測(cè)量誤差的基本知識(shí)

5.1概述5.2衡量精度的指標(biāo)5.3誤差傳播定律5.4算術(shù)平均值及其中誤差估讀數(shù)會(huì)有誤差

§5-1概述一、測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀(guān)測(cè)者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測(cè)量誤差的產(chǎn)生。通常把測(cè)量?jī)x器、觀(guān)測(cè)者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱(chēng)為觀(guān)測(cè)條件。觀(guān)測(cè)條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測(cè)量誤差的根本原因。通常把觀(guān)測(cè)條件相同的各次觀(guān)測(cè)，稱(chēng)為等精度觀(guān)測(cè)；觀(guān)測(cè)條件不同的各次觀(guān)測(cè)，稱(chēng)為不等精度觀(guān)測(cè)。

具體來(lái)說(shuō)，測(cè)量誤差主要來(lái)自以下三個(gè)方面：(1)外界條件主要指觀(guān)測(cè)環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果中帶有誤差。(2)儀器條件儀器在加工和裝配等工藝過(guò)程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿(mǎn)足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測(cè)量帶來(lái)誤差。(3)觀(guān)測(cè)者的自身?xiàng)l件由于觀(guān)測(cè)者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對(duì)中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。

二、測(cè)量誤差的分類(lèi)測(cè)量誤差按其對(duì)測(cè)量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。

在相同的觀(guān)測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀(guān)測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一：儀器設(shè)備制造不完善。系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性。

在相同的觀(guān)測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀(guān)測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均不一定，則這種誤差稱(chēng)為偶然誤差，又稱(chēng)為隨機(jī)誤差。

偶然誤差，就其個(gè)別值而言，在觀(guān)測(cè)前不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。

偶然誤差只能通過(guò)改善觀(guān)測(cè)條件對(duì)其加以控制。

真誤差：觀(guān)測(cè)值與真值之差，即：

Δ=［l］-XL：觀(guān)測(cè)值，X：真值，Δ：真誤差(偶然誤差)

偶然誤差具有四個(gè)特征：①“有界性”：在一定的觀(guān)測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值；它說(shuō)明偶然誤差的絕對(duì)值有個(gè)限值，若超過(guò)這個(gè)限值，說(shuō)明觀(guān)測(cè)條件不正?；蛴写植畲嬖冢?/p>

②“密集性”：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多(或概率大)；即越是靠近0，誤差分布越密集；③“對(duì)稱(chēng)性”：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；即在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個(gè)數(shù)相等或極為接近；④“抵償性”：在相同條件下，同一量的等精度觀(guān)測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀(guān)測(cè)次數(shù)的無(wú)限增大而趨于零;即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵消的特征。因此，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零。返回習(xí)題§5-2衡量精度的指標(biāo)

測(cè)量成果中都不可避免地含有誤差，在測(cè)量工作中，使用“精度”來(lái)判斷觀(guān)測(cè)成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。測(cè)量上衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)采用：

中誤差、相對(duì)誤差、極限誤差一、中誤差及其計(jì)算

1、中誤差（m）

在相同的觀(guān)測(cè)條件下，對(duì)同一未知量進(jìn)行n次觀(guān)測(cè)，所得各個(gè)真誤差平方的平均值，再取其平方根用表示，即：m稱(chēng)為觀(guān)測(cè)值中誤差或一次觀(guān)測(cè)值中誤差式中［ΔΔ］為真誤差Δ的平方和，n為觀(guān)測(cè)次數(shù)

中誤差并不等于每個(gè)觀(guān)測(cè)值的真誤差，它僅是一組真誤差的代表值，代表了這一組測(cè)量中任一個(gè)觀(guān)測(cè)值的精度。

2、用真誤差計(jì)算中誤差

3、用改正數(shù)計(jì)算中誤差

改正數(shù)：最或是值與觀(guān)測(cè)值之差，用v表示，即：

v=x-l

式中：v為觀(guān)測(cè)值的改正數(shù)；l為觀(guān)測(cè)值；

x為觀(guān)測(cè)值的最或是值

設(shè)對(duì)某個(gè)量進(jìn)行n次觀(guān)測(cè)，則它的最或是值為

改正數(shù)求中誤差的白塞爾公式：上式求得的為一次觀(guān)測(cè)值的中誤差。二、相對(duì)誤差

相對(duì)誤差能更客觀(guān)地反映實(shí)際測(cè)量精度。

相對(duì)誤差：中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀(guān)測(cè)值之比，用K表示。

