第三章統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)

§

2樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)在實(shí)際工作中我們往往需要檢驗(yàn)一個(gè)樣本平均數(shù)與已知的總體平均數(shù)是否有顯著差異，即檢驗(yàn)該樣本是否來(lái)自某一總體。即檢驗(yàn)無(wú)效假設(shè)H0:μ＝μ0，備擇假設(shè)HA：μ≠μ0或μ>μ0(μ<μ0)的問(wèn)題。已知的總體平均數(shù)一般為一些公認(rèn)的理論數(shù)值、經(jīng)驗(yàn)數(shù)值或期望數(shù)值。常用的檢驗(yàn)方法有u檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)。下一張

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2.1單個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)實(shí)質(zhì)是樣本所在總體平均數(shù)與已知總體平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)。2.1.1單個(gè)樣本平均數(shù)的u檢驗(yàn)

u檢驗(yàn)（u-test），就是在假設(shè)檢驗(yàn)中利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量的概率計(jì)算的檢驗(yàn)方法。Excel中統(tǒng)計(jì)函數(shù)（Ztest）。由抽樣分布理論可知，有兩種情況的資料可以用u檢驗(yàn)方法進(jìn)行分析：樣本資料服從正態(tài)分布N（μ,σ2）,并且總體方差σ2已知；總體方差雖然未知，但樣本平均數(shù)來(lái)自于大樣本（n≥30）。下邊舉例說(shuō)明檢驗(yàn)過(guò)程：【例2-2】某罐頭廠生產(chǎn)肉類罐頭，其自動(dòng)裝罐機(jī)在正常工作時(shí)每罐凈重服從正態(tài)分布N（500，64）（單位，g）。某日隨機(jī)抽查10瓶罐頭，得凈重為：505，512，497，493，508，515，502，495，490，510。問(wèn)裝罐機(jī)當(dāng)日工作是否正常？由題意知，樣本服從正態(tài)分布，總體方差σ2＝64，符合u檢驗(yàn)應(yīng)用條件。由于當(dāng)日裝罐機(jī)的每罐平均凈重可能高于或低于正常工作狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)凈重，故需作兩尾檢驗(yàn)。其方法如下：（1）提出假設(shè)。無(wú)效假設(shè)H0：μ＝μ0＝500g，即當(dāng)日裝罐機(jī)每罐平均凈重與正常工作狀態(tài)下的標(biāo)準(zhǔn)凈重一樣。備擇假設(shè)HA：μ≠μ0，即罐裝機(jī)工作不正常。（2）構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量值。均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤：樣本平均數(shù)：統(tǒng)計(jì)量u值：（4）統(tǒng)計(jì)推斷。由顯著水平α＝0.05，查附表，得臨界值u0.05＝1.96。實(shí)際計(jì)算出的表明，試驗(yàn)表面效應(yīng)僅由誤差引起的概率P>0.05,故不能否定H0

，所以，當(dāng)日裝罐機(jī)工作正常。（3）確定顯著水平。α＝0.05（兩尾概率）下一張

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2.1.2單個(gè)樣本平均數(shù)的t檢驗(yàn)

t檢驗(yàn)（t-test）是利用t分布來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量的概率計(jì)算的假設(shè)檢驗(yàn)方法。它主要應(yīng)用于總體方差未知時(shí)的小樣本資料（n<30）。其中，為樣本平均數(shù)，S為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本容量。例2-3

用山楂加工果凍，傳統(tǒng)工藝平均每100g加工500g果凍，采用新工藝后，測(cè)定了16次，得知每100g山楂可出果凍平均為＝520g，標(biāo)準(zhǔn)差S＝12g。問(wèn)新工藝與老工藝在每100g加工果凍的量上有無(wú)顯著差異？本例總體方差未知，又是小樣本，采用雙側(cè)t檢驗(yàn)。

（1）提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)，即新老工藝沒(méi)有差異。

，新老工藝有差異。下一張

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（2）計(jì)算t值=520g，S=12g所以（3）確定顯著水平α＝0.01（4）查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷由=15，查t值表（附表3）得t0.01（15）=2.947，因?yàn)閨t|>t0.01，P<0.01，故應(yīng)否定H0，接受HA，表明新老工藝的每100g加工出的果凍量差異極顯著。（在統(tǒng)計(jì)量t上標(biāo)記**）下一張

