2021屆高考數(shù)學新高考下基于問題探究考點1.3 數(shù)列的新定義問題

nn-n1n1nn1nnn11nn-n1n1nn1nnn11n1a

數(shù)的義題數(shù)列是高考重點考查的內(nèi)容之一，其命題形式多種多樣，其中基于問題情境的數(shù)列問題在高考逐步成為熱點通具體的問題背景新的定義察數(shù)列在問題情境中的應用以此來檢驗學生的核價值，學科素養(yǎng)，關(guān)鍵能力，必備知識。解決數(shù)列的新定義問題，常用的解題思路是：審題、建模、研究模型、解決新定義問題。研究型時需注意量多個量(2)量之間的關(guān)系規(guī)：等差、等比規(guī)律；遞推關(guān)系；其它規(guī)由殊到一般進行歸納總結(jié)(3)與數(shù)列項公式有關(guān)或與前項有關(guān)等．1．差列等中(1)定義①文字語言：一個數(shù)列從第2項，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；②符號語言：－＝n∈，為常)．－＝(n

n∈，為數(shù)．(2)等差項：若三個數(shù)，A，組等數(shù)列，則A叫a，的等差中．即2．差列通公與n項公

a2

．(1)通項式a＝＋n－d．n1

n(n－1)n(＋)(2)前n項公式：＝＋d＝．223．差列性已知數(shù)列是等差數(shù)列，是前n項．(1)通項式的推廣a＝a＋n－)(，m∈)．nm(2)若k＋＝＋(k，，nN，則a＋＝＋．若＋＝(，，N),則a＋＝a．klmnklm4．差列函的系(1)通項式當差時等差數(shù)列的通項公式a＝＋－d＝＋－是關(guān)于的次函數(shù)且一n11次項系數(shù)為公差.若差＞，為遞增數(shù)列，若公差＜0則為遞減數(shù)列．n(n－1)d(2)前n和：當公差d≠0，S＝＋d＝n222

d＋a－是于n的次函數(shù)常數(shù)項為0.25．比列有概(1)定義①文字語言：一個數(shù)列從第2項，每一項與它的前一項的比都等于同一個常非)．a(chǎn)a②符號語言：＝(∈，為零常)．(nn∈*，為數(shù)．nn(2)等比項：如果a，b等比數(shù)列，那么A叫與的比中項．即＝

．

n1n1nnnnnn1nnnn1n1nnnnnn1nnn16．比列有公(1)通項式a＝qn1

1．

＝，前n項公式：＝－na－q＝，≠1.－q1－7．比列性已知數(shù)列是等比數(shù)列，是前n項．m，，p，，kN)(1)若mn＝＋＝，則·＝a＝2；mnpqr8．列通公如果數(shù)列的第n項序n之的關(guān)系可用個式子來表達，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．(2)已知a的前n項，則＝

S，＝，S－，≥2.nn19．列遞公如果已知數(shù)列a的首項或前幾)且任一項與的前一項n≥2)(或前幾)間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式．數(shù)的定問（1單題1．宋數(shù)學家楊輝《詳解九張算法》和《算法通變本末》中，提出垛積公式，所討論的高階等差數(shù)與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)在輝之后一般為“塊積術(shù)”現(xiàn)高階等差數(shù)列，其前7項別1，，15，2745，，，該數(shù)列的第8項（）A．

B．

C．

D．【答案】【分析】畫出圖形分析即可列出式子求.【詳解】所給數(shù)列為高階等差數(shù)列設(shè)數(shù)列的第8項x，據(jù)所給定義：用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個新數(shù)列，得到的新數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個新數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖

由圖可得：

yxy

，解得.y48

故選：2．列

成為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱兔子數(shù)”該數(shù)列從第三項開始項于其前兩相鄰兩之和記該數(shù)

{}n

的前n和為S，則下列結(jié)論正確的是（）A．

2019

F2021

B．

2019

2021

C．

2019

2020

．

F2019【答案】【分析】利用迭代法可得

FFFFFnnn2

，可得n

n

，代入n2019即求.【詳解】由題意可得該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前兩相鄰兩項之和，則

