山西省太原市第二十七中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省太原市第二十七中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等比數(shù)列中，，則等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如右圖所示，那么函數(shù)的圖像最有可能的是(

)參考答案：A略3.設(shè)，則的值為（）．A．15 B．16 C．1 D．－15參考答案：A在中，令，可得，再令可得，所以．故選．4.如圖正方體ABCD－A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為1，P為BC中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是(

)①當(dāng)0<CQ<時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)CQ＝時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)CQ＝時(shí)，S與C1D1交點(diǎn)R滿足C1R1＝；④當(dāng)<CQ<1時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)CQ＝1時(shí)，S的面積為.A．①③④

B．②④⑤

C．①②④

D．①②③⑤參考答案：D5.設(shè)復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）

A．

B.

C．

D．參考答案：D6.設(shè)m，n是不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；

②若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n則α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ④若γ⊥α，γ⊥β，則α∥β．其中正確命題的序號(hào)是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④參考答案：A【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的性質(zhì)和判定定理判斷或舉出反例說(shuō)明．【解答】解：①由于垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故①正確．②設(shè)三棱柱的三個(gè)側(cè)面分別為α，β，γ，其中兩條側(cè)棱為m，n，顯然m∥n，但α與β不平行，故②錯(cuò)誤．③∵α∥β∥γ，∴當(dāng)m⊥α?xí)r，m⊥γ，故③正確．④當(dāng)三個(gè)平面α，β，γ兩兩垂直時(shí)，顯然結(jié)論不成立，故④錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．7.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則b＝

(

)A．3

B．2

C． D．參考答案：A8.設(shè)橢圓(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1和F2，長(zhǎng)軸是A1A2，P是橢圓上異于A1、A2的點(diǎn)，考慮如下四個(gè)命題：①|(zhì)PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；

②a-c<|PF1|<a+c；③若b越接近于a，則離心率越接近于1；④直線PA1與PA2的斜率之積等于-．其中正確的命題是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①④參考答案：A9.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)，老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)，根據(jù)以上信息，則(

)A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī)C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)參考答案：D【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，繼而可以推出正確答案【詳解】解：四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，甲不知自己的成績(jī)→乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己的成績(jī)；若是兩良，甲也會(huì)知道自己的成績(jī)）→乙看到了丙的成績(jī)，知自己的成績(jī)→丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績(jī)，給甲看乙丙成績(jī)，甲不知道自已的成績(jī)，說(shuō)明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績(jī)了．給乙看丙成績(jī)，乙沒(méi)有說(shuō)不知道自已的成績(jī)，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道自己成績(jī)．給丁看甲成績(jī)，因?yàn)榧撞恢雷约撼煽?jī)，乙丙是一優(yōu)一良，則甲丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績(jī)，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自已的成績(jī)了故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了合情推理的問(wèn)題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，屬于中檔題．10.已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．4 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F1F2|，從而可求得雙曲線的離心率．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由雙曲線的定義得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴雙曲線的離心率e==．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某城市缺水問(wèn)題比較突出，為了制定節(jié)水管理辦法，對(duì)全市居民某年的月均用水量進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中4位居民的月均用水量分別為x1，x2，x3，x4(單位：噸)．根據(jù)圖中所示的流程圖，若x1，x2，x3，x4分別為1,1.5,1.5,2，則輸出的結(jié)果為_(kāi)_______．參考答案：1.512.凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E之間的關(guān)系如下表.凸多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569長(zhǎng)方體6812五棱柱71015三棱錐446四棱錐558

猜想一般結(jié)論:F＋V－E＝____.參考答案：2【分析】根據(jù)前面幾個(gè)多面體所滿足的結(jié)論，即可猜想出【詳解】由題知：三棱柱：，則，長(zhǎng)方體：，則，五棱柱：，則，三棱錐：，則四棱錐：，則，通過(guò)觀察可得面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)的關(guān)系為。【點(diǎn)睛】本題由幾個(gè)特殊多面體，觀察它們的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)，歸納出一般結(jié)論，著重考查歸納推理和凸多面體的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。13.過(guò)點(diǎn)A(1，-l)，B(-1，1)，且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為

