平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)

作為一個資料的代表，指資料中各變數(shù)集中較多的中心位置，用來與另一資料相比較。不同的平均數(shù)適合于不同的數(shù)據(jù)資料。例如：不同國家、地區(qū)、種族之間身高、體重等的比較；不同品種的家畜、家禽之間生產(chǎn)性能的比較集中趨勢的度量平均數(shù)的意義第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日3.1.1算術(shù)平均數(shù)一、定義

一組資料中，所有觀測值的總和除以其個數(shù)所得到的商，稱為算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)或均數(shù)。

是最常用的一種集中趨勢度量指標(biāo)。

樣本的平均數(shù)記為

總體平均數(shù)記為

集中趨勢的度量第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日：第i個觀察值或變數(shù)n：觀察值或變數(shù)的個數(shù)∑：求和符號（sigma）計算公式：集中趨勢的度量3.5.1算術(shù)平均數(shù)第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日Σ的性質(zhì)第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日例2.1：5頭豬的體重分別為70、72、80、83、88kg，問5頭豬的算術(shù)平均數(shù)是多少？

從計算結(jié)果看5頭豬都距78.6（kg）不遠(yuǎn)，所以平均數(shù)是數(shù)量資料的代表值。

上述計算方法稱為直接法，適用于樣本小，即資料內(nèi)包含變數(shù)個數(shù)不多，一般在30個變數(shù)以下未經(jīng)分組的資料。集中趨勢的度量一、直接法第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.分類資料：每個類別在某個指標(biāo)上取相同的值。2.計數(shù)資料和連續(xù)性資料：頻率分布表

加權(quán)法，即計算時先將各個變數(shù)乘上它的權(quán)數(shù)，再經(jīng)過總和，然后除以權(quán)數(shù)的總合，稱為加權(quán)平均數(shù)。集中趨勢的度量二、加權(quán)法第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日

xi=變數(shù)值

fi=變數(shù)值xi出現(xiàn)的頻數(shù)計算公式：集中趨勢的度量二、加權(quán)法第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例：一個有1000個個體的群體，等位基因A的頻率為0.6，另一個400個個體的群體，等位基因A的頻率為0.3，這兩個群體的混合在一起，整個混合群體的等位基因A的頻率為：集中趨勢的度量二、加權(quán)法第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日例：200頭大白豬的仔豬的一月窩重的資料組別組中值頻數(shù)（f）fx8-16-24-32-40-48-56-64-72-80-88-96-104-112-122028364452606876849210010811646910131726352821168434812025236057288415602380212817641472800432348總合20013120集中趨勢的度量二、加權(quán)法第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日xi=組中值fi=組中值出現(xiàn)的頻數(shù)集中趨勢的度量二、加權(quán)法第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日（一）離均差之和為零：一個樣本觀察值與平均數(shù)之差簡稱離均差?！疲▁i-）=（x1-）+(x2-)+……+(xn-)=x1+x2+……+xn+n?=∑xi-n?∑xi/n=0三、算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)集中趨勢的度量第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日（二）離均差平方和最小：一個樣本的各個觀察值與平均數(shù)之差的平方和比各個觀察值與任意其他數(shù)之差的平方和小。所以：平均數(shù)是與各個觀察值最接近的數(shù)值。所以：平均數(shù)代表這個樣本的集中趨勢。集中趨勢的度量三、算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日定義：將n個觀察值從小到大依次排隊，位于中間的那個觀察值稱為中位數(shù)。3.1.2中位數(shù)（Md）集中趨勢的度量第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日例：2.5現(xiàn)有一窩仔豬的出生重資料為：1.4，1.0，1.3，1.2，1.6kg，試求其中位數(shù)。解：首先排序：1.0，1.2，1.3，1.4，1.6；

