第九章組合變形桿件強(qiáng)度計(jì)算

組合變形桿件的強(qiáng)度計(jì)算第九章作者:黃孟生§9-1概述構(gòu)件發(fā)生兩種或兩種以上基本變形的組合,若幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力（或變形）屬于同一數(shù)量級(jí)。則構(gòu)件的變形稱為組合變形。組合變形的實(shí)例:Feq2q1yzF1F2xTABCDF2F1F2F1在彈性、小變形范圍內(nèi)，幾個(gè)因素共同作用所產(chǎn)生的結(jié)果，就等于各個(gè)因素分別作用所引起的結(jié)果的總和

——疊加原理。計(jì)算組合變形桿件的應(yīng)力和變形時(shí)，材料處在彈性范圍內(nèi)，且在小變形情況下，可將作用在桿上的荷載分解或簡(jiǎn)化成幾組（也可直接求截面各內(nèi)力分量），使桿在每組荷載（內(nèi)力）作用下只產(chǎn)生一種基本變形;然后,分別計(jì)算每一種基本變形下的應(yīng)力和變形;最后,由疊加原理可得到桿在組合變形下的應(yīng)力和變形。回顧桿件在基本變形時(shí)應(yīng)力情況：拉伸和壓縮：FFmmσ=FN/A應(yīng)力均勻分布FFNσ扭轉(zhuǎn)：OrρdAτρdAMx沿半徑線性分布Oττmax彎曲：yzyzM＝Mz

沿y方向線性分布如果有M=My作用。應(yīng)力公式如何？應(yīng)力又是怎么分布？yz常見(jiàn)的組合變形：斜彎曲(雙向彎曲）拉伸（壓縮）與彎曲組合偏心壓縮（拉伸）彎曲與扭轉(zhuǎn)組合組合變形的一般情況為什么沒(méi)有與剪切組合？§9-2斜彎曲（雙向彎曲）平面彎曲：對(duì)稱截面；FOyz非對(duì)稱截面。OyzAF斜彎曲：zyFo1.外力通過(guò)彎曲中心（或形心）；2.外力與桿件的形心主慣性平面不重合也不平行；3.梁變形后軸線不在形心主慣性平面內(nèi)?！菍?duì)稱彎曲AOyzF一、內(nèi)力MyzMyMzA(y，z)xeoyzfcFxlFzFyyzyz二、橫截面上的正應(yīng)力A(y，z)xeoyzfcFxlFzFy——橫截面上任一點(diǎn)的應(yīng)力計(jì)算公式。+yz中性軸=yzyzA(y，z)xeoyzfcFxlFzFy三、中性軸的位置、最大正應(yīng)力和強(qiáng)度條件中性軸上任一點(diǎn)（y0，z0）應(yīng)滿足：——中性軸方程（過(guò)截面形心的直線）設(shè)中性軸與水平對(duì)稱軸z的夾角為α，則：②當(dāng)Iy

=Iz

時(shí)，則α=。只發(fā)生平面彎曲，而不發(fā)生斜彎曲。yzαdb中性軸F注：①當(dāng)Iy≠I(mǎi)z

時(shí)，則α≠。斜彎曲時(shí)，中性軸與外力作用線不垂直。yz

對(duì)無(wú)凸角截面（如橢圓形），可按作圖法確定最大正應(yīng)力的點(diǎn)。

對(duì)有凸角的截面，最大正應(yīng)力必出現(xiàn)在角點(diǎn)處。zyD1D2中性軸圓截面如何處理？yzzyMzMyM強(qiáng)度條件為：四、變形計(jì)算自由端截面的形心c

在xy

平面和xz

平面內(nèi)的撓度分別為：A(y，z)xeoyzfcFxlFzFy設(shè)總撓度與y軸成β角注：當(dāng)Iz≠I(mǎi)y時(shí)，wc

與F作用方向不重合，但垂直于中性軸；當(dāng)Iz=Iy時(shí)，wc與F方向重合。zyα中性軸Fβwc例1屋架桁條，l=4m,q=4kN/m,h=260mm,

b=140mm,

=

25o,[σ]=10MPa,校核其強(qiáng)度。ABlq解：＜[σ]2

hb1zy

例2：截面為25a號(hào)工字鋼的懸臂梁，受豎向均布荷載q＝5kN/m,自由端受水平集中力F＝2kN作用。已知:E＝206GPa。試求：（1）梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；（2）固定端截面和l/2截面上的中性軸位置；（3）自由端的撓度。yz解：1、固定端A,B兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)。AB25a工字鋼:Iz＝5023.54cm4，Wz=401.88cm3,Iy＝280.046cm4，Wy=48.283cm3。=±107.7MPa2mxyzqFyz2、3、25a工字鋼:Iz＝5023.54cm4，Wz=401.88cm3,Iy＝280.046cm4，Wy=48.283cm3。=9.57mm固定端截面:α1=82.1°l/2截面:α2=86.0°2mxyzqF§9-3拉伸（壓縮）與彎曲的組合