FFFFnnnnFFnn

n

n

FFnn

n

n

n

Fnn

n

Fn

F2

，所以

n

n

，令

，可得

2019

2021

，故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是理解數(shù)列新定義的含義得出

n

，利用迭代法得出n

FFn

n

n

n

F21

，進而得出

n

n

.3121{}{}m2aa0m01()A18

B16

C14

D12C012m01

ii23456ii33ii23456ii3354657ii22556ii3455000011

000101

00101

0011101

00100111001011

001010

01010

0010011

01000111010011

010010

00001

0110101144（2020全國Ⅱ理12）周期序列在信技術(shù)中著重要應用．若序列

aa1

a

n

滿足i

，且存在正整數(shù)m，得

ai

a(i)i

成立，則稱其為0-1周序列，并稱滿足a

i

(i)的小正整數(shù)m為這個序列的周期．對于周期為的序i

aa1

a

n

，C(kaiii

2

是描述其性質(zhì)的重要指標．下列周期為5的0-1序中，滿足C,34

的序列是

（）A．

B．

．

D．

【答案】C【解析】由

i

i

知，序列a的期為m，已知，i

5Ck)iii

．對于選項，

51Caa()(1555iC(2)

i

2(aaaa)0)5

，不滿足；對于選項，

5C(1)(a)(15i

，不滿足；對于選項，

5C(1)aa(aaa)(155i

，不滿足；故選：C5100

2

2

N:N100N()A440330C220D110({}a

(

(

2

(nN)

ii

i

ai{}

{}

N

n(n2

(n)

{}{}2

N

2

435

29

2

2C

21

210

2D

142

S

2DA．（2多題6．數(shù)列

n

任正整數(shù)n，

數(shù)，則稱數(shù)列

n

為差遞減數(shù)列給下列數(shù)列

的有（）A．

n

B．

n

2

C．

n

D．

aln

nn【答案】【分析】分別求出四個選項中數(shù)列

行判斷【詳解】

nn對A，

n

，則

ann

，所以

減列，故A錯；對B，

2n

，則

n

，所以

為遞增數(shù)列，故B錯誤；對

，若

a

，則

ann

nn

1nn

，所以

數(shù)，故

正確；對，

alnn

nnnn，則ln)nnnnn2n

，由函數(shù)1yln(1)在減所以數(shù)x

數(shù)列，故D正確故選：

.【點睛】本題考查數(shù)列新定義、數(shù)列單調(diào)性及遞推關(guān)系，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查輯推理能力和運算求解能.7．數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)，“數(shù)列”無疑是一個非常重要的話而，中學生所學到的數(shù)列內(nèi)容非常有限，除了等差比數(shù)列之外它數(shù)列涉很下面向大家介紹一種有趣的數(shù)列言列例第一項

，對于一個對數(shù)列一竅不通的人，你怎樣介紹它呢？你可以這樣說，從左向右看，這里含有一，一個2

和一個把用數(shù)字表示出來到了第二項

a2

.再從左向右看a面又是含有四個，一個

和一個

再它用數(shù)字表示出來就得了第三項

3

同可得第四項

143112134

.按此規(guī)則重復下去，可以得到一個無窮數(shù)

奇發(fā)現(xiàn)，無論

a1

、

1

、

a1

，還是a1231

，都有這樣的結(jié)論：

0

*

，

n0

*

，都有

n

n

.則的可能值為（）A．

B．

C．

D．

【答案】【分析】對各選項中的能取值進行驗證，結(jié)題意可求出n

a

，并驗證

a

與a是相等，由此可得出合n適的選項【詳解】對于A選，若

a

，從左往右看，有3個2，2個3，

個1，1個4

，則

n

，從左往右看，有個3，個

，2

個1，1個4

，

則

a

，合乎題意；對于B項，若

n

，從左往右看，有2個

，

個，個1，個4則

n

23322114

，從左往右看，有

個2個

，1，個，則

n

n

，不合乎題意；對于C項，若

n

，從左往右看，有個

，

個2，2個，個4，則

n

23322114

，有

個2，個

，個，1個，則

n

n

，合乎題意；對于D選，若

n

，從左往右看，有3個

，個4個3，

個，則

n

32142321

，從左往右看，有2個3，個2

，

個，個4

，則

a

a

，不合乎題.故選：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的新定義，結(jié)合的關(guān)鍵就是充分利用題中定義，由的逐步推導

