一個群，S是G的一個非空子集，則<S，*>是<G，*>的子群的充要條件是：對a，bS，有a*b-1S。證明：“”設(shè)S是G的子群，對aS，由群的定義知，b-1S，即有a*b-1S。所以必要性成立；

“”由子群的定義知，需證明如下四點：

1)

S是非空的子集；2023/2/473計算機科學與工程學院2)

幺元存在：由于SΦ，所以有aS，由對a,bS,有a*b-1S,取a＝b,有eG＝a*a-1S;3)逆元存在：對a,bS，有a*b-1S， 對bS，由eGS，有b-1＝eG*b-1S；4)封閉性：對a,bS，由3)知：b-1S，由條件知：a*(b-1)-1S，即a*bS.由1)、2)、3)、4)知:<S,*>是<G,*>的子群。2023/2/474計算機科學與工程學院2)

幺元存在：由于SΦ，所以有aS，由對a,bS,有a*b-1S,取a＝b,有eG＝a*a-1S;3)

逆元存在：對a,bS，有a*b-1S， 對bS，由eGS，有b-1＝eG*b-1S；4)封閉性：對a,bS，由3)知：b-1S，由條件知：a*(b-1)-1S，即a*bS.由1)、2)、3)、4)知:<S,*>是<G,*>的子群。2023/2/475計算機科學與工程學院2)

幺元存在：由于SΦ，所以有aS，由對a,bS,有a*b-1S,取a＝b,有eG＝a*a-1S;3)

逆元存在：對a,bS，有a*b-1S， 對bS，由eGS，有b-1＝eG*b-1S；4)

封閉性：對a,bS，由3)知：b-1S，由條件知：a*(b-1)-1S，即a*bS.由1)、2)、3)、4)知:<S,*>是<G,*>的子群。2023/2/476計算機科學與工程學院例:

設(shè)<G，*>是一個群，令：C＝{a|aG且對xG，有：a*x＝x*a}

證明<C，*>是<G，*>的一個子群。

證明:1)非空性：對xG，由于幺元eG存在，所以有:e*x＝x*e＝x，即eC，所以C是非空的；

2)封閉性：對a，bC，則有：對xGa*x＝x*a， b*x＝x*b， ∴(a*b)*x＝a*(b*x)＝a*(x*b)

＝(a*x)*b＝(x*a)*b＝x*(a*b)， 即：a*bC；2023/2/477計算機科學與工程學院例:

設(shè)<G，*>是一個群，令：C＝{a|aG且對xG，有：a*x＝x*a}

證明<C，*>是<G，*>的一個子群。證明:

1)非空性：對xG，由于幺元eG存在，所以有:e*x＝x*e＝x，即eC，所以C是非空的；

2)封閉性：對a，bC，則有：對xGa*x＝x*a， b*x＝x*b， ∴(a*b)*x＝a*(b*x)＝a*(x*b)

＝(a*x)*b＝(x*a)*b＝x*(a*b)， 即：a*bC；2023/2/478計算機科學與工程學院例:

設(shè)<G，*>是一個群，令：C＝{a|aG且對xG，有：a*x＝x*a}

證明<C，*>是<G，*>的一個子群。證明:

1)非空性：對xG，由于幺元eG存在，所以有:e*x＝x*e＝x，即eC，所以C是非空的；

2)

封閉性：對a，bC，則有：對xGa*x＝x*a， b*x＝x*b， ∴(a*b)*x＝a*(b*x)＝a*(x*b)

＝(a*x)*b＝(x*a)*b＝x*(a*b)， 即：a*bC；2023/2/479計算機科學與工程學院3)、逆元存在：對aC，有：對xG，a*x＝x*a

∵CG，∴aG，即有：a-1G，有：a-1*(a*x)*a-1＝a-1*(x*a)*a-1， 即有：x*a-1＝a-1*x，所以a-1C。由1)、2)、3)知:<C,*>是<G,*>的一個子群。2023/2/480計算機科學與工程學院3)、逆元存在：對aC，有：對xG，a*x＝x*a ∵CG，∴aG，即有：a-1G，有：a-1*(a*x)*a-1＝a-1*(x*a)*a-1，

