第二章1-插值法1~3

1第2章

插值法22.1引言

2.2Lagrange插值2.3均差與Newton插值多項(xiàng)式2.4Hermite插值2.5分段低次插值2.6三次樣條插值3§2.0為什么要研究插值法

插值法是廣泛應(yīng)用于理論和實(shí)踐的重要數(shù)值方法,它是用簡單函數(shù)(特別是多項(xiàng)式或分段多項(xiàng)式)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型；為非有理函數(shù)提供好的逼近方法。眾所周知，反映自然規(guī)律數(shù)量關(guān)系的函數(shù)大致有三種表示方法：

解析表達(dá)式

圖象法

表格法2023/2/534§2.0為什么要研究插值法

許多函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)是用表格法給出(如觀測和實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù))。但用離散的函數(shù)值進(jìn)行理論分析和設(shè)計(jì)，是不方便或是不可能的。因此需要尋找與已知函數(shù)值相符，并且形式簡單的插值函數(shù)(或近似函數(shù))。另外一情況是，函數(shù)表達(dá)式給定，但其形式不適宜計(jì)算機(jī)使用，一些涉及連續(xù)變量問題的計(jì)算需經(jīng)過離散化后才能進(jìn)行。如數(shù)值積分方法、數(shù)值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必須直接或間接地應(yīng)用到插值理論和方法。2023/2/5452.1引言

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點(diǎn)

上的值，函數(shù)，（1.1）成立，就稱為的插值函數(shù)，點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn)，包含節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間，求插值函數(shù)若存在一簡單使的方法稱為插值法.2.1.1插值問題的提出6

插值函數(shù)p(x)作為f(x)的近似，可以選自不同類型的函數(shù),如p(x)為代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式、有理分式；其函數(shù)性態(tài)可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其中，代數(shù)多項(xiàng)式類的插值函數(shù)占有重要地位：

(a)

結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算機(jī)容易處理、任何多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)和積分也易確定。(b)

著名的Weierstrass逼近定理(定義在閉區(qū)間上的任何連續(xù)函數(shù)f(x),存在代數(shù)多項(xiàng)式p(x)一致逼近f(x),并達(dá)到所要求的精度)。因此，我們主要考慮代數(shù)多項(xiàng)式的插值問題。2023/2/567（1.2）

若是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項(xiàng)式，即其中為實(shí)數(shù)，就稱為插值多項(xiàng)式，本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值.

若為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值.

若為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值.相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值.8x0

,

x1,…,xn插值節(jié)點(diǎn),

函數(shù)P(x)稱為函數(shù)y=f(x)的插值函數(shù)，區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。

2023/2/589

插值的幾何意義

從幾何上看，插值就是求一條曲線使其通過給定的個(gè)點(diǎn)，并且與已知曲線有一定的近似度。從幾何上看x

0y

y=p(x)a=x0x1x2x3xn=b

?(xi,yi)y=f(x)曲線P

(

x)

近似f

(

x)910插值問題是否可解.若有解,是否唯一.如何求插值函數(shù)P(x).P(x)與f(x)的誤差如何估計(jì).當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無限加密時(shí),P(x)是否收斂于f(x).插值法的研究內(nèi)容11【問題】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且已知在點(diǎn)

上的值，的多項(xiàng)式，使得（1.3）求次數(shù)不超過n2.1.2插值多項(xiàng)式的存在唯一性12

在次數(shù)不超過的多項(xiàng)式集合中，滿足條件(1.3)的插值多項(xiàng)式是存在唯一的.由（1.3）式得到關(guān)于系數(shù)的線性方程組因此，線性方程組（1.3）的解存在唯一，證畢.定理1證明其系數(shù)矩陣的行列式(是Vandermande行列式)（1.4）（1.5）13插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)

若在上用近似，

設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)是滿足條件(2.6)的插值多項(xiàng)式，則對任何，插值余項(xiàng)這里且依賴于，則其截?cái)嗾`差為也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng).定理214

余項(xiàng)表達(dá)式只有在的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用.

但在內(nèi)的具體位置通常不可能給出，如果可以求出那么插值多項(xiàng)式逼近的截?cái)嗾`差限是15

2.2.1線性插值與拋物插值

對給定的插值點(diǎn)，可以用多種不同的方法求得形如(1.2)的插值多項(xiàng)式.