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【例2-4】某名優(yōu)綠茶含水量標(biāo)準(zhǔn)為不超過(guò)5.5％?，F(xiàn)有一批該綠茶，從中隨機(jī)抽出8個(gè)樣品測(cè)定其含水量，平均含水量＝5.6％，標(biāo)準(zhǔn)差S＝0.3％。問(wèn)該批綠茶的含水量是否超標(biāo)？符合t檢驗(yàn)條件，為單尾檢驗(yàn)。（1）提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：≤

＝5.5％，HA：>（2）計(jì)算t

值

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（3）查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷

單側(cè)=雙側(cè)=1.895，t=1.000<單側(cè)t0.05（7），P>0.05，不能否定H0

：≤

=5.5％，可以認(rèn)為該批綠茶的含水量符合規(guī)定要求。下一張

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【例】按飼料配方規(guī)定，每1000kg某種飼料中維生素C大于246g，現(xiàn)從工廠的產(chǎn)品中隨機(jī)抽測(cè)12個(gè)樣品，測(cè)得維生素C含量如下：255、260、262、248、244、245、250、238、246、248、258、270g/1000kg，若樣品的維生素C含量服從正態(tài)分布，問(wèn)此產(chǎn)品是否符合規(guī)定要求？下一張

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按題意，此例應(yīng)采用單側(cè)檢驗(yàn)。

（1）提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)

H0：≤

246，HA：>246

（2）計(jì)算t

值經(jīng)計(jì)算得：=114.5，S=1.581下一張

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所以

===2.281

3、查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷

因?yàn)閱蝹?cè)=雙側(cè)=1.796，t=2.281>單側(cè)t0.05（11），P<0.05，否定H0

：

≤

246，接受HA

：>246，可以認(rèn)為該批飼料維生素C含量符合規(guī)定要求。下一張

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在實(shí)際工作中還經(jīng)常會(huì)遇到推斷兩個(gè)樣本平均數(shù)差異是否顯著的問(wèn)題，以了解兩樣本所屬總體的平均數(shù)是否相同。比如兩個(gè)果實(shí)品種的比較，兩種檢驗(yàn)方法的比較，兩種加工方法的比較等。2.2兩個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)于兩樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)，因試驗(yàn)設(shè)計(jì)不同，一般可分為兩種情況：

一、成組資料的平均數(shù)比較二、成對(duì)資料的平均數(shù)比較

2.2.1成組資料的平均數(shù)比較當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)只有兩個(gè)處理的時(shí)，將試驗(yàn)全部單元完全隨機(jī)地分為兩組，對(duì)兩組隨機(jī)地分別實(shí)施不同的處理。得到的兩組數(shù)據(jù)即為成組資料。（各組的單元數(shù)亦即重復(fù)數(shù)可以相等也可以不等）成組資料的一般形式見(jiàn)下表。

成組資料的一般形式成組資料的特點(diǎn)：兩組數(shù)據(jù)相互獨(dú)立，各組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)可等，也可不等成組資料兩樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的基本步驟如下：1、做出統(tǒng)計(jì)假設(shè)。2、在無(wú)效假設(shè)條件下構(gòu)造合適的統(tǒng)計(jì)量。（1）U檢驗(yàn)：若兩個(gè)總體方差均已知，或者未知但均為大樣本。～N(0，1)若方差未知，則用代替（2）t檢驗(yàn)：兩個(gè)樣本所在總體方差均未知，且又是小樣本。此時(shí)H0成立條件下：～t(n1+n2-2)3、確定顯著水平，查臨界值。4、做出統(tǒng)計(jì)推斷。例，某家禽研究所對(duì)粵黃雞進(jìn)行飼養(yǎng)對(duì)比試驗(yàn)，試驗(yàn)時(shí)間為60天，增重結(jié)果如下表，問(wèn)兩種飼料對(duì)粵黃雞的增重效果有無(wú)顯著差異？【例】現(xiàn)有兩種茶多糖提取工藝，分別從兩種工藝中各取1個(gè)隨機(jī)樣本來(lái)測(cè)定其粗提物中的茶多糖含量，結(jié)果見(jiàn)表

。問(wèn)兩種工藝的粗提物中茶多糖含量有無(wú)差異？醇沉淀法（x1）27.5227.7828.0328.8828.7527.94超濾法（x2)29.3228.1528.0028.5829.00表

兩種工藝粗提物中茶多糖含量測(cè)定結(jié)果（1）建立假設(shè)，提出無(wú)效假設(shè)與備擇假設(shè)，兩種工藝的粗提物中茶多糖含量無(wú)差異；（2）計(jì)算因兩個(gè)樣本的容量不等，所以下一張