當(dāng)桿受軸向力F和橫向力q共同作用時(shí)，桿將產(chǎn)生拉伸（壓縮）和彎曲組合變形。ABqFF

對(duì)于彎曲剛度EI較大的桿，由橫向力引起的彎曲變形與截面尺寸相比很小，因此，由軸向力在彎曲變形上引起的附加彎矩可以忽略不計(jì)。M=FAx－qx2/2－FwFSMFNABqFFFAxwqAFwFAx附加彎矩

可分別計(jì)算由軸向力和橫向力引起的正應(yīng)力，由疊加原理進(jìn)行疊加。在F

作用下，σ′=FN/A=F/A在q

作用下，σ″=－M（x）y

/Iz

x

截面上任一點(diǎn)A（y，z）的正應(yīng)力為：σ=σ′+σ″=F/A－M（x）y

/IzzyhbA(y,z)（a）（b）xFqolA（y，z）x在F

作用下，σ′=FN/A=F/A在q

作用下，σ″=－M（x）y

/Iz

x

截面上A（y，z）的正應(yīng)力為：σ=σ′+σ″=F/A－M（x）y

/Iz中性軸方程：F/A－M（x）y0

/Iz=0zyhb（a）（b）（c）（d）（e）

危險(xiǎn)截面為固定端截面。危險(xiǎn)點(diǎn)為截面上、下邊緣處各點(diǎn)。=F/A±

Mmax

/Wzσmaxσmin強(qiáng)度條件為：例3：圖示托架，F(xiàn)=45kN，AC為22a工字鋼，[σ]=170MPa，試校核其強(qiáng)度。ADBCF30°3m1m解：1、求AC所受反力：FBD=120

kN，BCAFFByFBxFAyFAxFAy=15

kN，F(xiàn)By=60kN，F(xiàn)Ax=FBx=104kN2、作AC內(nèi)力圖104FN

(kN)M

(kN.m)45FBD104FN

(kN)M

(kN.m)4522a工字鋼:滿足強(qiáng)度要求由正應(yīng)力強(qiáng)度條件§9-4偏心壓縮（拉伸）xzyeA(yF,zF)F1、將F向形心

簡(jiǎn)化F，My=FzF

，Mz=FyF

，任一橫截面上的內(nèi)力都相同，任一橫截面均為危險(xiǎn)截面

當(dāng)桿受到與其軸線平行但不與軸線重合的外力作用時(shí)，桿將產(chǎn)生偏心壓縮（拉伸）。xyzFMzMyB(y,z)2、橫截面上的正應(yīng)力及其分布yzOD1D2.zy任一點(diǎn)的應(yīng)力都是正應(yīng)力——單向應(yīng)力狀態(tài)。中性軸xyzFMzMyB(y,z)i——慣性半徑y(tǒng)zOD1D2.中性軸3、中性軸位置——中性軸方程yzayaz4、強(qiáng)度計(jì)算yzD1D2azay中性軸

對(duì)于有凸角的截面，最大正應(yīng)力必出現(xiàn)在角點(diǎn)處。

對(duì)于無(wú)凸角的截面，最大正應(yīng)力必出現(xiàn)在離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)。例4圖示鉆床，已知：F=15kN,偏心距e=0.4m,容許拉應(yīng)力[σt]＝35MPa.求立柱直徑d.FdeFdeFNMFN=F=15kNM=Fe=6kNm經(jīng)試算：d=122mmFdeFNM5cm10cm10cmF=10kN例5一端固定并有切槽的桿。試求最大拉應(yīng)力。解：梁發(fā)生拉伸彎曲組合變形顯然，切槽處的橫截面為危險(xiǎn)截面。F向該截面形心C

處簡(jiǎn)化：FN

=F=10kNMz

=10×103×5×10-2=500N.mMy=10×103×2.5×10-2=250N.mA點(diǎn)拉應(yīng)力最大。CAzyB§9-5截面核心yzayaz截距ay，az，隨壓力作用點(diǎn)yF，zF變化。當(dāng)壓力作用點(diǎn)離截面形心越遠(yuǎn)，則中性軸離截面形心越近。