先討論的簡單情形.【問題】給定區(qū)間及端點(diǎn)函數(shù)值，要求線性插值多項(xiàng)式，2.2Lagrange插值使它滿足16

其幾何意義就是通過兩點(diǎn)的直線.圖2-2如圖2-2.17由的幾何意義可得到表達(dá)式（點(diǎn)斜式），（兩點(diǎn)式），（2.1）

由兩點(diǎn)式看出，是由兩個(gè)線性函數(shù)（2.2）的線性組合得到，其系數(shù)分別為及，即（2.3）18顯然，及也是線性插值多項(xiàng)式，在節(jié)點(diǎn)及稱及為線性插值基函數(shù)，上滿足條件圖形見圖2-3.19圖2-320下面討論的情形.

假定插值節(jié)點(diǎn)為，，，要求二次插值多項(xiàng)式

幾何上是通過三點(diǎn)的拋物線.

可以用基函數(shù)的方法求的表達(dá)式，此時(shí)基函數(shù)（2.4）使它滿足是二次函數(shù)，且在節(jié)點(diǎn)上滿足條件21

接下來討論滿足（2.4）的插值基函數(shù)的求法，以求為例，由插值條件，它應(yīng)有兩個(gè)零點(diǎn)及，可由插值條件定出其中為待定系數(shù)，于是可表示為22同理

二次插值基函數(shù)，，在區(qū)間上的圖形見圖2-4.23圖2-424

利用，，，（2.5）顯然，將,，代入(2.5),立即得到二次插值多項(xiàng)式它滿足條件得252.2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式

將前面的方法推廣到一般情形，討論如何構(gòu)造通過個(gè)節(jié)點(diǎn)的次插值多項(xiàng)式.（2.6）

根據(jù)插值的定義應(yīng)滿足先定義次插值基函數(shù).

為構(gòu)造，26

定義1

若次多項(xiàng)式在個(gè)節(jié)點(diǎn)（2.7）就稱這個(gè)次多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)上的次插值基函數(shù).上滿足條件27顯然它滿足條件（2.7）.

于是，滿足條件（2.6）的插值多項(xiàng)式可表示為（2.9）（2.8）

與前面的推導(dǎo)類似，次插值基函數(shù)為28由的定義，知形如（2.9）的插值多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式，而(2.3)與(2.5)是和的特殊情形.容易求得（2.10）

若引入記號29于是公式（2.9）可改寫成（2.11）

注意:

次插值多項(xiàng)式通常是次數(shù)為的多項(xiàng)式，特殊情況下次數(shù)可能小于.30若取，則（2.18）（2.17）可得若令它可用來檢驗(yàn)函數(shù)組的正確性.31當(dāng)時(shí)，線性插值余項(xiàng)為（2.17）當(dāng)時(shí)，拋物插值余項(xiàng)為（2.18）32由題意,?。?）用線性插值計(jì)算，的值并估計(jì)截?cái)嗾`差.例1已知用線性插值及拋物插值計(jì)算解取由公式（2.1）3334

由（2.17）,其截?cái)嗾`差其中于是35（2）

用拋物插值計(jì)算，由公式（2.5）得36

由（2.18）,截?cái)嗾`差限其中于是這個(gè)結(jié)果與6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了.37382.3均差與牛頓插值公式

2.3.1插值多項(xiàng)式的逐次生成

利用插值基函數(shù)很容易得到Lagrange插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值基函數(shù)均要重新計(jì)算.【Lagrange插值多項(xiàng)式的缺陷】39利用點(diǎn)斜式直線方程得

為了克服這一缺點(diǎn)，我們設(shè)計(jì)一種逐次生成插值多項(xiàng)式的方法：對n=1,插值多項(xiàng)式滿足它可看成零次插值的修正：其中是函數(shù)的差商.40其中

對n=2，插值多項(xiàng)式可表示為這里是函數(shù)的“差分的差分”，稱為“二階差分”，也稱“均差”.

41（3.1）其中為待定系數(shù)，確定.