(n+1)/2=(5+1)/2=3；Md=X3=1.3如果增加一頭仔豬，出生重為1.8kg，計算中位數(shù)：n/2=6/2=3(n/2)+1=3+1=4；Md=(X3+X4)/2=(1.3+1.4)/2=1.35集中趨勢的度量3.1.2中位數(shù)（Md）第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日對于頻數(shù)分布的資料，公式如下：Lmd：中位數(shù)所在組的組下限；fm：中位數(shù)所在組的頻數(shù)；C：從第一組到中位數(shù)所在組前一組的累計頻數(shù)n：樣本含量；

i：組距；例：表2－5集中趨勢的度量3.1.2中位數(shù)（Md）第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日集中趨勢的度量3.1.2中位數(shù)（Md）第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日定義：n個非負(fù)數(shù)的乘積開n次方的根稱為幾何平均數(shù)，用G表示。3.1.3幾何平均數(shù)集中趨勢的度量第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日為了計算方便，各變數(shù)先取對數(shù)，再相加除以n，即為logG，再求其反對數(shù)，即為G值。集中趨勢的度量3.1.3幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)用于以百分率、比例表示的數(shù)據(jù)資料，如：增長率、利率、藥物效價、抗體滴度等。能夠消弱數(shù)據(jù)中個別過分偏大值的影響。第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日例：某奶牛場在1995年有100頭奶牛，已知在1996、1997、1998年的奶牛頭數(shù)分別為前一年的2，3和4.5倍，求其年平均增加率。?1998年的奶牛頭數(shù)為：100×2×3×4.5＝2700頭或者100×33＝2700頭集中趨勢的度量3.1.3幾何平均數(shù)第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日定義：在資料中某一個變數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多，就稱之為眾數(shù)。1.離散性資料：出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。2.連續(xù)性資料：頻數(shù)分布表中，頻數(shù)出現(xiàn)最多的一組的組中值。?。∮械馁Y料可出現(xiàn)多個眾數(shù)，即多個數(shù)具有相同的最高頻數(shù)；有的資料沒有眾數(shù)，即所有數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)都相同。集中趨勢的度量3.1.4眾數(shù)第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日定義：各觀察值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)3.1.5調(diào)和平均數(shù)簡單調(diào)和平均數(shù)集中趨勢的度量適用于極端右偏態(tài)第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日3.1.5調(diào)和平均數(shù)集中趨勢的度量例：用某藥物救治12只中毒的小鼠，它們的存活天數(shù)記錄如下：8、8、8、10、10、7、13、10、9、14，另有兩只一直未死亡，求平均存活天數(shù)。由于數(shù)據(jù)極端右偏態(tài)，用調(diào)和平均數(shù)較為合理。第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)連續(xù)性資料分組方法集中趨勢（平均數(shù)）有哪幾種表示方式？算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日2.2.3百分位數(shù)（百分位點(diǎn)）指將一組n個數(shù)據(jù)由小到大排列，如果小于某數(shù)值的數(shù)據(jù)個數(shù)為全體數(shù)據(jù)個數(shù)的x%，則稱該數(shù)為第x百分位數(shù)或x%分位數(shù)。

25%分位數(shù)或下四分位數(shù)：0.25n個數(shù)的后一個數(shù)。

50%分位數(shù)或中位數(shù)：0.5n個數(shù)的后一個數(shù)。

75%分位數(shù)或上四分位數(shù)：0.75n個數(shù)的后一個數(shù)。24第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日一、各個集中趨勢度量指標(biāo)之間的關(guān)系1.在完全對稱分布情況下，算數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者相等。集中趨勢的度量第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日

