山西省忻州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

山西省忻州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.空氣質(zhì)量指數(shù)AOI是檢測空氣質(zhì)量的重要參數(shù)，其數(shù)值越大說明空氣污染狀況越嚴(yán)重，空氣質(zhì)量越差.某地環(huán)保部門統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)某月1日至24日連續(xù)24天的空氣質(zhì)量指數(shù)AOI，根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制出如圖所示的折線圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A.該地區(qū)在該月2日空氣質(zhì)量最好B.該地區(qū)在該月24日空氣質(zhì)量最差C.該地區(qū)從該月7日到12日AOI持續(xù)增大D.該地區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)AOI與這段日期成負(fù)相關(guān)參考答案：D【分析】利用折線圖對每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷得解.【詳解】對于選項(xiàng)A,由于2日的空氣質(zhì)量指數(shù)AOI最低，所以該地區(qū)在該月2日空氣質(zhì)量最好，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B,由于24日的空氣質(zhì)量指數(shù)AOI最高，所以該地區(qū)在該月24日空氣質(zhì)量最差，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C,從折線圖上看，該地區(qū)從該月7日到12日AOI持續(xù)增大，所以該選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D,從折線圖上看，該地區(qū)的空氣質(zhì)量指數(shù)AOI與這段日期成正相關(guān)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查折線圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

3.若變量x，y滿足約束條件，則x+2y的最大值是（

）A.

B.0

C.

D.參考答案：C4.已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a＝(

)參考答案：A略5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C．3 D．參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由幾何體的三視圖得該幾何體是三棱錐S﹣ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中點(diǎn)，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，由此能求出該幾何體的體積．【解答】解：由幾何體的三視圖得該幾何體是三棱錐S﹣ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中點(diǎn)，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，∴該幾何體的體積為：VS﹣ABC===．故選：A．6.若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（） A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1]參考答案：D【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可． 【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分條件， ∴（﹣1，4）?（2m2﹣3，+∞）， ∴2m2﹣3≤﹣1， 解得﹣1≤m≤1， 故選：D． 【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，根據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 7.某單位有840名職工,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法,抽取42人做問卷調(diào)查,將840人按1,2,…,840隨機(jī)編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為 (A)11 (B)12 (C)13 (D)14參考答案：B略8.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)為平面區(qū)域上的一個(gè)動點(diǎn)，則|AM|的最小值是A．

B． C． D．參考答案：B9.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式f(x)＞f(x+m)的解集為M，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．[-1,0]

B．

C．

D．參考答案：C10.設(shè)某氣象站天氣預(yù)報(bào)準(zhǔn)確率為

，則在3次預(yù)報(bào)中恰有2次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是(A)0.001

(B)0.729

(C)0.027

(D)0.243參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)A（﹣3，﹣2）和圓C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光線從點(diǎn)A發(fā)出，射到直線l：y=x﹣1后反射（入射點(diǎn)為B），反射光線經(jīng)過圓周C上一點(diǎn)P，則折線ABP的最短長度是

．參考答案：10考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：直線與圓．分析：求出A點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x﹣1的對稱點(diǎn)D，連接D與圓C的圓心，交圓C于P，則折線ABP的最短長度等于|DC|﹣3．解答： 解：如圖：設(shè)A（﹣3，﹣2）關(guān)于直線l：y=x﹣1的對稱點(diǎn)為D（x0，y0），由，解得D（﹣1，﹣4），由圓的方程可知圓心為C（4，8），半徑為3．連接DC交圓C于P，則|DC|=．∴折線ABP的最短長度是13﹣3=10．故答案為：10．點(diǎn)評：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．12.直線l：x+y=0經(jīng)過圓C：x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0的圓心，則a=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，將圓C的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得其圓心的坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可得a+1=0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓C的一般方程為x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0，則其標(biāo)準(zhǔn)方程（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，其圓心坐標(biāo)為（a，1），又由直線l：x+y=0經(jīng)過圓C的圓心，則有a+1=0，解可得a=﹣1；故答案為：﹣113.已知等比數(shù)列{an}中，a2＞a3＝1，則使不等式成立的最大自然數(shù)n是__________．參考答案：5略14.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，且，則_______________．參考答案：–2略15.某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示.從抽樣的100根棉花纖維中任意抽取一根，則其棉花纖維的長度小于20mm的概率為

.參考答案：16.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于_______.

參考答案：由題意可得，所以.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn),之間的“折線距離”.則坐標(biāo)原點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是__▲__；圓上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“折線距離”的最小值是__▲

_.

參考答案：，（1），畫圖可知時(shí)，取最小值.（2）設(shè)圓上點(diǎn)，直線上點(diǎn)，則，畫出此折線，可知在時(shí)，取最小值，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，滿足數(shù)列的前n項(xiàng)和是Tn，且（1）求數(shù)列及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若，試比較與的大小.參考答案：

略19.已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】（Ⅰ）通過對自變量x的范圍的討論，去掉絕對值符號，從而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立?+2＜f（x）min恒成立，利用絕對值不等式的性質(zhì)易求f（x）min=4，從而解不等式＜2即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等價(jià)于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集為{x|﹣1≤x≤2}．

（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立?+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立?+2＜f（x）min恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值為4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣1，0）∪（3，4）．20.（本小題滿分12分）某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個(gè)班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85．

（I）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績的方差；

（II）從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率．

參考公式：方差，其中．參考答案：

．

………………9分

其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況：．

……………10分記“甲班至少有一名學(xué)生”為事件，則，即從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為．…12分考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)與概率.21.（本小題滿分14分）

已知兩點(diǎn)F1（-1，0）及F2（1，0），點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖7，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l．求四邊形F1MNF2面積S的最大值．參考答案：解：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為．構(gòu)成等差數(shù)列，，．又，．橢圓的方程為．……………………4分

(2)將直線的方程代入橢圓的方程中，得．

…………5分由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，，化簡得：．

…………7分

設(shè)，，

…………9分（法一）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則，，

，………11分，當(dāng)時(shí)，，，．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，．

……………13分所以四邊形面積的最大值為．

………………14分略22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（a＞b＞0，φ為參數(shù)），且曲線C1上的點(diǎn)M（2，）對應(yīng)的參數(shù)φ=．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．射線與曲線C2交于點(diǎn)D（，）．（1）求曲線C1的普通方程，曲線C2的極坐標(biāo)方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲線C1上的兩點(diǎn)，求+的值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）點(diǎn)M（2，）對應(yīng)的參數(shù)φ=代入（a＞b＞0，φ為參數(shù)），可得，解得a，b．可得曲線C1的普通方程．設(shè)圓C2的半徑為R，則曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2Rcosθ