即有：x*a-1＝a-1*x，所以a-1C。由1)、2)、3)知:<C,*>是<G,*>的一個子群。2023/2/481計算機科學與工程學院3)、逆元存在：對aC，有：對xG，a*x＝x*a

∵CG，∴aG，即有：a-1G，有：a-1*(a*x)*a-1＝a-1*(x*a)*a-1， 即有：x*a-1＝a-1*x，所以a-1C。由1)、2)、3)知:<C,*>是<G,*>的一個子群。2023/2/482計算機科學與工程學院例:設(shè)<Z，+>是一個整數(shù)加群，令：H＝{nk|kZ且n是一個取定的自然數(shù)}，證明<H,+>是<Z,+>的一個子群。證明:

1)非空性：顯然；2)封閉性： 對a，bH，有a＝nk1，b＝nk2

(k1，k2Z)，

a+b＝nk1+nk2＝n(k1+k2)H

(k1+k2Z)；3)逆元存在：對aH，有a＝nk1

(k1Z)， 則a-1＝-a＝-nk1＝n(-k1)H

(-k1Z)。由1),2),3)知<H，+>是<Z，+>的一個子群。2023/2/483計算機科學與工程學院例:設(shè)<Z，+>是一個整數(shù)加群，令：H＝{nk|kZ且n是一個取定的自然數(shù)}，證明<H,+>是<Z,+>的一個子群。證明:

1)非空性：顯然；2)封閉性： 對a，bH，有a＝nk1，b＝nk2

(k1，k2Z)，

a+b＝nk1+nk2＝n(k1+k2)H

(k1+k2Z)；3)逆元存在：對aH，有a＝nk1

(k1Z)， 則a-1＝-a＝-nk1＝n(-k1)H

(-k1Z)。由1),2),3)知<H，+>是<Z，+>的一個子群。2023/2/484計算機科學與工程學院例:設(shè)<Z，+>是一個整數(shù)加群，令：H＝{nk|kZ且n是一個取定的自然數(shù)}，證明<H,+>是<Z,+>的一個子群。證明:

1)非空性：顯然；2)封閉性：

對a，bH，有a＝nk1，b＝nk2

(k1，k2Z)，

a+b＝nk1+nk2＝n(k1+k2)H

(k1+k2Z)；3)逆元存在：對aH，有a＝nk1

(k1Z)， 則a-1＝-a＝-nk1＝n(-k1)H

(-k1Z)。由1),2),3)知<H，+>是<Z，+>的一個子群。2023/2/485計算機科學與工程學院例：設(shè)<G，*>是一個群，H1，H2是G的兩個子群。證明H＝H1∩H2是G的子群。證明1)、非空性：由于H1，H2是G的兩個子群，所以有：eH1，eH2，即有eH1∩H2；2)、封閉性：對a，bH，有a，bH1∩H2， 即a，bH1，a，bH2， 由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a*bH1，a*bH2，即有：a*bH1∩H23)、逆元存在：對aH，有aH1∩H2，即aH1，aH2，由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a-1H1，a-1H2，即有：a-1H1∩H2。 由1)、2)、3)知：<H，*>是<G，*>的一個子群。2023/2/486計算機科學與工程學院例：設(shè)<G，*>是一個群，H1，H2是G的兩個子群。證明H＝H1∩H2是G的子群。證明

1)、非空性：由于H1，H2是G的兩個子群，所以有：eH1，eH2，即有eH1∩H2；2)、封閉性：對a，bH，有a，bH1∩H2， 即a，bH1，a，bH2， 由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a*bH1，a*bH2，即有：a*bH1∩H23)、逆元存在：對aH，有aH1∩H2，即aH1，aH2，由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a-1H1，a-1H2，即有：a-1H1∩H2。 由1)、2)、3)知：<H，*>是<G，*>的一個子群。2023/2/487計算機科學與工程學院例：設(shè)<G，*>是一個群，H1，H2是G的兩個子群。證明H＝H1∩H2是G的子群。證明