適用于正態(tài)分布資料。家畜的大多數(shù)數(shù)量性狀都是正態(tài)分布，因此算術(shù)平均數(shù)是最常用的，也是最重要的。集中趨勢的度量2、算術(shù)平均數(shù)但是當(dāng)分布不對稱時，呈偏態(tài)時，用算術(shù)平均數(shù)則難以表示資料的集中趨勢。第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日適用于非參數(shù)檢驗，如卡方檢驗。4、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)適用于右偏態(tài)分布。偏態(tài)：是指大部分?jǐn)?shù)值落在平均數(shù)的哪一邊，若分配較多的集中在低數(shù)值的方面視為正偏態(tài)，或稱為右偏態(tài)集中趨勢的度量3、中位數(shù)第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日平均數(shù)的代表程度與樣本的變異程度有關(guān)一個樣本內(nèi)有很多的變數(shù)，用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表程度決定于樣本內(nèi)各個變數(shù)的變異程度。3.2標(biāo)準(zhǔn)差離散趨勢的度量第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日即使兩個樣本的平均數(shù)相同，但是樣本內(nèi)變數(shù)的變異程度不一定相同。產(chǎn)仔數(shù)總和甲8，4，16，12，22，17，6，14，6，511011乙14，8，11，9，11，12，10，14，13，811011離散趨勢的度量3.2標(biāo)準(zhǔn)差第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日甲的變異程度大于乙甲的平均數(shù)的代表性小于乙的平均數(shù)所以，應(yīng)該測定其變異程度離散趨勢的度量?甲、乙兩品種的平均產(chǎn)仔數(shù)相同，都是11頭。

從平均數(shù)來看，兩個品種沒有差異。從以上統(tǒng)計結(jié)果可知：?進(jìn)一步觀察各個變數(shù)，二者變異程度并不相同。

甲：最小為4，最大為22；乙：最小為8，最大為14第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.如果各個變數(shù)相同或者變異程度比較小，則平均數(shù)能夠代表整個樣本。2.如果各個變數(shù)的變異程度比較大，則平均數(shù)的代表性就小。離散趨勢的度量

因此，單靠平均數(shù)不能全面、正確地了解樣本。也不能了解平均數(shù)作為樣本的變異程度。3.2標(biāo)準(zhǔn)差第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日定義：全部變數(shù)的最大值與最小值之差

R=Max(x)-Min(x)3.2范圍（全距）范圍或全距可以反映變異程度的一部分，但是不能代表樣本內(nèi)各變數(shù)之間的變異程度。

目前，被廣泛使用的是以標(biāo)準(zhǔn)差來度量變異程度。離散趨勢的度量第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日如果一個樣本有n個觀察值x1，x2……

xn，設(shè)其算術(shù)平均數(shù)為，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為：標(biāo)準(zhǔn)差考慮了每個變數(shù)與平均數(shù)的離差。每個變數(shù)與平均數(shù)相差愈小，樣本變異程度愈小，反之，愈大。因此，標(biāo)準(zhǔn)差是離散程度的度量3.2.1標(biāo)準(zhǔn)差的定義離散趨勢的度量第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日1.離均差=（x-）2.離均差之和=∑（x-）=03.離均差平方和SS=∑(x-)2為了合理地計算平均差異，用平方和的辦法來消除離均差的正負(fù)號，離均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不同樣本的觀察值個數(shù)不同，所以離均差平方和也不是理想指標(biāo)離散趨勢的度量雖然離均差可以衡量變異程度，但是離均差之和為0，所以不是理想的指標(biāo)3.2.2標(biāo)準(zhǔn)差公式的來源第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日3.2.3樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差將離均差平方和求平均數(shù)，稱為樣本方差，目的是消除觀察值個數(shù)的影響樣本方差開方，目的是使變異還原，即標(biāo)準(zhǔn)差。離散趨勢的度量第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日總體是未知的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計和推斷總體標(biāo)準(zhǔn)差離散趨勢的度量3.2.4總體方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日如果一個樣本含有n個變數(shù)，從理論上講，n個變數(shù)都同樣用以計算標(biāo)準(zhǔn)差，n個變數(shù)與平均數(shù)相減有n個離均差。表面上雖有n個比較，但實質(zhì)上僅有n-1個可以自由變動，最后一個離均差受到離均差之和這個條件的限制，所以不能自由。3.2.5自由度：

df，n-1第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日例如：有3個變數(shù),平均數(shù)等于5。問著三個變數(shù)可能是多少？離散趨勢的度量3.2.5自由度：（4、5、6）（2、4、9）（3、5、7）……他們的共同特點(diǎn)：前兩個數(shù)可以自由選擇，為了使平均數(shù)等于5，第三個數(shù)不用選就確定了。這時（3－1）＝2就是所謂自由度。自由度：消除限制性因數(shù)后，所剩余的獨(dú)立變數(shù)