的值8定義在

上的函數(shù)

f

如果對于任意給定的等比數(shù)列

n

數(shù)列，則稱

f

為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定在

上的四個函數(shù)中，是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為（）A．

f

x

B．f

C．

f

x

．

f

x

ln【答案】【分析】直接利用題目中“保等比數(shù)列函數(shù)”的性質(zhì)，代入四個選項一一驗證即.【詳解】設(shè)等比數(shù)列對于A，

.nf()nf()aa

，故是保等比數(shù)列函數(shù)；

..對于B則

fa)2anf(a)n

a

常數(shù)，故B不“保等比數(shù)列函數(shù)”；對于C則

()na)n

nn

nn

，故是保等比數(shù)列數(shù)”；對于D，

f(a)lnlnalnlnlnnnnf(a)lnlnlnalnnnn

常數(shù)，故D不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.故選：【點睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ).9．義Hn

a12

n

na

n

為數(shù)列

n

的優(yōu)”已知某數(shù)列

n

的優(yōu)”

H

，前n項為

，則（）A．數(shù)列

列

B．列

列C．

S2023

．，S，成差數(shù)列46【答案】【分析】由題意可知Hn

a1

n

n

an

n

，即

aann

，則n

時，

，可求解出

an

，易知

是等差數(shù)列，則A正，然后利用等差數(shù)列的前n項公式求S，判斷，的誤【詳解】解：由H

a

n

，得

aa

an

，

①所以

n2

時，

a2

，②

2nS1111r22nS1111r2得即

時，時，

a，n

，當n

時，由

①知a，足a1

．所以數(shù)列

是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，故正確，，所以S

n2

，所以2020，C正．2，，272

，故D，故選：．【點睛】本題考查數(shù)列的新定義問題，考查數(shù)列通項公式的求解及前項和的求解，難度一般10設(shè)數(shù)列

n

數(shù)a對意正數(shù)r總在正整數(shù)N當n有

r

則列

n

為收斂數(shù)列

下列關(guān)于收斂數(shù)列正確的有（）A．等差數(shù)列不可能是收斂數(shù)列

B．等比數(shù)列

列則公比

qC．數(shù)列

n

x

nx是收斂數(shù)列．公差不為的差數(shù)列

項為n

，則數(shù)列是收斂數(shù)列【答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和式以及收斂數(shù)列的定義可判斷據(jù)等比數(shù)列的通項公式以及收斂的定義可判斷；根據(jù)收斂的定義可判斷C；據(jù)等差數(shù)列前n和公式以及收數(shù)列的定義可判斷D.【詳解】當

0時取n

2

ddddann222

，為使得

Sn

dd1，所以只需要nr22r

12radrNd

.2

xqxnn111rxqxnn111r對于A，

xn

，則存在，使

xr

，故錯對于Bx

，若，對任意正數(shù)

r

，當

log

q

時，rn

，所以不存在正整數(shù)

使得定義式成立，若q，然符合；若

q

為擺動數(shù)列x

，只有兩值，不會收斂于一個值，所以舍去；若1

q

，取a

r，N1當時

r1

，故B正；對于C

n

12

，符合；對于D，

xn1n

xn

，1當d時，單遞增并且可以取到比更的正數(shù)，當

n

d2

dxd

2dr

N

時，

11nn

，同理

，所以D正確故選：

BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是理解收斂數(shù)列的定義，借助等差數(shù)列前和公式以及等比數(shù)列的通項公式求解，屬于中檔題（3填題11．意大利數(shù)學家列昂納斐波那契以兔子繁殖為例，引兔數(shù)：1321，55，89，，233，，即

F(1)(2)

，F(xiàn)(nF(F(2)(*)

，此數(shù)列在現(xiàn)代物理體構(gòu)等域都有廣泛的應用數(shù)被除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列

b2020

【答案】【分析】由題設(shè)描述可得被3整后的余構(gòu)成一個新數(shù)列

，觀察可知是周期數(shù)列，結(jié)合目標項下標即可求.【詳解】由題意知：兔子數(shù)”：，，，，，，，，，，，144，233…，∴此數(shù)列被3整后的余數(shù)：，2，，，2，，，，，，，，，，，，觀察可知新數(shù)列是以1，，，，，2，1，為個周期的循環(huán)，而∴