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（4）查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷

當(dāng)df=9時(shí)，查臨界值得：t0.05（9）=2.262，|t|＝1.380<t0.05（9）

，所以P>0.05，接受，表明兩種工藝的粗提物中茶多糖含量無(wú)顯著差異。（3）確定顯著水平α＝0.05（兩尾概率）

2.2.2成對(duì)資料兩樣本平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)

成組設(shè)計(jì)要求試驗(yàn)單位盡可能一致。如果試驗(yàn)單位變異較大，如試驗(yàn)動(dòng)物的年齡、體重相差較大，若采用上述方法就有可能使處理效應(yīng)受到系統(tǒng)誤差的影響而降低試驗(yàn)的準(zhǔn)確性與精確性。為了消除試驗(yàn)單元不一致對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，正確地估計(jì)處理效應(yīng)，減少系統(tǒng)誤差，降低試驗(yàn)誤差，提高試驗(yàn)的準(zhǔn)確性與精確性，可以利用局部控制的原則，采用配對(duì)設(shè)計(jì)。

配對(duì)設(shè)計(jì)是先將試驗(yàn)單位兩兩配對(duì)，然后將配成對(duì)子的兩個(gè)試驗(yàn)單位隨機(jī)地分配到兩個(gè)處理組中。配對(duì)的要求是，配成對(duì)子的兩個(gè)試驗(yàn)單位的初始條件盡量一致，不同對(duì)子間試驗(yàn)單位的初始條件允許有差異，每一個(gè)對(duì)子就是試驗(yàn)處理的一個(gè)重復(fù)。配對(duì)的方式有兩種：自身配對(duì)與同源配對(duì)。配對(duì)設(shè)計(jì)是指先根據(jù)配對(duì)的要求將試驗(yàn)單元兩兩配對(duì)，然后將配成對(duì)子的兩個(gè)試驗(yàn)單元隨機(jī)地分配到兩個(gè)處理組中。配對(duì)的要求是，配成對(duì)子的兩個(gè)試驗(yàn)單元的初始條件盡量一致，不同對(duì)子間試驗(yàn)單元的初始條件允許有差異，每一個(gè)對(duì)子就是試驗(yàn)處理的一個(gè)重復(fù)。配對(duì)的方式有兩種：自身配對(duì)與同源配對(duì)。下一張

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1.自身配對(duì)：指在同一試驗(yàn)單元進(jìn)行處理前與處理后的對(duì)比，用其前后兩次的觀測(cè)值進(jìn)行自身對(duì)照比較；或同一試驗(yàn)單位的不同部位的觀測(cè)值或不同方法的觀測(cè)值進(jìn)行自身對(duì)照比較。如觀測(cè)某種病畜治療前后臨床檢查結(jié)果的變化；觀測(cè)用兩種不同方法對(duì)畜產(chǎn)品中毒物或藥物殘留量的測(cè)定結(jié)果變化等。同一食品在貯藏前后的變化。下一張

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2.同源配對(duì)：指將非處理?xiàng)l件相近的兩個(gè)試驗(yàn)單元組成對(duì)子，然后對(duì)配對(duì)的兩個(gè)試驗(yàn)單元隨機(jī)地實(shí)施不同處理或同一食品對(duì)分成兩部分來(lái)接受不同處理。配對(duì)試驗(yàn)加強(qiáng)了配對(duì)處理間的試驗(yàn)控制（非處理?xiàng)l件高度一致），使處理間可比性增強(qiáng)，試驗(yàn)誤差降低，因而，試驗(yàn)精度較高。

成對(duì)資料與成組資料相比，成對(duì)資料中的兩個(gè)處理間的數(shù)據(jù)不是相互獨(dú)立的，而是存在某種聯(lián)系。配對(duì)設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的一般形式見(jiàn)下表

。配對(duì)設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料的一般形式非配對(duì)設(shè)計(jì)（成組）資料的一般形式

配對(duì)設(shè)計(jì)兩樣本平均數(shù)差異顯著性檢驗(yàn)的基本步驟如下：

（一）做出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，其中為兩樣本配對(duì)數(shù)據(jù)差值d總體平均數(shù)，它等于兩樣本所屬總體平均數(shù)與之差，即=-。所設(shè)無(wú)效假設(shè)、備擇假設(shè)相當(dāng)于，。

（二）計(jì)算t值計(jì)算公式為

（5-6）式中，為差異標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式為:

（5-7）

d為兩樣本各對(duì)數(shù)據(jù)之差

Sd為d的標(biāo)準(zhǔn)差；n為配對(duì)的對(duì)子數(shù)，即試驗(yàn)的重復(fù)數(shù)。

（三）查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷根據(jù)df=n-1查臨界t值：t0.05（n-1）和t0.01（n-1），將計(jì)算所得t值的絕對(duì)值與其比較，作出推斷?！纠?/p>

】

為研究電滲處理對(duì)草莓果實(shí)中的鈣離子含量的影響，選用10個(gè)草莓品種進(jìn)行電滲處理與對(duì)照處理對(duì)比試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表4-5。問(wèn)電滲處理對(duì)草莓鈣離子含量是否有影響？本例因每個(gè)品種實(shí)施了一對(duì)處理，試驗(yàn)資料為成對(duì)資料。品種編號(hào)12345678910電滲處理X1/mg22.2323.4223.2521.3824.4522.4224.3721.7519.8222.56對(duì)照X2/mg18.0420.3219.6416.3821.3720.4318.4520.0417.3818.42差數(shù)（d＝X1-X2）4.193.103.615.003.081.995.921.712.444.14表4-5電滲處理對(duì)草莓鈣離子含量的影響，即電滲處理后草莓鈣離子含量與對(duì)照鈣離子含量無(wú)差異，也就是說(shuō)電滲處理對(duì)草莓鈣離子含量無(wú)影響。下一張

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（1）建立假設(shè)

（2）計(jì)算將計(jì)算所得t值的絕對(duì)值與臨界值比較，（4）查臨界t值，作出統(tǒng)計(jì)推斷根據(jù)df=n-1＝9，查臨界t值：t0.01（9）＝3.250因?yàn)閨t|＝8.358>t0.01（9），P<0.01，否定H0，接受HA

，表明電滲處理后草莓鈣離子含量與對(duì)照鈣離子含量差異極顯著，即電滲處理極顯著提高了草莓鈣離子含量。

（3）確定顯著水平α＝0.01例，用家兔10只試驗(yàn)?zāi)撑⑸湟簩?duì)體溫的影響，測(cè)定每只家兔注射前后的體溫，見(jiàn)表。設(shè)體溫服從正態(tài)分布，問(wèn)注射前后體溫有無(wú)顯著差異？

【例】現(xiàn)從8窩仔豬中每窩選出性別相同、體重接近的仔豬兩頭進(jìn)行飼料對(duì)比試驗(yàn)，將每窩兩頭仔豬隨機(jī)分配到兩個(gè)飼料組中，時(shí)間30天，試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表。問(wèn)兩種飼料喂飼仔豬增重有無(wú)顯著差異？（同源配對(duì)）

§3

參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一重要內(nèi)容。研究一事物，總希望了解其總體特征。描述總體特征的數(shù)我們說(shuō)稱為參數(shù)。然而，總體參數(shù)往往無(wú)法直接求得，都是由樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)的。點(diǎn)估計(jì)：將樣本統(tǒng)計(jì)量直接作為總體相應(yīng)參數(shù)估計(jì)值的估計(jì)方法。在前面統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法的學(xué)習(xí)中，我們以以樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)μ，用樣本方差來(lái)估計(jì)總體方差。點(diǎn)估計(jì)只給出了未知參數(shù)估計(jì)值的大小，沒(méi)有考慮試驗(yàn)誤差的影響，也沒(méi)有指出估計(jì)的可靠程度。

區(qū)間估計(jì)：在一定的概率保證下，由樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)出總體參數(shù)可能取值的區(qū)間。這個(gè)區(qū)間稱為置信區(qū)間。區(qū)間的上、下限稱為置信上、下限，一般用L1表示置信下限

、L2表示置信上限。保證參數(shù)在置信區(qū)間內(nèi)的概率稱為置信度或置信概率，以P=1-α表示。描述總體的參數(shù)有多種。各種參數(shù)的區(qū)間估計(jì)計(jì)算方法有所不同，但基本原理是一致的，都是運(yùn)用樣本統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布來(lái)計(jì)算相應(yīng)參數(shù)的置信區(qū)間的上、下限的?？傮w平均數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)1、利用正態(tài)分布進(jìn)行總體平均數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)2、利用t分布進(jìn)行總體平均數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)1、利用正態(tài)分布進(jìn)行總體平均數(shù)μ的區(qū)間估計(jì)已知，估計(jì)μ

設(shè)總體x～N（μ，），且已知，x1，x2，…，