相對(duì)誤差習(xí)慣于用分子為1的分?jǐn)?shù)形式表示，分母愈大，表示相對(duì)誤差愈小，精度也就愈高。

注意：此處的相對(duì)誤差與按往返測(cè)較差所求得的相對(duì)誤差是不相同的。

極限誤差：簡(jiǎn)稱(chēng)限差，根據(jù)偶然誤差的第一個(gè)特性，在一定的觀(guān)測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。

理論研究和實(shí)驗(yàn)表明，大于兩倍中誤差的偶然誤差的個(gè)數(shù)，約占總數(shù)的5%左右，大于三倍中誤差的偶然誤差的個(gè)數(shù)，只占總數(shù)的0.3%。測(cè)量上常取三倍中誤差作為極限誤差Δ限，也稱(chēng)允許誤差，即：Δ限=3m§5-3誤差傳播定律

在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀(guān)測(cè)，而需要由另一些直接觀(guān)測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)，這些未知量即為觀(guān)測(cè)值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測(cè)量中，兩點(diǎn)間的高差h=a-b，則h是直接觀(guān)測(cè)值a和b的函數(shù)；在三角高程測(cè)量的計(jì)算公式中，如果覘標(biāo)高v等于儀器高i，則h=ltanδ，這時(shí)，高差h就是觀(guān)測(cè)值l和δ的函數(shù)，等等。

闡述觀(guān)測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱(chēng)為誤差傳播定律。一、線(xiàn)性函數(shù)1、倍數(shù)函數(shù)

Z=Kx

式中x為直接觀(guān)測(cè)值，其中誤差為mx；Ｋ為常數(shù)；Z為觀(guān)測(cè)值x的函數(shù)。若對(duì)x作n次同精度觀(guān)測(cè)，其真誤差列為Δxi(i=1,2,…n)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的誤差列為Δzi(i=1,2…n)則觀(guān)測(cè)值與函數(shù)間的真誤差關(guān)系式為

Δzi=KΔxi(i=1,2,…n)中誤差：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx

上式表明：對(duì)于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀(guān)測(cè)值中誤差的K倍。2、和、差函數(shù)

Z=x±y

推導(dǎo)出下列真誤差關(guān)系式:Δzi=Δxi±Δyi(i=1,2,…n)

求上述關(guān)系式的平方和并除以n,得

當(dāng)n→∝上式右端第三項(xiàng)趨于0，則按中誤差定義可知

推廣之對(duì)n個(gè)獨(dú)立觀(guān)測(cè)值代數(shù)和的情形

mＺ2＝mx12＋

mx22+…+mxn2

3、一般線(xiàn)性函數(shù)

Z=K１x１±K2x２±…±Knxn

式中，K１、K２…Kn為常數(shù)；x１、x２…xn為獨(dú)立觀(guān)測(cè)值，其相應(yīng)的中誤差分別為m１、m２…

mn。

一般線(xiàn)性函數(shù)中誤差的公式為：

mＺ2＝（Ｋ１m１）２＋（Ｋ２m２）２＋…＋（Ｋnmn）２二、非線(xiàn)性函數(shù)

Z=f(x１，x２…xn）

式中，x１，x２…xn為獨(dú)立觀(guān)測(cè)值，其相應(yīng)的中誤差分別為m１、m２…mn。

真誤差關(guān)系式可用全微分近似表示有：

中誤差：§5-4算術(shù)平均值及其中誤差

觀(guān)測(cè)值的真誤差為：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，

將等式兩邊取和并除以觀(guān)測(cè)次數(shù)n,得：[Δ]/n＝[l]/n-X

式中:［l］/n稱(chēng)為算術(shù)平均值，習(xí)慣上以x表示；

觀(guān)測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，據(jù)偶然誤差的特性四，知［Δ］/n趨于零。

于是有：x=X

上式表明：當(dāng)觀(guān)測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，各個(gè)觀(guān)測(cè)值的算術(shù)平均值趨近于未知量的真值。當(dāng)n為有限值時(shí)，通常取算術(shù)平均值為最可靠值(最或是值)，并以它作為測(cè)量的最后成果。

算術(shù)平均值的一般表達(dá)式為:

x=（l１＋l２＋…＋ln）/n＝[l]/n

實(shí)際工作中采用觀(guān)測(cè)值的改正數(shù)vi來(lái)計(jì)算中誤差。

各觀(guān)測(cè)值的改正數(shù)：

vi＝x－li(i=1,2,……,n)

將上式兩邊求和，有:

［v］=nx-［l］

因x=[l]/n，所以

［v］=0

此式可作為改正數(shù)計(jì)算正確性的檢查。

計(jì)算觀(guān)測(cè)值的中誤差：

算術(shù)平均值的中誤差為M，則按線(xiàn)性函數(shù)中誤差傳播定律公式，得：

上式表明，算術(shù)平均值的中誤差與觀(guān)測(cè)次數(shù)的平方根成反比；或者說(shuō)，算術(shù)平均值的精度比各觀(guān)測(cè)值的精度提高了倍。復(fù)習(xí)思考題：1偶然誤差與系統(tǒng)誤差有什么區(qū)別?偶然誤差有哪些特性?根據(jù)下列的誤差內(nèi)容，試判斷其屬于何種誤差?