的余數(shù)為，故答案為：【點睛】本題考查了數(shù)列新定義，應用觀察法找規(guī)律求項，屬于簡單12．樂與數(shù)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時期有個著名三損益法：“宮為本音宮經(jīng)一次“損頻變?yōu)樵瓉淼?/p>

3，得到徵；徵經(jīng)一“益，率變?yōu)樵瓉淼?，商……次損益交替4變化，獲得了宮徵、商、羽”五個音階，宮”的頻率為則角的率為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件經(jīng)過一損頻率變?yōu)樵瓉淼母怕始纯伞驹斀狻?/p>

3，經(jīng)過一次益，率變?yōu)樵瓉淼?，依次損益交替變化求4由“宮”的頻率為，宮”經(jīng)過一次“損”得到“徵”的頻率變?yōu)?/p>

，“徵”經(jīng)過一次“益”，得到商的頻率為

98

，27“商”經(jīng)過一次“損”，得到“羽”的頻率為，16“羽”經(jīng)過一次“益”，得到“角”的頻率為

364

，所以“角”的頻率為

，

2*nn2nnn1nnn3422*nn2nnn1nnn342故答案為：

【點睛】本題主要考查了數(shù)列與文化知識結(jié)合，關(guān)鍵是讀懂題意求出概率，屬于基礎(chǔ)13．知數(shù)列

n

1

1，a

，若上取整函數(shù)

表示不小于的小整數(shù)（例如：

11aa1

1a2020

______．【答案】【分析】已知等式變形為

1aann

此求得

1

112aa20202021

，再證明

{}n

是遞增數(shù)列，并通過前幾項，估計出

2021

，這樣再根據(jù)新定義可得．【詳解】由已知得

1，aannn

，a1

112a202012021

，因為

n

5(2)且2

，所以

n

，即數(shù)列

{}n

各項均大于2，又

n

n

aa

，故

n

，1

，可得

，，3.16

，故當

時，a，以n

，故

11

2020

，

1a1

1a2020

.故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列新定義，考查數(shù)列的單調(diào)性與裂項相消求和法．解題關(guān)鍵是求得和1aa12

a

12020

，通過已知式變形后可用裂項相消法求和，然后問題轉(zhuǎn)化為估計數(shù)列中各項的取值范

bb圍，結(jié)合新定義只要考察數(shù)列的前幾項即可得出結(jié)論．14．一個數(shù)中，如果每一項與它的后一項的和為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列稱為等和數(shù)列，這個常數(shù)稱為該數(shù)列的公和已數(shù)列

{}n

是等和數(shù)列且

a12020

則個數(shù)列的前

項的和_.【答案】6060【分析】設(shè)等和數(shù)列的公和為m．據(jù)【詳解】設(shè)等和數(shù)列的公和為m．

1

，利用等和數(shù)列的定義求得通項公式，然后利用并項求和法求.因為

1

，所以

aaa2,a23

，數(shù)所以a偶數(shù)

，又

a2020

，所以

，所以

2020

1452019

2020

，6060

，故答案為：6060【點睛】本題主要考查數(shù)列的新定義以及通項公式的求法和并項求和法的應用，還考查了運算求解的能，屬于中檔題.15．數(shù)列n

1an

（

*

，d

為常數(shù)稱列列”，已知正項數(shù)列n調(diào)和數(shù)列”，且【答案】【分析】

b20190，bb1220192018

的最大值是_______．本題首先可根據(jù)調(diào)和數(shù)列的性質(zhì)得出

nn

，從而判斷出數(shù)列

列然后根據(jù)

bbb1

22

得出

2022018

，最后根據(jù)基本不等式求最值，即可得出結(jié).【詳解】因為正項數(shù)列調(diào)數(shù)列”，所以

，數(shù)列nn則1

220182

，解得

2022018

，故

b2018

2018

20，即b22018

，當且僅當

b2

時等號成立，故

b2

的最大值是，故答案為：

.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查學生對新定義的理解與轉(zhuǎn)化，能否根據(jù)“調(diào)和數(shù)列”的定義和等差數(shù)列定義得出數(shù)列

n

列解決本題的關(guān)鍵若數(shù)列n

列且

d

，則

e

f

，考查計算能力，是中檔題.（4解題16．2020山東）已知公比大于的等比數(shù)列20，．（）式（）b為m

00項

．【答案

）

480100

．【思路導引利基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化1

的形式，求解出

1

，由此求得數(shù)列

通項公式）過分析數(shù)列

由此求得數(shù)列

項和．100【解析數(shù)