1)、非空性：由于H1，H2是G的兩個子群，所以有：eH1，eH2，即有eH1∩H2；2)、封閉性：對a，bH，有a，bH1∩H2， 即a，bH1，a，bH2， 由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a*bH1，a*bH2，即有：a*bH1∩H23)、逆元存在：對aH，有aH1∩H2，即aH1，aH2，由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a-1H1，a-1H2，即有：a-1H1∩H2。 由1)、2)、3)知：<H，*>是<G，*>的一個子群。2023/2/488計算機科學與工程學院例：設(shè)<G，*>是一個群，H1，H2是G的兩個子群。證明H＝H1∩H2是G的子群。證明

1)、非空性：由于H1，H2是G的兩個子群，所以有：eH1，eH2，即有eH1∩H2；2)、封閉性：對a，bH，有a，bH1∩H2， 即a，bH1，a，bH2， 由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a*bH1，a*bH2，即有：a*bH1∩H23)、逆元存在：對aH，有aH1∩H2，即aH1，aH2，由于H1，H2都是G的子群，所以有：

a-1H1，a-1H2，即有：a-1H1∩H2。

由1)、2)、3)知：<H，*>是<G，*>的一個子群。2023/2/489計算機科學與工程學院推廣設(shè)<G，*>是一個群，H1，H2，…，Hn是G的n個子群，則有H＝H1∩H2∩…∩Hn是G的子群。2023/2/490計算機科學與工程學院☆復(fù)習若整數(shù)m和n關(guān)于模d的余數(shù)相同，稱m和n（關(guān)于模d）是同余的，記為：

n≡m(mod)d同余是整數(shù)之間的一種重要關(guān)系。模d同余的數(shù)的全體構(gòu)成的集合稱為一個同余類。這個集合可以表示成：

[n]d={x|n≡x(mod)d}n=m+kdk為整數(shù)2023/2/491計算機科學與工程學院☆復(fù)習Zk表示整數(shù)集Z上的模k剩余類集合，即

Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]}例：n=6，則：

Zn={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}[0]={…，-12，-6，0，6，12，18，…}[1]={…，-11，-5，1，7，13，19，…}[2]={…，-10，-4，2，8，14，20，…}…2023/2/492計算機科學與工程學院☆例:設(shè)Zk表示整數(shù)集Z上的模k剩余類集合，即Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]}在Zk上定義運算和如下：[i][j]=[t]（i+j）t（modk）[i][j]=[t]ijt（modk）<Zk，>是群（剩余類加群）。[0]是的幺元，每元[i]的逆元是[k-i]。<Zk，>不是群，因為雖然它滿足封閉性和可結(jié)合性，且[1]是它的幺元，但是[0]無逆元，所以它僅僅是一個含幺半群。2023/2/493計算機科學與工程學院☆例:設(shè)Zk表示整數(shù)集Z上的模k剩余類集合，即Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]}在Zk上定義運算和如下：[i][j]=[t]（i+j）t（modk）[i][j]=[t]ijt（modk）<Zk，>是群（剩余類加群）。[0]是的幺元，每元[i]的逆元是[k-i]。<Zk，>不是群，因為雖然它滿足封閉性和可結(jié)合性，且[1]是它的幺元，但是[0]無逆元，所以它僅僅是一個含幺半群。2023/2/494計算機科學與工程學院☆例:設(shè)Zk表示整數(shù)集Z上的模k剩余類集合，即Zk={[0]，[1]，[2]，…，[k-1]}在Zk上定義運算和如下：[i][j]=[t]（i+j）t（modk）[i][j]=[t]ijt（modk）<Zk，>是群（剩余類加群）。[0]是