冪級(jí)數(shù)托馬斯微積分

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).對(duì)若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂點(diǎn),所有收斂點(diǎn)的全體稱為其收斂域;若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),稱收斂,發(fā)散,所有為其收為其發(fā)散點(diǎn),發(fā)散點(diǎn)的全體稱為其發(fā)散域.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日為級(jí)數(shù)的和函數(shù),并寫成若用令余項(xiàng)則在收斂域上有表示函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和,即在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)稱它機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日例如,等比級(jí)數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或?qū)懽饔秩?

級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散;所以級(jí)數(shù)的收斂域僅為有和函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中數(shù)列下面著重討論為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).的情形,即稱機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束記第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日例如,冪級(jí)數(shù)即是此種情形.零點(diǎn)附近取較少的項(xiàng)就能較好的逼近，但是在1和-1附近，則需要更多項(xiàng)，才能較好的逼近。第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日又冪級(jí)數(shù)中心為系數(shù)…，將級(jí)數(shù)寫成如何確定級(jí)數(shù)的收斂域呢？令所以當(dāng)即第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日問題1.如何確定冪級(jí)數(shù)的收斂域？2.和函數(shù)有何性質(zhì)：如四則運(yùn)算，求導(dǎo)和積分等。冪級(jí)數(shù)收斂域的確定：非空，一定屬于收斂域。問題1.收斂域的結(jié)構(gòu)：Abel定理第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散*定理(Abel定理)若冪級(jí)數(shù)則對(duì)滿足不等式的一切x冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之,若當(dāng)?shù)囊磺衳,該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)滿足不等式**證:設(shè)收斂,則必有于是存在常數(shù)M>0,使阿貝爾目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí),收斂,故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.也收斂,反之,若當(dāng)時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散,下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)滿足不等式所以若當(dāng)滿足且使級(jí)數(shù)收斂,面的證明可知,級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真.的x,原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散.

時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散,則對(duì)一切則由前也應(yīng)收斂,與所設(shè)矛盾,證畢機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日冪級(jí)數(shù)在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理可以看出,中心的區(qū)間.用±R

表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R=0時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在x=0收斂;R=時(shí),冪級(jí)數(shù)在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發(fā)散.外發(fā)散;在(－R,R)稱為收斂區(qū)間.發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日冪級(jí)數(shù)在(－∞,+∞)收斂;為中心的區(qū)間.的收斂域是以R=0時(shí),冪級(jí)數(shù)僅在R=時(shí),冪級(jí)數(shù)在可能收斂也可能發(fā)散.在收斂;絕對(duì)收斂，發(fā)散;第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日**V第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日定理2.

若的系數(shù)滿足證:1)若≠0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散.即時(shí),1)當(dāng)≠0時(shí),2)當(dāng)＝0時(shí),3)當(dāng)＝∞時(shí),即時(shí),則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束系數(shù)模比值法2.收斂半徑的求法第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日2)若則根據(jù)比值審斂法可知,絕對(duì)收斂,3)若則對(duì)除x=0以外的一切x原級(jí)發(fā)散,對(duì)任意x原級(jí)數(shù)因此因此的收斂半徑為說明:據(jù)此定理因此級(jí)數(shù)的收斂半徑機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日對(duì)端點(diǎn)x=－1,

的收斂半徑及收斂域.解:對(duì)端點(diǎn)x=1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)為發(fā)散.故收斂域?yàn)槔?.求冪級(jí)數(shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日例2.求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域:解:(1)所以收斂域?yàn)?2)所以級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂.規(guī)定:0!=1機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日練習(xí)：求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑其中第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日例3.的收斂半徑.解:級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散故收斂半徑為故直接由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日

第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日例4.的收斂域.解:令級(jí)數(shù)變?yōu)楫?dāng)t=2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)t=–2時(shí),級(jí)數(shù)為此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣试?jí)數(shù)的收斂域?yàn)榧礄C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日**第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日**第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理3.

設(shè)冪級(jí)數(shù)及的收斂半徑分別為令則有:其中機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束右端的收斂域可能更大第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日**說明:兩個(gè)冪級(jí)數(shù)相除所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑小得多.例如,設(shè)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日例如第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日定理4若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑則其和函在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,運(yùn)算前后收斂半徑相同:注:逐項(xiàng)積分時(shí),運(yùn)算前后端點(diǎn)處的斂散性不變.求導(dǎo)后在端點(diǎn)處的斂散性可能發(fā)生變化.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在端點(diǎn)處收斂，和函數(shù)在該處單側(cè)連續(xù)證明略，有興趣的同學(xué)看《數(shù)學(xué)分析》的教程。第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日為什么?第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日例6.

的和函數(shù)解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,x＝±1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日例7.

求級(jí)數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,及收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日例8.解:

設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日而故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日解:由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑R＝+∞.例5.則故有故得的和函數(shù).因此得設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日**第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法1)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)(缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式)求收斂半徑時(shí)直接用比值法或根值法,2.冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)冪級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.乘法運(yùn)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日2)在收斂區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)1.已知處條件收斂,問該級(jí)數(shù)收斂半徑是多少?答:根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在收斂,時(shí)發(fā)散.