當(dāng)壓力作用點(diǎn)離截面形心越近，則中性軸離截面形心越遠(yuǎn)。(yF,zF)中性軸截距:隨著壓力作用點(diǎn)位置的變化，中性軸可能在截面以內(nèi)（穿過(guò)截面）、或與截面周邊相切、或在截面以外。后兩種情況下，橫截面上就只產(chǎn)生壓應(yīng)力。在截面形心附近可以找到一個(gè)區(qū)域，當(dāng)偏心壓力作用在該區(qū)域內(nèi)時(shí)，桿橫截面上只產(chǎn)生一種性質(zhì)的應(yīng)力（壓應(yīng)力），這個(gè)區(qū)域稱為截面核心。yzayazzyO123②③①ay1az1注：截面周邊可以是凸的、凹的、空心的。但截面核心的形狀一定是突的、實(shí)心的。zyhbABCD常見(jiàn)截面的截面核心：例6、求圖示矩形截面的截面核心.截面的對(duì)稱軸y、z就是形心主軸。以AB為中性軸①，在y、z軸上的截距分別為：同理，求得中性軸②與BC重合時(shí)，①1②2中性軸③與CD重合時(shí)，中性軸④與DA重合時(shí)，∵B點(diǎn)是中性軸①、②的公共點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)可作無(wú)數(shù)多條中性軸，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入中性軸方程中：∴外力作用點(diǎn)由1沿截面核心邊界移到2點(diǎn)時(shí)，（yF，zF）應(yīng)滿足以上方程，顯然這是一個(gè)直線方程。zyhbABCD12①②3③4④同理，2、3、4點(diǎn)之間均由直線連接，其對(duì)角線長(zhǎng)度分別為h/3和b/3。當(dāng)軸向力作用在矩形截面對(duì)稱軸上，且在“中三分點(diǎn)”以內(nèi)時(shí)，截面上只產(chǎn)生一種應(yīng)力。如混凝土的抗壓性能比抗拉性能好得多，因此以上結(jié)論得到廣泛應(yīng)用。zyhbABCD12①②3③4④例7、求圖示圓形截面的截面核心.圓形截面關(guān)于圓心對(duì)稱，所以截面核心的邊界也是一個(gè)圓，因此只需定核心邊界的一個(gè)點(diǎn)。作A點(diǎn)的切線作為中性軸，它在y、z

軸上的截距為：圓截面的截面核心是直徑為d/4的圓。d1①AOzy大致畫(huà)出圖示截面的截面核心的形狀思考題：大致畫(huà)出圖示截面的截面核心的形狀zyzy§9-6彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合ylaABCzF（a）ABFMx=Fa（b）（c）FlMzC1C2Aσ（e）C1C2τ（f）τσ（g）c1τσ（h）c2（d）MxFaτσ（g）c1τσ（h）c2例8一鋼質(zhì)圓軸，直徑d=8cm，其上裝有直徑D=1

m,重為5kN

的兩個(gè)皮帶輪。已知A

輪上皮帶拉力為水平方向，C

處輪上的皮帶拉力為豎直方向。設(shè)鋼的[σ]=170MPa

，試按第三強(qiáng)度理論校核該軸的強(qiáng)度。xyz解：將輪上拉力及自重向輪上簡(jiǎn)化。如圖（b）ABCD12kN7kN5kN1.5kN.m1.5kN.m12.59.14.52.1（b）ABCD2kN5kN2kN5kNbba1.5kN.mMx（c）Mz1.5kN.m2.25kN.m（d）1.05kN.m2.1kN.m（e）My1、作內(nèi)力圖：（c）、（d）、（e）2、由內(nèi)力圖可見(jiàn)：B、C兩截面為危險(xiǎn)截面。ABCD12kN7kN5kN1.5kN.m1.5kN.m12.59.14.52.1（b）xyz1.5kN.mMx（c）Mz1.5kN.m2.25kN.m（d）1.05kN.m2.1kN.m（e）My（b）ABCD12kN7kN5kN1.5kNm1.5kN.m12.59.14.52.1xyz危險(xiǎn)點(diǎn)在何處？yzMzMyMabtanα=Mz/Myaτσ（g）1.5kN.mMx（c）Mz1.5kN.m2.25kN.m（d）1.05kN.m2.1kN.m（e）MyABCD12kN7kN5kN1.5kN.m1.5kN.m12.59.14.52.1xyzα(f)＊組合變形的一般情況ABCFi`FnF1F2F1F2ABxzyoMyMxMzFyFzFxFx—軸向力（拉或壓）Fy、Fz—剪力（忽略不計(jì)）Mx—扭矩My、Mz——彎矩（圓截面：My,Mz合成為M）yzF1F2xlTF3l例9圖示圓桿，已知F1=200kN,F2=5kN,F3=5kN,T=8kN.m,l=1m,d=100mm,材料的容許應(yīng)力[σ]=170MPa,試用第四強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。解：FN=F1=200kN,Mx=T=8kN.mMymax=F2×2l=10kN.m,Mzmax=F3×l=5kN.m＜[σ]yz