第十一章振動學(xué)基礎(chǔ)

第四篇振動波動和波動光學(xué)我們生活在波的海洋中第11章振動學(xué)基礎(chǔ)振動：機械振動：簡諧運動：

物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)的規(guī)律隨時間變化。

是最基本、最簡單的振動。

任何復(fù)雜的振動都可以認為是由若干個簡單而又基本的簡諧運動所合成的。物體在一定位置(中心)附近作來回往復(fù)的運動。廣義上指任何一個物理量(例如，物體的位置、電流強度、電場強度、磁場強度等)在某一定值附近的反復(fù)變化?！?1-1簡諧運動的描述一、簡諧運動的表達式彈簧振子—由余弦函數(shù)表示，A：振幅，離開平衡位置的最大位移ωt+φ：φ：頻率v：v=1/T簡諧振動的重要特點是周期性周期

往復(fù)振動一次的時間。角頻率單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)。位相或周相初相決定任意時刻系統(tǒng)運動狀態(tài)的物理量。取決于系統(tǒng)初始狀態(tài)。三、簡諧運動的速度與加速度二、振動曲線xtOAT？已知：四、簡諧運動的動力學(xué)原因例：彈簧振子忽略摩擦,振子所受合外力為：物體受到與位移成正比，但方向相反的合外力即——回復(fù)力，物體做簡諧運動。，若振子質(zhì)量為m由牛頓第二定律得令:微分方程的解：—簡諧振動此微分方程的解為：A和φ由初始條件確定則：稱為固有頻率，與振幅無關(guān)。結(jié)論：若物體所受合外力F=-kx，物體做簡諧振動由：得：五、振動表達式的建立關(guān)鍵：設(shè)表達式為：已知質(zhì)點沿X軸做簡諧振動，振動圓頻率為ω，

t=0時，位移：x=x0

，振動速度：v=v0求其振動表達式。由（3）、（4）式得：初相位：解：設(shè)振動表達式為：t=0時：則速度表達式為：（1）（2）（3）（4）注意：區(qū)間內(nèi)有兩個解，必須根據(jù)（4）式舍去一個。由已知條件確定確定需要根據(jù)初始位置與速度方向兩個條件。例11-2:一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時,

位移為6cm，且向x軸正方向運動。求:1、振動表達式。2、t=0.5s時，質(zhì)點的位置、速度和加速度。3、如果在某時刻質(zhì)點位于x=-0.6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：1.設(shè)簡諧振動表達式為已知振幅A=0.12m，t=0時由（1）式：2.得：（1）由已知T=2s得：則t=0時得：簡諧振動表達式為由（1）式知速度表達式為：（2）由簡諧振動表達式可得速度、加速度表達式分別為t=0.5s時，質(zhì)點的位置、速度和加速度分別為3.設(shè)在t1時刻，x=－0.06m代入振動方程即：由可得在最大負位移的時刻由最大負位移的回到平衡位置需四分之一周期，因而共需時間???O–A–A/2由-0.06m處到負最大位移的時間設(shè)簡諧振動表達式為已知振幅A,t=0時，已知周期T，則由振動曲線確定振動表達式：？xtOATt=0時，質(zhì)點正向x軸正向移動，v>0則則振動表達式為x六、簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法t=0tAxO長度為A的旋轉(zhuǎn)矢量以角速度w繞其一個端點逆時針旋轉(zhuǎn)。t=0時刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為f，t時刻旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角為wt+f，其另外一端在x軸上的投影為：旋轉(zhuǎn)矢量端點的投影為簡諧運動。任一簡諧運動對應(yīng)于一旋轉(zhuǎn)矢量。簡諧運動旋轉(zhuǎn)矢量振幅簡諧運動旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量長度角頻率旋轉(zhuǎn)矢量角速度初相位t

=

0時，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸的夾角簡諧運動旋轉(zhuǎn)矢量xx>0,旋轉(zhuǎn)矢量第一象限x>0,v>0旋轉(zhuǎn)矢量第四象限x<0,v<0旋轉(zhuǎn)矢量第二象限x<0,v>0旋轉(zhuǎn)矢量第三象限簡諧運動速度為負——旋轉(zhuǎn)矢量在上方簡諧運動速度為正——旋轉(zhuǎn)矢量在下方v<0三、相位差xA當(dāng)二個振動的頻率相同時，相位差為第二個振動比第一個振動相位超前若

則振動表達式：例11-3:一質(zhì)點沿x軸作簡諧運動，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時,

位移為6cm，且向x軸正方向運動。求:(1)振動表達式；(2)t=0.5s時，質(zhì)點的位置、速度和加速度；(3)如果在某時刻質(zhì)點位于x=-0.6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：(1)T=2s簡諧振動的振幅為四、旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用：x6cmA=12cm周期可得初始狀態(tài)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如上圖所示可得初相x/cm-6設(shè)質(zhì)點位于x=-0.6cm且向x軸負向運動的旋轉(zhuǎn)矢量為此過程中旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)過的角度為質(zhì)點從x=-0.6cm到負的最大值，回到平衡時的旋轉(zhuǎn)矢量為由得所用時間為：圖中綠色矢量所示。(3)圖中藍色矢量所示。得微分方程該分方程的解：—簡諧運動§11-1簡諧運動的動力學(xué)特征若物體所受合外力F=-kx，物體做簡諧振動由牛頓第二定律得令:2.單擺的討論Ol

mgT小球受力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律化簡得當(dāng)θ很小時，結(jié)論：單擺的振動是簡諧運動。θ為振動角位移，振幅為θ0例11-4:證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧運動。其頻率為

xk1k2Ｏ

x證明：設(shè)物體位移x，彈簧分別伸長x1和x2，從而聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第二定律即振動為簡諧振動。其頻率為證畢。五、簡諧運動的能量振子勢能：振子動能：系統(tǒng)的總能量：1、振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。2、位移最大，勢能最大，但動能最小。在振動曲線的峰值。位移為0，勢能為0，但動能最大，在振動曲線的平衡位置。彈簧振子的能量曲線§11-3簡諧運動的合成設(shè)：某一質(zhì)點在直線上同時參與兩個獨立的同頻率的簡諧運動，其運動表達式分別表示為令：則，

顯然，兩個同方向同頻率的諧振動的合成仍為諧振動。其中，合振幅：合振動的初位相：一、兩個同方向同頻率簡諧運動的合成（振幅、初相位不同）旋轉(zhuǎn)矢量法推導(dǎo)：x由幾何關(guān)系：同理可得合振幅：φ的具體象限要根據(jù)φ1、φ2

確定。討論：合振動的加強和減弱1、位相差△φ=φ1

-φ2

=2kπk=0，±1，±2，±3，……合振幅加強：2、位相差△φ=φ1

-φ2=（2k+1）πk=0，±1，±2，±3，……合振幅減弱：合振動的初位相：例11-5:兩個同方向的簡諧運動曲線(如圖所示)

(1)求合振動的振幅。

(2)求合振動的振動方程。xTt解:(1)t

=

0時，故，互為反相，合振幅最小(2)t

=

0時的旋轉(zhuǎn)矢量圖：x例11-6:兩個同方向，同頻率的簡諧運動，其合振動的振幅為20cm，與第一個振動的相位差為。若第一個振動的振幅為。則(1)第二個振動的振幅為多少？(2)兩簡諧運動的相位差為多少？解：(1)依題意根據(jù)余弦定理(2)根據(jù)正弦定理二、兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成

相對于