高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程單元測試 綜合素質(zhì)檢測

第二章綜合素質(zhì)檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)1．(2023·廣東文，8)已知橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780631)()A．2 B．3C．4 D．9[答案]B[解析]由題意得：m2＝25－42＝9，因為m＞0，所以m＝3，故選B.2．拋物線y2＝8x的焦點到直線x－eq\r(3)y＝0的距離是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780632)()A．2eq\r(3) B．2\r(3) D．1[答案]D[解析]由y2＝8x可得其焦點坐標(2,0)，根據(jù)點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|2－\r(3)×0|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,25)＝1(a>5)的兩個焦點為F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB經(jīng)過焦點F1，則△ABF2的周長為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780633)()A．10 B．20C．2eq\r(41) D．4eq\r(41)[答案]D[解析]由橢圓定義可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2∴△ABF2的周長L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝由題意可知b2＝25,2c＝8，∴c2a2＝25＋16＝41，∴a＝eq\r(41)，∴L＝4eq\r(41)，故選D.4．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780634)()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(1,2)x[答案]C[解析]∵2b＝2,2c＝2eq\r(3)，∴b＝1，c＝eq\r(3)，∴a2＝c2－b2＝3－1＝2，∴a＝eq\r(2)，故漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x.5．(2023·衡陽高二檢測)“1<m<3”是“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示橢圓”的eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780635)()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]B[解析]若方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m)＝1表示橢圓，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1>0,3－m>0,m－1≠3－m))?1<m<3且m≠2，∴選B.6．等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準線交于A，B兩點，|AB|＝4eq\r(3)，則C的實軸長為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780636)()\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8[答案]C[解析]|AB|＝4eq\r(3)，∴準線方程為x＝－4，∴A(－4，2eq\r(3))在雙曲線上設(shè)方程eq\f(x2,a)－eq\f(y2,a2)＝1(a≠0)，即eq\f(16,a2)－eq\f(12,a2)＝1，∴a＝2，∴實軸長2a＝4.7．(2023·潮州高二檢測)方程mx＋ny2＝0與mx2＋ny2＝1(mn≠0)在同一坐標系中的大致圖象可能是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780637)()[答案]A[解析]方程y2＝－eq\f(m,n)x表示焦點在x軸的拋物線，當開口向右時，－eq\f(m,n)>0，∴mn<0，∴mx2＋ny2＝1表示雙曲線，選A.8．(2023·福建八縣一中高二期末測試)經(jīng)過點P(2，－2)且與雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1有相同漸近線的雙曲線方程是eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780638)()\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,2)＝1[答案]B[解析]設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ≠0)，又∵點P(2，－2)在雙曲線上，∴eq\f(4,2)－4＝λ，∴λ＝－2.所求雙曲線的方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.9．經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780639)()A．2 B．eq\r(3)\r(2) D．eq\r(5)[答案]A[解析]由條件知，雙曲線的漸近線與此直線平行，∴eq\f(b,a)＝tan60°＝eq\r(3)，∴b＝eq\r(3)a，代入a2＋b2＝c2中得4a2＝c2，∴e2＝4，∵e>1，∴e＝2，故選A.10．(2023·天津理，6)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(2，eq\r(3))，且雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4eq\r(7)x的準線上，則雙曲線的方程為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780640)()\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B．eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1[答案]D[解析]雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由點(2，eq\r(3))在漸近線上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),2)，雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4eq\r(7)x準線方程x＝－eq\r(7)上，所以c＝eq\r(7)，由此可解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1，故選D.11．(2023·黑龍江哈師大附中高二期中測試)設(shè)P為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上的一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780641)()\f(8,3) B．eq\f(16,3)\f(4\r(3),3) \f(8\r(3),3)[答案]B[解析]∵a2＝9，b2＝4，∴c2＝5.由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PF1|2＋|FP2|2＋2|PF1|·|PF2|＝36.在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|F1F2|2∴|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|·|PF2|＋20，∴3|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(16,3).12．(2023·重慶文，9)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1、A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B、C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780642)()A．±eq\f(1,2) B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)[答案]C[解析]由已知得右焦點F(c,0)(其中c2＝a2＋b2，c>0)，A1(－a,0)、A2(a,0)；B(c，－eq\f(b2,a))、C(c，eq\f(b2,a))；從而A1B→＝(c＋a，－eq\f(b2,a))，eq\o(A2C,\s\up6(→))＝(c－a，eq\f(b2,a))，又因為A1B⊥A2C，所以A1B→·A2C→＝0，即(c－a)·(c＋a)＋(－eq\f(b2,a))·(eq\f(b2,a))＝0；化簡得到eq\f(b2,a2)＝1，即雙曲線的漸進線的斜率為±1；故選C.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)13．(2023·陜西理，14)若拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780643)[答案]2eq\r(2)[解析]由題意可知，拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，因為p＞0，所以該準線過雙曲線的左焦點，由雙曲線的方程可知，左焦點坐標為(－eq\r(2)，0)；故由－eq\r(2)＝－eq\f(p,2)可解得p＝2eq\r(2).14．