山西省朔州市中牌中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省朔州市中牌中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)集合，則A.

B.

C.

D.參考答案：C2.△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則△ABC面積的最大值為（）A. B.2 C. D.參考答案：A【分析】通過正弦定理化簡表達(dá)式，利用余弦定理求出的大小，再利用余弦定理及均值不等式求出的最大值，從而求得三角形面積的最大值．【詳解】∵，由正弦定理得，即；由余弦定理得，結(jié)合，得；又，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，∴，即面積的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，屬于中檔題.在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.又二元等式條件下的二元函數(shù)的最值問題可考慮用基本不等式來求.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略4.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則的解集是（

）．A．

B．

C．

D．參考答案：C由函數(shù)為偶函數(shù)可得，∵時，設(shè)，則，，，當(dāng)時，有，故選．點(diǎn)睛：本題主要考查了偶函數(shù)的定義及利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，不等式的解法，屬于知識的綜合應(yīng)用；根據(jù)函數(shù)的奇偶性可求出函數(shù)在整個定義域上的解析式，解分段函數(shù)的不等式可得最后結(jié)果．

5.若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值（

）A. B.－1 C.0 D.2參考答案：A【分析】線性規(guī)劃問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。【詳解】可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到A點(diǎn)時z取最小值，故選A【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃中線性的目標(biāo)函數(shù)問題，首先畫出可行域，再令z=0，畫出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。6.已知A(2,－3)，B(－3,－2)，直線l過定點(diǎn)P(1,1)，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是().

A.

B.

C.或

D.或參考答案：D7.已知數(shù)列滿足，則=（

）

A、

B、0

C、

D、參考答案：A略8.若函數(shù)，的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，那么這個封閉圖形的面積是（

）

A．4

B．8

C．

D．

參考答案：D略9.棱長為3的正四面體的外接球的半徑為（）

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A10.（5分）正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為（） A． 75° B． 60° C． 45° D． 30°參考答案：C考點(diǎn)： 棱錐的結(jié)構(gòu)特征；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．專題： 數(shù)形結(jié)合．分析： 先做出要求的線面角，把它放到一個直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求出此角．解答： 解析：如圖，四棱錐P﹣ABCD中，過P作PO⊥平面ABCD于O，連接AO則AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即為所求線面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求線面角為45°．故選C．點(diǎn)評： 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及求直線和平面成的角的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.求“方程的解”有如下解題思路：設(shè)，則在上單調(diào)遞減，且，所以原方程有唯一解．類比上述解題思路，方程的解集為

．參考答案：（*）構(gòu)造函數(shù)，易得函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，則（*）式方程可寫為12.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，則=

▲

．參考答案：13.若關(guān)于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：{a|a≤﹣6，或a≥2}【考點(diǎn)】3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，從而求出a的取值范圍．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此時原不等式的解集不是空集，∴a的取值范圍是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案為：{a|a≤﹣6，或a≥2}．14.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：15.已知過點(diǎn)（2，1）直線與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABC的最小面積為_________．參考答案：416.已知偶函數(shù)f(x)在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是

．參考答案：（﹣1，3）17.在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，使鄰邊長分別等于線段AC、CB的長，則該矩形面積大于20cm2的概率為_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(I)閱讀理解：①

對于任意正實(shí)數(shù)，只有當(dāng)時，等號成立．②

結(jié)論：在（均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值，則，只有當(dāng)時，有最小值．(II)結(jié)論運(yùn)用：根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：（提示：在答題卡上作答）①

若，只有當(dāng)__________時，有最小值__________．②

若，只有當(dāng)__________時，有最小值__________．(III)探索應(yīng)用：學(xué)校要建一個面積為392m2的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路（如圖所示）。問游泳池的長和寬分別為多少米時，共占地面積最小？并求出占地面積的最小值。參考答案：解(II)（1）

1

，2

（2）3，10 (III)設(shè)游泳池的長為xm，則游泳池的寬為m,又設(shè)占地面積為ym2，依題意，得

整理y=424＋4(x＋)≥424＋224=648

當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=28時取“=”.此時=14所以游泳池的長為28m，寬14m時，占地面積最小，占地面積的最小值是648m2。略19.（12分）已知點(diǎn)P（2，0）及圓C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）若直線l過點(diǎn)P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線ll與圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；（3）設(shè)直線ax﹣y+1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系．專題： 計(jì)算題；直線與圓．分析： （1）分兩種情況：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的斜率為k，由P的坐標(biāo)和設(shè)出的k寫出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出P到直線l的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P寫出直線l的方程即可；當(dāng)直線l的斜率不存在時，得到在線l的方程，經(jīng)過驗(yàn)證符合題意；（2）由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本€與圓有兩個交點(diǎn)，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明：假設(shè)符合條件的a存在，由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上，根據(jù)P與C的坐標(biāo)即可求出l2的斜率，然后根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率，進(jìn)而求出a的值，經(jīng)過判斷求出a的值不在求出的范圍中，所以假設(shè)錯誤，故這樣的a不存在．解答： （1）設(shè)直線l的斜率為k（k存在）則方程為y﹣0=k（x﹣2）．又圓C的圓心為（3，﹣2），半徑r=3，由=1，解得k=﹣．所以直線方程為y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0；當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=2，經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿足條件；（2）由于|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P為MN的中點(diǎn)，所以所求圓的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為|MN|=2，故以MN為直徑的圓Q的方程為（x﹣2）2+y2=4；（3）把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圓C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直線ax﹣y+1=0交圓C于A，B兩點(diǎn)，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0）．設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圓心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率kPC=﹣2，而，所以a=．由于?（﹣∞，0），故不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（2，0）的直線l2垂直平分弦AB．點(diǎn)評： 此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式化簡求值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，以及會利用反證法進(jìn)行證明，是一道綜合題．20.已知函數(shù)(1)當(dāng)m=0時，求在區(qū)間上的取值范圍；(2)當(dāng)時，，求的值。參考答案：（1）當(dāng)m=0時，

，由已知，得從而得：的值域?yàn)椋?）化簡得：當(dāng)，得：，，代入上式，m=-2.略21.(本小題滿分10分)已知直線l的傾斜角為135?，且經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)．（Ⅰ）求直線l的方程；（Ⅱ）求點(diǎn)A(3,4)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A?的坐標(biāo)．參考答案：（Ⅰ）∵k＝tan135?＝－1，……………2分∴l(xiāng)：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0；………