參考答案：814.在等比數(shù)列中,若是方程的兩根，則=______參考答案：10

略15.若關(guān)于x的不等式|a﹣1|≥（|2x+1|+|2x﹣3|）的解集非空，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式．【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為最值，求出a的范圍即可．【解答】解：關(guān)于x的不等式|a﹣1|≥|2x+1|+|2x﹣3|的解集非空等價(jià)于|a﹣1|≥（|2x+1|+|2x﹣3|）min=4，所以a﹣1≥4或a﹣1≤﹣4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）．16.若非零向量，滿足，則與的夾角為

．參考答案：17.函數(shù)([2，6])的值域?yàn)?/p>

▲

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圓C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（4，0），且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；直線的一般式方程．【專題】綜合題．【分析】（1）因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)A（4，0），故可以設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，又由直線被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．（2）與（1）相同，我們可以設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線l1與l2的點(diǎn)斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l1與l2的方程．【解答】解：（1）由于直線x=4與圓C1不相交；∴直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=k（x﹣4）圓C1的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C1截得的弦長(zhǎng)為2∴d==1d=從而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直線l的方程為：y=0或7x+24y﹣28=0（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0，不妨設(shè)直線l1的方程為y﹣b=k（x﹣a），k≠0則直線l2方程為：y﹣b=﹣（x﹣a）∵⊙C1和⊙C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等，∴⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等即=整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有無(wú)窮多個(gè)，所以或解得或這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P1（，﹣）或點(diǎn)P2（﹣，）【點(diǎn)評(píng)】在解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，我們有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解，三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來(lái)求．對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷．本題所用方法就是第三種方法．19.某學(xué)校為了教職工的住房問(wèn)題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍，土地的征用費(fèi)為2388元/m2．經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費(fèi)用相同都為445元/m2，每增高一層，其建筑費(fèi)用就增加30元/m2．試設(shè)計(jì)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費(fèi)用最少，并求出其最少費(fèi)用．（總費(fèi)用為征地費(fèi)用和建筑費(fèi)用之和）．參考答案：（本小題滿分12分）解:設(shè)樓高為層，總費(fèi)用為元，每層的建筑面積為

則土地的征用面積為，征地費(fèi)用為（元），樓層建筑費(fèi)用為[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]·

（元），從而

（元）

當(dāng)且僅當(dāng)

,=20（層）時(shí)，總費(fèi)用最少．答：當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20時(shí),最少總費(fèi)用為1000A元．略20.(本小題滿分12分)已知可行域的外接圓與軸交于點(diǎn)、，橢圓以線段為長(zhǎng)軸，離心率e=.(1)求圓及橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線交直線x=2于點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系，并給出證明．參考答案：（1）由題意可知，可行域是以為頂點(diǎn)的三角形因?yàn)椤酁橹苯侨切巍嗤饨訄A是以原點(diǎn)O為圓心，線段＝為直徑的圓故其方程為設(shè)橢圓的方程為

∵

∴又

∴，可得故橢圓的方程為（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，ks5u若

∴若

∴

即當(dāng)時(shí)，，直線與圓相切當(dāng)

∴……9分所以直線的方程為，因此點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,…10分∵……11分證法一：∴當(dāng)，……12分∴當(dāng)，∴

……13分證法二：直線的方程為：，即…………………12分圓心到直線的距離……13分綜上，當(dāng)時(shí)，，故直線始終與圓相切。21.如圖ABCD是正方形，PD⊥面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)求證：DE⊥面PBC．參考答案：【考點(diǎn)】LW：直線與平面垂直的判定．【分析】推導(dǎo)出PD⊥BC，BC⊥DC，從而B(niǎo)C⊥面PDC，進(jìn)而B(niǎo)C⊥DE，再推導(dǎo)出DE⊥PC，由此能證明DE⊥面PBC．【解答】證明：因?yàn)镻D⊥面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC，又BC⊥DC，所以BC⊥面PDC，所以BC⊥DE，又PD⊥BC，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC，因?yàn)镻C∩BC=C，所以DE⊥面PBC．22.已知拋物線C1：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2：(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為．（1）求橢圓C2的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）作斜率為k的直線l與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】圓錐曲線的綜合．【分析】（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），求得a和b的關(guān)系，由C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（±，），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得，可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)，故不存在實(shí)數(shù)k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，1）