第五講 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程和復(fù)隨機(jī)過程

1.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程引入：前面對(duì)單個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了詳細(xì)的研究，但在實(shí)際中常常需要同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。如：研究同時(shí)作用于接收機(jī)信號(hào)和噪聲兩個(gè)隨機(jī)過程所構(gòu)成的過程的統(tǒng)計(jì)特性。為了能從噪聲中恢復(fù)出信號(hào)，除了信號(hào)和噪聲各自的統(tǒng)計(jì)特性外，還應(yīng)該研究?jī)蓚€(gè)過程的聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性。

主要研究：聯(lián)合分布函數(shù)(概率密度函數(shù))和互相關(guān)函數(shù)。2一兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率分布設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程和,它們的概率密度分別為定義這兩個(gè)過程的(n+m)維聯(lián)合分布函數(shù)：31）若兩個(gè)過程的n+m維聯(lián)合概率分布給定，則它們的全部統(tǒng)計(jì)特性也確定了。注2）可以由高維聯(lián)合分布求出相應(yīng)低維聯(lián)合概率分布。定義兩個(gè)過程的(n+m)維聯(lián)合概率密度為：4設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程和,它們的概率密度分別為

兩個(gè)過程的是相互獨(dú)立的，聯(lián)合概率密度函數(shù)滿足:5二兩個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)字特征（互相關(guān)函數(shù)）

已知兩個(gè)隨機(jī)過程和的m+n維聯(lián)合分布條件下，可以通過求出各自的邊緣分布，然后使用前面介紹的單個(gè)隨機(jī)過程中的方法求的各自的數(shù)字特征。為了描述兩個(gè)隨機(jī)過程之間的相互聯(lián)系，需要引入新的數(shù)字特征。最常用且最重要的數(shù)字特征是兩個(gè)過程的互相關(guān)函數(shù)。6

設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程和，它們?cè)谌我鈨蓚€(gè)時(shí)刻t1，t2的取值為隨機(jī)變量和則定義它們的互相關(guān)函數(shù)為：式中是隨機(jī)過程和的二維聯(lián)合概率密度。1定義7

隨機(jī)過程和的中心化互相關(guān)函數(shù)（互協(xié)方差函數(shù)）定義為：式中，和分別是隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望。此式也可以寫成82

兩個(gè)隨機(jī)過程的平穩(wěn)性（嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)）

若兩個(gè)隨機(jī)過程和的聯(lián)合概率分布不隨時(shí)間平移而變化，即與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān),則稱此二個(gè)過程為聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)或嚴(yán)平穩(wěn)相依。聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)（聯(lián)合嚴(yán)平穩(wěn)相依）9兩個(gè)隨機(jī)過程和，如果滿足：（1）和分別寬平穩(wěn)隨機(jī)過程；（2）互相關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間差的函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，即則稱和為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依。

聯(lián)合寬平穩(wěn)（聯(lián)合寬平穩(wěn)相依）10聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(1)證明：說明互相關(guān)函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)的影像關(guān)系11(2)證明：則方程的系數(shù)應(yīng)該滿足,則有由于，為任意實(shí)數(shù)展開得：這是關(guān)于的二階方程。注意，要使上式恒成立，即方程無解或只有同根，所以，

同理，12(3)證明：由性質(zhì)(2)，得注意到因此（任何正數(shù)的幾何平均小于算術(shù)平均）13（4）互相關(guān)系數(shù)當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)時(shí)，它們的互協(xié)方差為：

互相關(guān)系數(shù)為：

又稱作歸一化互相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù)。注：顯然。

當(dāng)時(shí)，平穩(wěn)過程和互不相關(guān)。143

隨機(jī)過程的聯(lián)合遍歷性（寬遍歷）兩個(gè)隨機(jī)過程和是聯(lián)合寬平穩(wěn)(前提)定義時(shí)間互相關(guān)函數(shù)為：若依概率1收斂于互相關(guān)函數(shù)則稱和具有聯(lián)合寬遍歷性。即154

兩個(gè)隨機(jī)過程獨(dú)立、正交和不相關(guān)

正交若兩個(gè)隨機(jī)過程和對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2都具有或則稱和互為正交過程。不相關(guān)若兩個(gè)隨機(jī)過程和對(duì)任意兩個(gè)時(shí)刻t1,t2都具有或則稱和不相關(guān)。161)如果兩個(gè)隨機(jī)過程相互獨(dú)立，且他們的二階矩都存在，則必互不相關(guān)。2)正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)。推論

17

故兩個(gè)隨機(jī)過程是平穩(wěn)相依的。設(shè)兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程試問:X(t)和Y(t)是否平穩(wěn)相依？是否正交、不相關(guān)、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？例平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為：解由于，它僅在時(shí)等于零，這時(shí)X(t)和Y(t)的取值（隨機(jī)變量）才是正交的。對(duì)于其它值是不相交的。18X(t)和Y(t)的均值分別為：X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)為：由于僅在時(shí)等于零，此時(shí)X(t)和Y(t)的狀態(tài)（隨機(jī)變量）才是不相關(guān)的；而在時(shí)，，故從整體來看，隨機(jī)過程X(t)和Y(t)是相關(guān)的，因而，它們是統(tǒng)計(jì)不獨(dú)立的。19三復(fù)隨機(jī)過程

前面討論的隨機(jī)過程都是實(shí)隨機(jī)過程，把隨機(jī)過程表示成時(shí)間的實(shí)值函數(shù)。

但在某些情況下，處理窄帶隨機(jī)過程時(shí)，需要表示成復(fù)隨機(jī)過程形式則更為便利。

復(fù)隨機(jī)變量和復(fù)隨機(jī)過程。201定義2分布函數(shù)即由X，Y的聯(lián)合概率分布描述。

復(fù)隨機(jī)變量Z定義為Z=X+jY，式中X和Y為實(shí)隨機(jī)變量。復(fù)隨機(jī)變量213數(shù)字特征(1)

數(shù)學(xué)期望(2)

方差其中注：ⅰ)復(fù)隨機(jī)變量的方差等于它的實(shí)部與虛部的方差之和。

ⅱ)復(fù)隨機(jī)變量的方差為非負(fù)的實(shí)數(shù)。22(3)相關(guān)矩設(shè)Z1、Z2為兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，則(4)互協(xié)方差

表示復(fù)共軛，即234兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的獨(dú)立、不相關(guān)、正交(1)

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立(2)不相關(guān)(3)正交或241定義設(shè)，為實(shí)隨機(jī)過程，則定義為復(fù)隨機(jī)過程。2概率密度函數(shù)Z(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由X(t)和Y(t)的2n維聯(lián)合概率分布完整地描述，其概率密度為：復(fù)隨機(jī)過程253數(shù)字特征(1)數(shù)學(xué)期望(2)方差(3)自相關(guān)函數(shù)26(4)自協(xié)方差函數(shù)當(dāng)時(shí)，Z(t)的自協(xié)方差函數(shù)等于Z(t)的方差27

復(fù)隨機(jī)過程Z(t)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，滿足以下條件：28

(1)互相關(guān)函數(shù)(2)互協(xié)方差函數(shù)

定義為兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程29若，則Z1(t)，Z2(t)復(fù)正交過程。若，則Z1(t)，Z2(t)互不相關(guān)。(3)

不相關(guān)(4)復(fù)正交X(t)和Y(t)是平穩(wěn)復(fù)隨機(jī)過程，且滿足稱X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。30

求復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征時(shí)要注意，其均值為復(fù)數(shù)，方差等二階矩為非負(fù)實(shí)數(shù)，因此，求其二階矩時(shí)（包括方差，相