第十二章動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型

第十二章動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型

12.1速降線與短程線12.2生產(chǎn)計(jì)劃的制定12.3國民收入的增長12.4漁船出海12.5賽跑的速度y12.1速降線與短程線5.最簡泛函數(shù)極值的必要條件-----歐拉方程最簡單的一類泛函：，其中F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，容許函數(shù)類S取為滿足端點(diǎn)條件為固定端點(diǎn)的二階可微函數(shù)。

泛函極值的必要條件：設(shè)泛函（3）在x(t)∈S取得極值，則x(t)滿足歐拉方程：或用歐拉方程求解速降線問題。考察例二得：不含自變量，所以方程可寫作：

等價(jià)于：作一次積分得：令則方程化為又因積分之，得由邊界條件

，可知，故得這是擺線（園滾線）的參數(shù)方程，其中常數(shù)

可利用另一邊界條件

來確定。

問題背景：12.2生產(chǎn)計(jì)劃的制定

工廠與客戶簽訂了一項(xiàng)在某時(shí)刻提交一定數(shù)量產(chǎn)品的合同，在制訂生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)要考慮生產(chǎn)和貯存兩種費(fèi)用．生產(chǎn)費(fèi)用通常取決于生產(chǎn)率(單依時(shí)間的產(chǎn)量)．生產(chǎn)率越高費(fèi)用越大；貯存費(fèi)用自然由已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品數(shù)量決定，數(shù)量越多費(fèi)用越大．所謂生產(chǎn)計(jì)劃這里簡單地看作是到任一時(shí)刻為止的累積產(chǎn)量，它與每單體時(shí)間(如每天)的產(chǎn)量可以互相推算．建模目的是尋求最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃，使完成合同所需的總費(fèi)用(生產(chǎn)與貯存費(fèi)用之和)最小。問題假設(shè)問題分析模型建立12.3國民收入的增長問題背景

國民經(jīng)濟(jì)收入主要來自兩個(gè)方面：輪廓大再生產(chǎn)的積累和滿足人民生活需要的消費(fèi)資金。如何安排積累和消費(fèi)資金的不利使國民收入得到嘴快的增長，是一個(gè)重大的理論和實(shí)踐問題，本節(jié)僅從最優(yōu)控制的角度介紹一個(gè)十分簡化的模型。模型建立模型評(píng)注12.4漁船出海

這一節(jié)繼續(xù)討論開發(fā)漁業(yè)資源的最大經(jīng)濟(jì)效益模型，與6.1節(jié)的不同之處是，這里用出海漁船的數(shù)量作為控制函數(shù)。事實(shí)上，捕漁業(yè)的具體做法是等漁場中魚量增長到相當(dāng)大的時(shí)候，才派出一定數(shù)量的漁船進(jìn)行捕撈。于是我們的控制函數(shù)可以取與這種做法想適應(yīng)的特殊形式，從而將本來屬于動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型的泛函極值問題簡化為普通的函數(shù)極值問題。1、漁場數(shù)量x（t）的自然增長服從Logistic規(guī)律，單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與漁船數(shù)量u（t）和x（t）成正比，在捕撈條件下滿足模型假設(shè)：(1)(2)(3)r，N同前，q是每只漁船單位時(shí)間（如每天）的捕撈率（相對(duì)于x而言）。u（t）視為連續(xù)變量，非整數(shù)部分理解為在部分時(shí)間內(nèi)進(jìn)行捕撈。2、出始時(shí)刻漁場魚量（4）x（0）很小。在時(shí)間內(nèi)不派漁船出海。以后出海漁船的數(shù)量保持常數(shù)U，即u（t）的形式為：（5）將（5）、（8）帶入（6）式，目標(biāo)范函變?yōu)閁的函數(shù)，記作F（U），則（10）注意c,p,q,N的含義，可知無量綱量b是費(fèi)用——價(jià)格比的下界（因?yàn)闈O場魚量取最大值N）。顯然應(yīng)該b〈1，否則成本高于售價(jià)。漁船不會(huì)出海。并且由（10）式可知，效益F（U）為正值的條件是1-qU/r-b〉0，或記作：（11）用微分法求出在條件（11）下F（U）下F（U）的最大點(diǎn)為（12）將（12）帶入（9）式即得為漁船出海的最佳數(shù)量與時(shí)刻（13）

模型解釋：按照經(jīng)濟(jì)學(xué)的觀點(diǎn)。最優(yōu)解應(yīng)該在邊際得益恰好等于邊際損失時(shí)達(dá)到，成為邊際解釋。為了得到這種解釋的表達(dá)式，考察單位時(shí)間的利潤。當(dāng)時(shí)，以（5）、（8）代入（14）得（14）與（10）比較可知F（U）又可表為（15）（16）容易算出對(duì)于最優(yōu)解有故必滿足

由此可對(duì)最優(yōu)解