一般地，插值多項(xiàng)式表示為如下便于計(jì)算的形式可由個(gè)插值條件（3.2）42

稱為函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的一階均差.稱為的二階均差.定義2

2.3.2均差及其性質(zhì)43（3.3）

一般地，稱為的階均差（均差也稱為差商）.44

均差有如下的基本性質(zhì)：（3.4）這個(gè)性質(zhì)可用歸納法證明.1°階均差可表為函數(shù)值的線性組合，

這性質(zhì)也表明均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，稱為均差的對稱性.即453°若在上存在階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn)（3.5）這公式可直接用羅爾定理證明.(3.3’)2°由性質(zhì)1°及（3.3）可得即則階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：46

均差計(jì)算可列均差表如下（表2-1）.472.3.3Newton插值多項(xiàng)式

根據(jù)均差定義，把看成上一點(diǎn)，可得48只要把后一式代入前一式，就得到其中（3.6）49（3.7）

是由（2.10）定義的.

顯然，由（3.6）確定的多項(xiàng)式滿足插值條件，且次數(shù)不超過，稱為牛頓（Newton）均差插值多項(xiàng)式.

系數(shù)就是均差表2-1中加橫線的各階均差，它比拉格朗日插值計(jì)算量省，且便于程序設(shè)計(jì).其系數(shù)為它就是形如（3.1）的多項(xiàng)式，50

但（3.7）更有一般性，它在是由離散點(diǎn)給出的情形或?qū)?shù)不存在時(shí)也是適用的.

（3.7）為插值余項(xiàng)，由插值多項(xiàng)式唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)應(yīng)該是等價(jià)的.

事實(shí)上，利用均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式就可以證明這一點(diǎn).

牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)還在于它的遞進(jìn)性，當(dāng)增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，只要在原來插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)即可.51

首先根據(jù)給定函數(shù)表造出均差表.

給出的函數(shù)表（見表2-2），求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計(jì)算的近似值.例452

從均差表看到4階均差近似常數(shù)，5階均差近似為0.

故取4次插值多項(xiàng)式做近似即可.于是

按牛頓插值公式，將數(shù)據(jù)代入53截?cái)嗾`差這說明截?cái)嗾`差很小，可忽略不計(jì).542.3.4差分與等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值

實(shí)際應(yīng)用時(shí)經(jīng)常遇到等距節(jié)點(diǎn)的情形，這時(shí)插值公式可以進(jìn)一步簡化，計(jì)算也簡單得多.

2.3.4.1差分及其性質(zhì)

設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值為已知，這里為常數(shù)，稱為步長.

為了得到等距節(jié)點(diǎn)的插值公式，先介紹差分的概念.55記號（4.1）（4.2）（4.3）分別稱為在處以為步長的向前差分，向后差分

符號，，分別稱為向前差分算子，向后差分算子定義3及中心差分.及中心差分算子.56

利用一階差分可定義二階差分為一般地可定義階差分為

中心差分用到了及這兩個(gè)值，但它們并不是函數(shù)表上的值.

如果用函數(shù)表上的值，一階中心差分應(yīng)寫成57這樣，二階中心差分為

除了已引入的差分算子外，常用算子符號還有不變算子及移位算子，于是，由定義如下：可得58同理可得59

差分基本性質(zhì).

性質(zhì)1其中為二項(xiàng)式展開系數(shù).例如各階差分均可用函數(shù)值表示.（3.9a）（3.9b）60

性質(zhì)2

例如，可用向前差分表示，所以（3.10）可用各階差分表示函數(shù)值.因?yàn)?1

性質(zhì)3

例如，對向前差分，均差與差分有密切關(guān)系.由定義62同理，對向后差分有

利用（4.7）及均差與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系又可得到（3.12）其中，

一般地有這就是差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.（3.11a）（3.11b）63

計(jì)算差分可列差分表（見表2-3），表中為向前差分，為向后差分.642.3.4.2等距節(jié)點(diǎn)的Newton插值公式

將牛頓均差插值多項(xiàng)式（3.6）中各階均差用相應(yīng)差分代替，就可得到各種形式的等距節(jié)點(diǎn)插值公式.

如果節(jié)點(diǎn)，要計(jì)算附近點(diǎn)的函數(shù)的值，

這里