山西省忻州市交口中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

山西省忻州市交口中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.△ABC中，A=，BC=3，則△ABC的周長為（）A．4sin（B+）+3 B．4sin（B+）+3 C．6sin（B+）+3 D．6sin（B+）+3參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】根據(jù)正弦定理分別求得AC和AB，最后三邊相加整理即可得到答案．【解答】解：根據(jù)正弦定理，∴AC==2sinB，AB==3cosB+sinB∴△ABC的周長為2sinB+3cosB+sinB+3=6sin（B+）+3故選D．2.某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點。公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為A；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為B．則完成A、B這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（

）

（A）分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法（B）分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

（C）系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

（D）簡單隨機抽樣法，分層抽樣法參考答案：B3.若集合A={﹣1，0，1，2，3}，集合B={x|x∈A，1﹣x?A}，則集合B的元素的個數(shù)為（） A．0 B． 1 C． 2 D． 3參考答案：B略4.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|－<x<}，則a+b的值（

）

(A)A．－10

（B）－14

(C)10

（D）14參考答案：B5.函數(shù)f（x）=ln|1﹣x|的圖象大致形狀是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】函數(shù)的圖象．【分析】化簡函數(shù)的解析式，然后判斷函數(shù)的圖象即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=ln|1﹣x|=，排除選項A，D，當(dāng)x＞1時，函數(shù)是增函數(shù)，排除C．故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5.某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行45km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是()A．15km

B．30km

C．km

D．km參考答案：C7.已知正數(shù)a，b，c滿足2a﹣b+c=0，則的最大值為（）A．8 B．2 C． D．參考答案：C【考點】基本不等式．【分析】正數(shù)a，b，c滿足2a﹣b+c=0，可得b=2a+c，于是===，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵正數(shù)a，b，c滿足2a﹣b+c=0，∴b=2a+c，則===≤=，當(dāng)且僅當(dāng)c=2a＞0時取等號．故選：C．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8.函數(shù)y=3sin的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）。A、

B、

C、

D、參考答案：C9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問數(shù)學(xué)考試的成績老師說：你們四人中有兩位優(yōu)秀、兩位良好，我現(xiàn)在給乙看甲、丙的成績，給甲看丙的成績，給丁看乙的成績，看后乙對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（

）A.甲可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.甲、丁可以知道對方的成績 D.甲、丁可以知道自己的成績參考答案：D【分析】先由乙不知道自己成績出發(fā)得知甲、丙和乙、丁都是一優(yōu)秀、一良好，那么甲、丁也就結(jié)合自己看的結(jié)果知道自己成績了.【詳解】解：乙看后不知道自己成績，說明甲、丙必然是一優(yōu)秀、一良好，則乙、丁也必然是一優(yōu)秀、一良好；甲看了丙的成績，則甲可以知道自己和丙的成績；丁看了乙的成績，所以丁可以知道自己和乙的成績，故選：D.【點睛】本題考查了推理與證明，關(guān)鍵是找到推理的切入點.10.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)命題，命題，若是的必要而不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：略12.已知平行四邊形ABCD的四個頂點均在雙曲線上，O為坐標(biāo)原點，E，F(xiàn)為線段AB，AD的中點且OE，OF的斜率之積為3，則雙曲線C的離心率為

.參考答案：2由雙曲線的對稱性知O是平行四邊形ABCD對角線的交點，∴OE//AD，OF//AB，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∴，，故答案為2．

13.若命題p：x∈（A∪B），則￢p是．參考答案：x?A且x?B考點：命題的否定．專題：簡易邏輯．分析：根據(jù)命題的否定的定義寫出即可．解答：解：若命題p：x∈（A∪B），則￢p是：x?A且x?B，故答案為：x?A且x?B．點評：本題考查了命題的否定，是一道基礎(chǔ)題．14.雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，左、右頂點為A1、A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B、C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線斜率為．參考答案：±1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得=﹣1，求出a=b，即可得出雙曲線的漸近線的斜率．【解答】解：由題意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴=﹣1，∴a=b，∴雙曲線的漸近線的斜率為±1．故答案為：±1．15.一盒子裝有4只產(chǎn)品,其中有3只一等品,1只二等品.從中取產(chǎn)品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設(shè)事件A為“第一次取到的是一等品”,事件B為“第二次取到的是一等品”,試求條件概率P(B|A)＝

參考答案：16.設(shè)的傾斜角為繞上一點p沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，的縱截距為－2，繞p沿逆時針旋轉(zhuǎn)角得直線:則的方程為

。參考答案：17.“”，是“方程表示焦點在Y軸上的雙曲線”的____________條件。(用充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也非必要填空)參考答案：必要不充分

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，把函數(shù)f（x）求導(dǎo)得到g（x）再對g（x）求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號得到函數(shù)g（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）由f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0把a用含有x的代數(shù)式表示，然后構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x2，由函數(shù)零點存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)求得a0∈（0，1），然后進一步利用導(dǎo)數(shù)說明當(dāng)a=a0時，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），g（x）=，∴．當(dāng)0＜a＜時，g（x）在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)a時，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函數(shù)u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴．即a0∈（0，1），當(dāng)a=a0時，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（1，x0）時，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）=0．∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）≥0．綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)零點等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新知識，考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．19.（本小題滿分12分）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，于，延長AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.（Ⅰ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅱ）在線段上是否存在點使得平面？若存在,請指明點的位置；若不存在，請說明理由．

參考答案：（Ⅰ）因為平面平面，交線為，又在中，于，平面

所以平面

.…………………2分

由題意可知，又.如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系

不妨設(shè)，則.

由圖1條件計算得，，，

則

.由平面可知平面DCB的法向量為.設(shè)平面的法向量為，則

即

……………4分

令，則，所以.

平面DCB的法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為

…………………6分（Ⅱ）設(shè)，其中.由于，所以，其中

所以

……………10分由，即

解得.所以在線段上存在點使，且.………12分方法二：（Ⅰ）由題意為正三角形，且為的中點，不妨設(shè),則，由，過作的延長線的垂線于，連，可知，為二面角的平面角，……3分,故二面角的余弦值為.………………6分（Ⅱ）取中點為，中點為，連接，交于，不難得：，則，為所求，

…………8分設(shè),，為上靠近點的一個三等分點，，所以在線段上存在點使，且.

………12分20.如圖，在矩形中，，點在邊上，點在邊上，且，垂足為，若將沿折起，使點位于位置，連接，得四棱錐．

(1)求證：平面平面；

(2)若，直線與平面所成角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案：（1）見解析；（2）(1)(2)過作于平面平面平面直線與平面ABCM所成角的大小為

是正三角形直線AD'與平面ABCM所成角為，設(shè)，則,,=21.數(shù)列中，已知a與a滿足關(guān)系式（其中t為大于零的常數(shù)）求（1）數(shù)列的通項公式（2）數(shù)列的前n項和

參考答案：解析：（1