(2023·山東理，13)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是\x(導(dǎo)學(xué)號33780644)[答案]2[解析]如圖，由題意不妨設(shè)|AB|＝3，則|BC|＝2.設(shè)AB，CD的中點分別為M，N，則在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝eq\r(|BM|2＋|MN|2)＝eq\r(\f(3,2)2＋22)＝eq\f(5,2).由雙曲線的定義可得2a＝|BN|－|BM|＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)＝1，而2c＝|MN|＝2，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(2c,2a)＝2.15．(2023·南通高二檢測)在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A(－3,0)和C(3,0)，頂點B在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780645)[答案]eq\f(5,3)[解析]在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中a＝5，b＝4，c＝3，∵三角形ABC頂點A(－3,0)和C(3,0)，頂點B在eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，∴BC＋AB＝2a＝10，由正弦定理eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋AB,AC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(5,3).16．方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1表示曲線C，給出以下命題：eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780646)①曲線C不可能為圓；②若1<t<4，則曲線C為橢圓；③若曲線C為雙曲線，則t<1或t>4；④若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則1<t<eq\f(5,2).其中真命題的序號是________(寫出所有正確命題的序號)．[答案]③④[解析]顯然當t＝eq\f(5,2)時，曲線為x2＋y2＝eq\f(3,2)，方程表示一個圓；而當1<t<4，且t≠eq\f(5,2)時，方程表示橢圓；當t<1或t>4時，方程表示雙曲線；而當1<t<eq\f(5,2)時，4－t>t－1>0，方程表示焦點在x軸上的橢圓，故③④為真命題．三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)(2023·遼寧沈陽二中高二期中測試)已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運動，求線段AB的中點M的軌跡.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780647)[解析]設(shè)點M的坐標為(x，y)、點A的坐標為(x0，y0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x0,2),y＝\f(3＋y0,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4,y0＝2y－3))，又∵點A(x0，y0)在圓(x＋1)2＋y2＝4上，∴(2x－3)2＋(2y－3)2＝4，即(x－eq\f(3,2))2＋(y－eq\f(3,2))2＝1.故線段AB的中點M的軌跡是以點(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))為圓心，以1為半徑的圓．18．(本小題滿分12分)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A、B兩點，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780648)(1)求|AB|；(2)若直線l的斜率為1，求b的值．[解析](1)求橢圓定義知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝eq\f(4,3).(2)l的方程式為y＝x＋c，其中c＝eq\r(1－b2)，設(shè)A(x1，y1)、B(x1，y1)，則A、B兩點坐標滿足方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,x2＋\f(y2,b2)＝1))，消去y化簡得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.則x1＋x2＝eq\f(－2c,1＋b2)，x1x2＝eq\f(1－2b2,1＋b2).因為直線AB的斜率為1，所以|AB|＝eq\r(2)|x2－x1|，即eq\f(4,3)＝eq\r(2)|x2－x1|.則eq\f(8,9)＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\f(41－b2,1＋b22)－eq\f(41－2b2,1＋b2)＝eq\f(8b4,1＋b2)，解得b＝eq\f(\r(2),2).19．(本小題滿分12分)橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，焦距為2eq\r(13).一雙曲線和該橢圓有公共焦點，且雙曲線的實半軸長比橢圓的長半軸長小4，雙曲線離心率與橢圓離心率之比為7︰3，求橢圓和雙曲線的方程.eq\x(導(dǎo)學(xué)號33780649)[解析]①焦點在x軸上，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝eq\r(13).設(shè)雙曲線為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因為eq\f(e雙,e橢)＝eq\f(7,3)，所以eq\f(a,m)＝eq\f(7,3)，解得a＝7，m＝3.因為橢圓和雙曲線的半焦距為eq\r(13)，所以b2＝36，n2＝4.所以橢圓方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.②焦點在y軸上，橢圓方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,49)＝1，雙曲線方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.20．(本小題滿分12分)如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點，A、B為兩個頂點，已知橢圓上的點(1，eq\f(3,2))到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為\x(導(dǎo)學(xué)號33780650)(1)求橢圓C的方程．(2)過橢圓C的焦點F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點，求△F1PQ的面積．[解析](1)由題設(shè)知：2a＝4，即a＝2，將點(1，eq\f(3,2))代入橢圓方程得eq\f(1,22)＋eq\f(\f(3,2)2,b2)＝1，解得b2＝3，故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知A(－2,0)，B(0，eq\r(3))，所以kPQ＝kAB＝eq\f(\r(3),2)，所以PQ所在直線方程為y＝eq\f(\r(3),2)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),2)x－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消x得8y2＋4eq\r(3)y－9＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝－eq\f(\r(3),2)，y1·y2＝－eq\f(9,8)，所以|y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\f(3,4)＋4×\f(9,8))＝eq\f(\r(21),2)，所以S△F1PQ＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(\r(21),2).21．(本小題滿分12分)(2023·山東臨沂市高二期末測試)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線上，且點M的橫坐標為4，|MF|＝\x(導(dǎo)學(xué)號33780651)(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)l為過點(4,0)的任意一條直線，若l交拋物線于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓必過原點．[解析](1)由題意得|MF|＝4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2，故拋物線方程為y2＝4x.(2)當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y2＝4x))，得y＝±4.∴|AB|＝8，∴eq\f(|AB|,2)＝4，∴以AB為直徑的圓過原點．當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－4)(k≠0)．設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4,y2＝4x))，得k2x2－(4＋8k2)x＋16k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4＋8k2,k2)，x1x2＝16.y1y2＝k2(x1－4)(x2－4)＝k2[x1x2－4(x1＋x2)＋16]＝