1的比數(shù)列首為a公比為q依題意有

aq1a2

20

，解得

q，以a

，所以數(shù)列

式

．

**（）于

21222322664,7

，所以b

對應的區(qū)間為：0,1，b1

；b,23

對應的區(qū)間分別為：

2

，即有個1b,b,46

對應的區(qū)間分別為：

45

，即有2

2

個；b,,8

,b15

對應的區(qū)間分別為：

8

，即有

3

個

；b,b16

,31

對應的區(qū)間分別為：

,16

431

，即有2

4

個；b,3233

,b63

對應的區(qū)間分別為：

,32

63

，即有2

個5；b,b,6465

,100

對應的區(qū)間分別為

,6465

100

有個．所以

．17{}na28blga][x]x[0.9][lgbb1011000S{}n28ab]n

lglg11]

lgbbbbb

b

21000990018（江）已知數(shù)列{}(nN)

的首項

a1

，前n項為S．n

與

是常數(shù)．若對一切正整數(shù)n，有

11kknnn

成立，則稱此數(shù)列為“

”數(shù)列．（）等差數(shù)是“”列，求的；（）數(shù)列

{}n

是“

”數(shù)列，且

a，數(shù)列{}n

的通項公式；（）于給定是存在三個不同的數(shù)列{a}“數(shù)列，且n范圍；若不存在，說明理由．【答案】見解析

an

？若存在，求出取

nnnnnnnnnnnnnnnnn32223nnn【解析

時，

annn

，∴

．（）

n

，a()，3因此

S

．S

n

44a，Sa(

．從而

nn

．又

a，411

n

，

n

n

n

，

．綜上，3n

．（）存在三不同的數(shù)列

{a}為“數(shù)列，則n

13n

13n

13n

，則

n

2Snn

13nn

n

n

S

n

n

，由

a，a則令1nn

SnSn

13

，

)p

3n

p

2pn

)

，，pn

2n

，由

p可，n

n

，即ann

，此時

{a}n

唯一，不存在三個不同的數(shù)列

{}n

；

時，令

t

，則

，(pnnn

)n

，①

t

時

2)n

，則

pn

同理不存在三個不同的數(shù)列

{}n

；②

時)

2

0

p)n

無解

pn

理存在三個不同的數(shù)列{a}n

；③

t

時，

(p，nn

，同理不存在三個不同的數(shù)列

{a}n

；④

t即0

時，

)

，

)n

有兩解，，，2

，

，

，則對任意nN

*

，

SSn或n或nSSnnn

，此時

n1,2，S，S均合條件，,n

nnnnnnnnnnn1111，得，nnnnnnnnnnnnnnn1111，得，nnnn對應

n，，a0,0,

1,n0,3n0,4

，則存在三個不同的數(shù)列

{a}n

為“

”數(shù)列，且

an

，綜上，

．19．2019江蘇）定義首項為且比為正數(shù)的等比數(shù)列為M－數(shù)列”．（）知等比{a}

(n

*

)

滿足：

aaa,aaa2453

，求證：數(shù){}為M－數(shù)列”；（）知數(shù)列b}

(n*)

滿足：

1

22Sbbnn

，其中為數(shù)列的n項．①求數(shù)列b}的項公式；②設(shè)為整數(shù)若存“－列c}

(n

*

)

對任意正整數(shù)k當≤時有

ck

bk

ck

成立，求的大值．【解析】（）等比數(shù){a}的公比為，所以，≠0．由

aa24aa31

qq，得aaa11

，解得．q因此數(shù)列

{}n

為“M—數(shù)列”．（）因為

2Snn

，所以

n

．由

bS111

，得

221b2

，則

2

．由

2bnnS2(bnnn