誤差的內(nèi)容誤差的性質(zhì)1.鋼尺尺長(zhǎng)不準(zhǔn)，對(duì)量得距離的影響2.量距時(shí)，尺子不在一條直線(xiàn)上，對(duì)量得距離的影響3.水準(zhǔn)儀水準(zhǔn)管軸不平行于視準(zhǔn)軸的誤差4.讀數(shù)時(shí)的誤差5.瞄準(zhǔn)誤差6.豎盤(pán)指標(biāo)差7.豎盤(pán)指標(biāo)差的變化誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差偶然誤差偶然誤差偶然誤差系統(tǒng)誤差2何謂中誤差、相對(duì)誤差和極限誤差(限差)?3對(duì)某線(xiàn)段丈量了5次，觀(guān)測(cè)結(jié)果為：49.535m、49.547m、49.527m、49.537m、49.529m。試計(jì)算其算術(shù)平均值和算術(shù)平均值的中誤差。4用DJ6級(jí)經(jīng)緯儀觀(guān)測(cè)某個(gè)水平角4個(gè)測(cè)回(四次)，其觀(guān)測(cè)值分別為：68°32′18″、68°31′54″、68°31′42″、68°32′06″，試求觀(guān)測(cè)一測(cè)回的中誤差、算術(shù)平均值及其中誤差。答：平均值X平=49.535m，v1=0,v2=-12,v3=8,v4=-2,v5=6M=0.0035(m)參考答案：15″，

68°32′00″，7.5″

5

設(shè)有一n邊形，每個(gè)角的觀(guān)測(cè)值中誤差為m=±9″，試求該n邊形內(nèi)角和的中誤差。6在一個(gè)三角形中，觀(guān)測(cè)了A、B兩角，中誤差

mＡ＝mＢ＝±15″，用兩個(gè)觀(guān)測(cè)角值計(jì)算另外一個(gè)角，即C=180°-(A+B),試求C角的中誤差mＣ是多少?n邊形內(nèi)角和,Σ=β1+β2+…+βn,參考答案:mＣ=±15=21″7如圖所示，測(cè)得a=110.11m±0.02m，∠A=64°24′±１′，∠Ｂ＝35°10′±0.5′，試計(jì)算邊長(zhǎng)c及其中誤差。8已知四邊形各內(nèi)角的測(cè)量中誤差為±15″，若限差取中誤差的2倍，求該四邊形閉合差的限差。aABcC=a*sin(B)/sin(A),需要線(xiàn)性化,求全微分得:dc=(sin(B)/sin(A))da+(a*cos(B)/sin(A))dB/ρ-a*sin(B)*cot(A)/sin(A)dA/ρ=0.639da+0.029dB+0.010dA

mc=±0.032m參考答案:±60″某礦大型貫通示意圖地面GPS控制網(wǎng)礦井聯(lián)系測(cè)量井下控制測(cè)量K（貫通相與點(diǎn)）10km300m風(fēng)井主井4.例題及討論例3-4對(duì)某△ABC，等精度獨(dú)立觀(guān)測(cè)了兩個(gè)內(nèi)角A、B，其值分別為：∠A=64°21′06″±4″，∠B=70°35′40″±4″，求∠C及其中誤差。ABC解∠C=180-∠A-∠B=45°03′14″由于∠C=180-∠A-∠B，依照中誤差轉(zhuǎn)播定律，有得mc=±5.7″所以，∠C=45°03′14″±5.7″

太簡(jiǎn)單了！

10例3-5對(duì)該△ABC，等精度獨(dú)立觀(guān)測(cè)了三個(gè)內(nèi)角A、B，其值分別為：∠A=64°21′06″±4″，∠B=70°35′40″±4″，∠C=45°03′02″±4″；求分配閉合差后∠C及其中誤差。ABC解：首先計(jì)算閉合差：fβ=∠A+∠B+∠C-180°=–12″∠C=∠C–(1/3)×fβ=45°